Чем мерить углы в геометрии

Приборы и инструменты для измерения углов

В разное время каждый из нас знакомится с геометрическими, географическими и геодезическими инструментами для измерения углов. Нахождение углов осуществляется при выполнении полевых геодезических, маркшейдерских, изыскательских работ и камеральной обработке измерений.

Измерения углов на плоскости

Наверное, самым первым знакомством из так называемых камеральных инструментов у каждого из нас было знакомство с транспортиром. На профессиональном уровне металлический геодезический транспортир с поперечным масштабом использовался в маркшейдерских отделах шахт и карьеров при выполнении камеральных, проектных и подготовительных работ. С его помощью графическим способом определяют горизонтальные углы и откладывают дирекционные углы при проектировании горных выработок, подготовительных работах для задания им направления на планшетах и планах.

Следующим, применяемым в камеральных условиях геодезическим инструментом можно считать тахеограф. Его используют при графическом оформлении результатов тахеометрической съемки. Он представляет единую конструкцию из круга с градусной шкалой и линейки. С его помощью по дуге вдоль конструкции круга отмечаются значения горизонтальных углов съемочных точек, перенесенных из журнала полевых работ. А расстояния до точек съемки откладывают по линейке в соответствующем масштабе составления плана.

Пространственные измерения углов

Для получения пространственного положения точек местности и отображения их на плоскости в геодезии применяются способы измерения расстояний и углов между ними с помощью различных геодезических приборов.

Качественной характеристикой геодезических и маркшейдерских измерений считается точность их выполнения, которая зависит от многих факторов и аспектов. Одним из них являются средства измерения. Существует своеобразный инженерный подход для выбора соответствующего инструмента требуемой точности работ. Так что все приборы измеряющие углы можно разделить по точности исполнения измерений.

Буссоль и эклиметр

Эти два приспособления могут использоваться в одном виде работ, называемом буссольная съемка (ход). Она применяется в местности, где нет возможности применять теодолитные ходы, тахеометрические съемки. Особую ценность при съемках крутых, круто наклонных и наклонных горных выработок в рудниках имеет подвесная буссоль, используемая до настоящего времени.

Буссолью измеряют магнитные азимуты всех сторон хода, по разности которых можно определить горизонтальные углы. На планах графическим способом выстраивают линии буссольного хода с применением транспортира при откладывании азимутов (или горизонтальных углов) и с использованием поперечного масштаба и циркуля при построении длин линий хода. При прокладывании буссольного хода для получения вертикальных углов между точками используют подвесной эклиметр.

Он представляет собой металлический полукруг со шкалой и отвесом, крепящимся в его центре. При подвешивании полукруга на натянутые между точками хода шнуры берут отсчеты по отвесной линии, проходящей через шкалу эклиметра. Эти отсчеты соответствуют значениям вертикальных углов линий буссольного хода, которые необходимы для определения горизонтальных проложений этих сторон.

Угломеры

Следующим прибором, служащим для измерения углов, применяющимся в маркшейдерском производстве, безусловно, считается угломер горный. Этот инструмент используется для определения линии и формы очистного забоя в подземных горных выработках угольных шахт. Развитие и применение таких приборов проходило на протяжении практически всего советского периода страны, последний из них У-60 выпускался со специальными визирными марками.

Точность измерения углов такими приборами относительно не высокая, но вполне достаточная для тех работ, которые выполняются с их помощью. Зависит она в первую очередь от точности снятия отсчетов и цены деления механической части шкалы, а именно: отсчетного устройства лимба с дополнительными шкалами (нониус, верньер).

Теодолиты и тахеометры

Наиболее широко используемыми инструментами для измерения горизонтальных и вертикальных углов в современной геодезии и маркшейдерии являются теодолиты. Основным критерием, по которому разделяют теодолиты на разные типы, считается точность измерений. Из них можно выделить:

Числовые величины в маркировках современных теодолитов соответствуют значению, с девяноста пяти процентной вероятностью, среднеквадратической погрешности измерения угла.

Известно, что для определения пространственного положения точек используются измерения углов в вертикальной плоскости или как их называют вертикальных углов. Для этого в угломерах, теодолитах конструктивно устроен вертикальный круг измерений. В последние десятилетия технические усовершенствования и технологическое развитие сказалось и на новых устройствах теодолитов. Появились новые модификации и в зависимости от назначения этих устройств выделяют:

Инклинометры

Интересный прибор, связанный с измерительным процессом определения пространственного положения в точках недоступных для измерений другими возможными способами. С его помощью определяют угол наклона (вертикальный угол) и азимут линии в заданном направлении в конкретной точке (точки съемки), например при бурении скважин.

Принципы действия в настоящее время в таких приборах разнообразны. В основе использования простейшего устройства инклинометра ИК-2 стоят три чувствительных элемента, позволяющие определять пространственное положение:

И один элемент в этом приборе позволяет фиксировать азимут и угол наклона, называемый переключающим механизмом.

Не вдаваясь в технические особенности всевозможных видов инклинометров, они в любом случае состоят из двух частей:

Свое применение инклинометры находят в различных отраслях. Они используются при измерениях в глубинных скважинах во время геологической разведки месторождений полезных ископаемых. Были задействованы при установлении и определении положения «скользящей» опалубки на больших высотах при выполнении целого комплекса геодезического обслуживания во время возведения самого высотного небоскреба Бурдж Дубай высотой 828 метра. Так на первых ста пятидесяти шести этажах железобетонной качающейся конструкции башни для измерения ее пространственного положения было установлено восемь двухосевых электронных датчиков инклинометров Leica NIVEL 210. Эти датчики позволили выполнить измерения наклона в двух перпендикулярных осях с точностью 0,2 секунды.

Источник

Измерение углов

Измерить угол — значит найти его величину. Величина угла показывает, сколько раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в данном углу.

Измерение углов транспортиром

Для измерения углов используют специальный прибор — транспортир:

У транспортира две шкалы — внутренняя и внешняя. Начало отсчёта у внутренней и у внешней шкал располагается с разных сторон. Чтобы получить правильный результат измерения, отсчёт градусов должен начинаться с правильной стороны.

Измерение углов производится следующим образом: транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах:

Говорят: угол BOC равен 60 градусов, угол MON равен 120 градусов и пишут: ∠BOC = 60°, ∠MON = 120°.

Свойства измерения углов

Если луч делит данный угол на две части (на два угла), то величина данного угла равна сумме величин двух полученных углов.

Рассмотрим угол AOB:

Луч OD делит его на два угла: ∠AOD и ∠DOB. Таким образом, ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.

Развёрнутый угол равен 180°.

Любой угол имеет определённую величину, большую нуля.

Источник

Угол. Измерение углов.

Измерение углов сводится к измерению соответствующих им дуг следующим образом. За единицу углов принимают угол, составляющий 1/90 часть прямого угла. Эту единицу называют угловым градусом.

За единицу дуг одинакового радиуса принимают такую дугу того же радиуса, которая соответствует центральному углу, равному угловому градусу. Такая дуга называется дуговым градусом.

Так как прямому центральному углу соответствует 1/4 окружности, то угловому градусу соответствует 1/90 четверти окружности. Значит, дуговой градус составляет 1/360 целой окружности.

Пусть требуется измерить угол AOB, то есть найти отношение этого угла к угловому градусу MNP.Для этого опишем из вершин углов дуги СD и EF произвольным, но одинаковым радиусом.

Следовательно, эту пропорцию можно выразить так: число, измеряющее угол в угловых градусах, равно числу, измеряющему соответствующую дугу в дуговых градусах.

Для краткости эту фразу выражают обыкновенно так: Угол измеряется соответствующей ему дугой.

Градусы угла или дуги подразделяются на 60 равных частей, называемых минутами (угловыми или дуговыми).

Минуту разделяют на 60 равных частей, называемых секундами (угловыми или дуговыми).

Из сказанного выше следует, что в угле содержится столько угловых градусов, минут и секунд, сколько в соответствующей ему дуге заключается дуговых градусов, минут и секунд.

Если, например, в дуге СD содержится 40 град. 25 мин. и 13,5 секунды (дуговых), то и в угле AOB заключается 40 град. 25 мин. 13,5 сек. (угловых). Это выражают сокращенно так:

обозначая значками (°), (‘), (‘’) соответственно градусы, минуты и секунды.

Так как прямой угол содержит 90°, то :

1. сумма углов всякого треугольника равна 180 °;

2. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

3. каждый угол равностороннего треугольника равен 60°;

Чтобы измерить угол AOB, накладывают на него прибор так, чтобы центр полукруга совпал с вершиной угла, а радиусом OM совпал со стороной AO. Тогда число градусов, содержащееся в дуге PN, покажет величину угла AOB. При помощи транспортира можно также начертить угол, содержащий данное число градусов.

Конечно, на таком приборе нет возможности отсчитывать не только секунды, но и минуты. Измерение и построение можно выполнить только приближенно.

Источник

Геометрическая фигура угол: определение угла, измерение углов, обозначения и примеры

Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.

Определение угла

Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.

Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.

Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.

Перейдем к понятию определения угла.

Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.

Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.

Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.

На рисунке ниже изображен развернутый угол.

Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.

Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.

Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.

Определение смежных и вертикальных углов

Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.

На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.

Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.

При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.

Сравнение углов

Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.

Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.

Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.

Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.

Развернутые углы являются равными.

Измерение углов

Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.

Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.

Чаще всего используют понятие градус.

Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.

Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.

Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.

Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают « ‘ », а секунды « » ». Имеет место обозначение:

Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.

Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.

Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.

Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.

На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.

Обозначение углов на чертеже

Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.

Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.

Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.

Источник

Какие угломеры и уклономеры требуются во время ремонта?

Содержание:

Угломер применяется при строительстве зданий и в процессе внутренней отделки помещений. Чтобы ровно вырезать проем для окна, двери, сконструировать потолок или камин, несомненно понадобится этот инструмент.

Конечно, выравнивать углы можно и с помощью уровня. Однако уровень можно использовать только при работе с горизонтальной поверхностью. Им нельзя определить диагональ или угол между стенами при установке плинтусов, например. Это можно сделать только угломером. Инструмент достаточно легкий, компактный и, главное, универсальный – с легкостью заменит уже упомянутый нами строительный уровень.

Какой же угломер подойдет для дома, а какой — для профессионала, или между ними нет разницы? Вы сами сможете ответить на этот вопрос после того, как мы расскажем об особенностях этих измерительных инструментов.

Когда и какой угломер необходим?

Принцип его действия заключается в следующем: одна линейка прикладывается к поверхности, а вторая поворачивается на необходимый градус. Чтобы закрепить рукав, нужно повернуть специальную рукоятку. В комплекте с такими угломерами могут идти стержни для циркуля, которые легко вворачиваются в край линейки. Эти измерительные инструменты очень надежны, особенно если выполнены из металла, и, как говорится, никогда не подведут. Именно поэтому многие специалисты им отдают предпочтение.

Если нужно определить, вертикально ли возведена стена или правильно ли сделана перегородка у нового ящика, который Вы решили собрать самостоятельно, лучше всего подойдет уклономер. Он применяется при выравнивании углов в вертикальной плоскости, то есть в диапазоне от 0 до 90 градусов. Инструмент очень легкий (до 0,5 кг), компактный (0,25 до 1,2 метров) и недорогой.

Для профессионального использования, при выкладке стен, вырубке отверстий для окон, поклейке обоев лучше всего воспользоваться наиболее точным измерительным прибором из этой группы — электронным угломером.

По своему строению такие угломеры похожи на механические и отличаются наличием электронного блока управления с цифровым дисплеем, на котором отображаются замеры. Погрешность измерений может составлять от 0,05 до 1 градуса, что ничтожно мало. Они тяжелее механических (0,7 до 1,3 кг в зависимости от длины линейки), потому что изготавливаются из алюминия и высокопрочного пластика, оснащены пузырьковым уровнем (одним или двумя) для определения горизонтального положения. Соответственно, цена таких приборов выше, чем механических.

Одним из важных достоинств электронного оборудования является простое управление, которое осуществляется с помощью базовых команд, которым соответствуют определенные кнопки на корпусе. Рассмотрим на примере электронного лазерного уровня-угломера Geo-Fennel Multi Digit Pro 600000. У него есть:

При выборе электронного угломера нужно учитывать параметры максимального угла, времени работы на одном заряде батареи. Например, угломер Bosch DWM 40 L Professional 0.601.096.663 очень удобный, потому что можно поворачивать плечи на 360°, а значит, при замерах не будет ограничений.

Лазерные электронные угломеры считаются максимально точными и удобными в профессиональном использовании благодаря встроенному лазерному прицелу. Они применяются при измерении углов между предметами, расположенными на расстоянии до 20 метров. Во время работы данные измерительные приборы устанавливаются на штатив, и красный луч направляется вдоль поверхности, а на поверхности, перпендикулярной ей, отображается второй луч, координаты угла высвечивается на дисплее. Эти инструменты применяются при установке дверей, финишной отделке квартиры, сборке мебели, производстве автомобилей, металлических конструкций.

Эта техника, как правило, дорогая, но многофункциональная (заменяет собой нивелир и уклономер) и точная (за счет встроенного лазера). Например, электронный лазерный уровень-угломер Geo-Fennel Multi Digit Pro 600000 может делить полученные в ходе измерений данные пополам (это пригодится, например, если нужно ровно разрезать плинтус под углом). Все сделанные замеры сохраняются в памяти устройства. Инструмент удобен еще и тем, что измерения производятся очень быстро. Это очень важно для строителей, потому что в их интересах закончить работу к назначенному сроку.

Чтобы строители и сотрудники ремонтных бригад могли без опасений пользоваться в рабочих условиях этими измерительными инструментами, все электронные и лазерные уровни устойчивы к воздействию влаги и попаданию грязи, их корпус герметичен. Благодаря тому, что для производства используются прочные материалы, даже при падении с небольшой высоты или от несильного удара они не сломаются, их «не поведет», и точность измерений сохранится.

При покупке стоит учесть, что все электронные приборы работают на батарейках, поэтому время их работы ограниченно. Для экономичного расхода энергии предусмотрено автоматическое отключение через 5 минут простоя. Для пользователя это дополнительный плюс.

Более подробную информацию о популярных представителях этого вида техники, продающихся в нашем магазине, Вы найдете в таблице.

Управление и хранение

Не только работать, но и переносить, хранить технику, особенно дорогостоящую, нужно правильно. Производители угломеров, в частности Bosch, позаботились об этом. В комплекте с прибором предусмотрен защитный чехол, который помогает сохранить внешний вид устройства и защищает его от грязи, ударов и намокания.

При покупке электронного оборудования нужно учитывать гарантийный срок. Обычно он составляет 1 год, но с большой вероятностью можно заявить, что непосредственно в этот период и через продолжительное время прибор сохранит свою исправность. В интернет-магазине ВсеИнструменты.ру представлены только фирменные угломеры и уклономеры.

Источник