Что нужно чтобы вписать окружность в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник
Что такое окружность, вписанная в треугольник? Какие у вписанной окружности свойства?
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Общие точки окружности и треугольника называются точками касания.
Запись окр. (O; r) читают: «Окружность с центром в точке O и радиусом r».
На рисунке окр. (O; r) — вписанная в треугольник ABC.
M, K, F- точки касания.
Свойства вписанной в треугольник окружности.
1) Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис этого треугольника.
2) Отрезки соединяющие центр вписанной окружности с точками касания, перпендикулярны сторонам треугольника (как радиусы, проведенные в точку касания):
3) Вписанная в треугольник окружность делит стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.
(как отрезки касательных, проведенные из одной точки).
Треугольник вписанный в окружность
Определение
Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.
На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.
ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.
O — центр вписанной в треугольник окружности.
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
r — радиус вписанной окружности.
Радиус описанной окружности около треугольника
R — радиус описанной окружности.
Площадь треугольника
S — площадь треугольника.
\[ S = \frac<1><2>ab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника.
Сторона треугольника
a — сторона треугольника.
Средняя линия треугольника
l — средняя линия треугольника.
Высота треугольника
h — высота треугольника.
\[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Свойства
Доказательство
Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.
окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.
окружность описана
около треугольника.
окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.
Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник
Определение окружности, вписанной в треугольник
Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).
Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.
Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.
Теорема об окружности, вписанной в треугольник
Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.
Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.
Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.
Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Окружность, описанная около треугольника
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | ||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | ||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | ||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | ||
Теорема синусов |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
Для любого треугольника справедливо равенство:
Для любого треугольника справедливо равенство:
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
.
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Построение вписанной в треугольник окружности по точкам касания
По определению, вписанной в треугольник окружностью является окружность, касающаяся всех его сторон. Она наибольшая из тех, которые могут разместиться внутри треугольника. Центр этой окружности называется инцентром треугольника и расположен на пересечении его биссектрис. Перпендикуляры, восстановленные из сторон треугольника в точках касания вписанной окружности, тоже пересекаются в инцентре. На этом свойстве основан предлагаемый метод построения вписанной окружности.
Второй вариант построения базируется на окружности, проведенной из инцентра треугольника через вершину одного из его углов, позволяющей определить местоположение точек касания вписанной окружности. Пусть в треугольник АВС (см. рис. 1) вписана окружность с центром О на пересечении биссектрис углов А и С. Соединим точки ее касания K, T и L сторон треугольника с инцентром. Согласно свойству касательной проведений к окружности, отрезки ОК, ОТ и ОL равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам треугольника.
Проведем дополнительно окружность из точки О радиусом ОВ т. е. проходящую через вершину наибольшего угла треугольника. Она отсекает три равные хорды А1С1, А2В и ВС2 на сторонах треугольника в виду концентричности вписанной окружности. Дополнительную окружность можно проводить через любую вершину треугольника. В этом случае придется продолжить его стороны (сторону), так как будем иметь дело с окружностью большего диаметра. Соединим инцентр треугольника с концами хорды А1С1. Прямоугольные треугольники А1ОТ и С1ОТ равны согласно тому, что гипотенузы А1О и С1О радиусы дополнительной окружности, а катет ОТ – общий. Следовательно точка Т середина, а ТО серединный перпендикуляр хорды А1С1. Аналогичным образом доказывается: ОК и ОL серединные перпендикуляры к двум другим хордам. Таким образом, середины хорд являются точками касания вписанной в треугольник окружности.
В треугольниках АОВ и АОС1 стороны ОВ и ОС1 радиусы дополнительной окружности, АО общая сторона и биссектриса угла ВАС. Тогда согласно равенству этих треугольников, отрезок АС†равен стороне АВ. В свою очередь отрезок А1С равен стороне ВС, ввиду сходного равенства треугольников А1ОС и ВОС.
Следствием вышеизложенного является возможность построения крайних точек хорды на стороне треугольника путем засечек дугами радиусами равными боковым сторонам из вершин прилежащих углов. Затем из вершины противолежащего стороне угла на одной из боковых стон откладывается длина второй хорды. Точка пересечения серединных перпендикуляров к полученным хордам – центр вписанной окружности.
Построение в произвольно заданный треугольник АВС вписанной окружности изображено на рис. 2. На стороне АС (наибольшей, как на наиболее удобной) из вершины А дугой радиусом АВ делаем первую засечку в точке С1, а из вершины С дугой радиусом СВ – вторую в точке А1. К полученному отрезку А1С1 восстанавливаем серединный перпендикуляр. Раствором циркуля равным А1С1 из вершины В проводим дугу пересекающую например, сторону ВА в точке А2. Тем же раствором циркуля из точки А2 через вершину В опишем вторую дугу. Соединяем точки пересечения дуг прямой, получаем второй серединный перпендикуляр. Из точки пересечения перпендикуляров радиусом равным ОТ опишем искомую вписанную в треугольник окружность.
Определим количество линий примененных в данном построении. Пять на восстановление первого серединного перпендикуляра, три линии для второго и одну на проведение вписанной окружности. Всего девять. Если сравнивать два метода построения вписанной окружности по этому показателю – преимущество за последним.
Заключительный вывод: предлагаемое построение следует рассматривать в обучении наряду с общеизвестным методом.
13.04.2015 г. /Стрижак Василий Васильевич/ г. Речица, Гомельская обл.
- Что нужно чтобы вписать двигатель в птс
- Что нужно чтобы вписать окружность в четырехугольник
Привет! Меня зовут Анна, мне 28 лет. Хочу поделиться своим опытом решения геометрических задач.
Когда я изучала геометрию в школе, одной из интересных тем было вписание окружности в треугольник. Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Чтобы вписать окружность в треугольник, нужно найти точку пересечения биссектрис всех его углов.
На уроках геометрии я часто сталкивалась с задачами на эту тему. Мне было интересно понять, как точно найти центр окружности, которая будет касаться всех сторон треугольника. Учитель объяснил, что нужно построить биссектрисы всех углов треугольника — линии, которые делят углы пополам. Точка, в которой пересекаются все три биссектрисы, и будет центром вписанной окружности.
На практике я использовала циркуль и линейку для построения этих биссектрис и нахождения центра. После этого можно было легко нарисовать окружность, которая касалась всех сторон треугольника. Это задание помогло мне лучше понять свойства треугольников и вписанных окружностей.
Большое спасибо учителю за его объяснения и поддержку. Желаю всем, кто изучает геометрию, успехов и интересных открытий!
Когда я учился в школе, вписание окружности в треугольник было одной из тем, которая меня особенно заинтересовала. Вписанная окружность — это окружность, касающаяся всех сторон треугольника. Чтобы вписать окружность в треугольник, нужно найти точку пересечения биссектрис всех его углов.
Наш учитель геометрии объяснил, что биссектрисы — это линии, которые делят углы треугольника пополам. Центр вписанной окружности находится в точке пересечения этих биссектрис. Я много раз практиковался в построении биссектрис с помощью циркуля и линейки, чтобы лучше понять этот процесс.
Однажды я решил применить эти знания на практике и построил вписанную окружность в произвольный треугольник. Это задание помогло мне лучше понять свойства треугольников и принцип вписывания окружности.
Большое спасибо учителю за его терпение и помощь. Желаю всем успехов в изучении геометрии и интересных математических задач!
Учитель объяснил нам, что биссектрисы — это линии, делящие углы треугольника пополам. Точка пересечения этих биссектрис является центром вписанной окружности. Мы часто практиковались в построении биссектрис и нахождении центра окружности с помощью циркуля и линейки.
Эти знания были полезны не только для решения школьных задач, но и для понимания свойств треугольников. Однажды я решила проверить свои навыки и построила вписанную окружность в треугольник дома. Это было интересное и полезное упражнение.
Наш учитель объяснил, что биссектрисы делят углы треугольника пополам и пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности. Я много раз строил биссектрисы и вписанные окружности, чтобы лучше понять этот процесс. Работает)))
Однажды я решил построить вписанную окружность в произвольный треугольник и убедился, что все три биссектрисы действительно пересекаются в одной точке.