Что нужно сделать чтобы сравнить дроби с разными знаменателями

Сравнение дробей

Продолжаем изучать дроби. Сегодня мы поговорим об их сравнении. Тема интересная и полезная. Она позволит новичку почувствовать себя учёным в белом халате.

Суть сравнения дробей заключается в том, чтобы узнать какая из двух дробей больше или меньше.

Чтобы ответить на вопрос какая из двух дробей больше или меньше, пользуются операциями отношения, такими как больше (>) или меньше ( )

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Следующий случай это когда числители дробей одинаковые, но знаменатели разные. Для таких случаев предусмотрено следующее правило:

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше. И соответственно меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

Например, сравним дроби и . У этих дробей одинаковые числители. У дроби знаменатель меньше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь . Так и отвечаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццы, которые разделены на три и четыре части. пиццы больше, чем пиццы:

Каждый согласится с тем, что первая пицца больше, чем вторая.

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Чтобы ответить на вопрос, какая из этих дробей больше или меньше, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Затем можно будет легко определить какая дробь больше или меньше.

Приведём дроби и к одинаковому (общему) знаменателю. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. НОК знаменателей дробей и это число 6.

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Разделим НОК на знаменатель первой дроби . НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 6 на 2, получаем дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Умножим дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому что дроби, у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как сравнивать такие дроби мы уже знаем. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше:

Правило правилом, а мы попробуем разобраться почему больше, чем . Для этого выделим целую часть в неправильной дроби . В дроби ничего выделять не нужно, поскольку эта дробь уже правильная.

После выделения целой части в дроби , получим следующее выражение:

Теперь можно легко понять, почему больше, чем . Давайте нарисуем эти дроби в виде пицц:

2 целые пиццы и пиццы, больше чем пиццы.

Вычитание смешанных чисел. Сложные случаи.

Вычитая смешанные числа иногда можно обнаружить, что всё идёт не так гладко как хотелось бы.

При вычитании чисел уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае будет получен нормальный ответ.

Уменьшаемое 10 больше вычитаемого 8, поэтому мы получили нормальный ответ 2.

А теперь посмотрим, что будет если уменьшаемое окажется меньше вычитаемого. Пример 5 − 7 = −2

В этом случае мы выходим за пределы привычных для нас чисел и попадаем в мир отрицательных чисел, где нам ходить пока рано, а то и опасно. Чтобы работать с отрицательными числами, нужна соответствующая математическая подготовка, которую мы ещё не получили.

Если при решении примеров на вычитание вы обнаружите, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то можете пока пропустить такой пример. Работать с отрицательными числами допустимо только после их изучения.

С дробями ситуация та же самая. Уменьшаемое должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае можно будет получить нормальный ответ. А чтобы понять больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая, нужно уметь сравнить эти дроби.

Например, решим пример .

Это пример на вычитание. Чтобы решить его, нужно проверить больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. больше чем

поэтому смело можем вернуться к примеру и решить его:

Теперь решим такой пример

Проверяем больше ли уменьшаемая дробь, чем вычитаемая. Обнаруживаем, что она меньше:

В этом случае разумнее остановиться и не продолжать дальнейшее вычисление. Вернёмся к этому примеру, когда изучим отрицательные числа.

Смешанные числа перед вычитанием тоже желательно проверять. Например, найдём значение выражения .

Сначала проверим больше ли уменьшаемое смешанное число, чем вычитаемое. Для этого переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Чтобы сравнить такие дроби, нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю. Не будем подробно расписывать как это сделать. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно изучите действия с дробями.

После приведения дробей к одинаковому знаменателю, получаем следующее выражение:

Теперь нужно сравнить дроби и . Это дроби с одинаковыми знаменателями. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.

У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

А значит мы можем вернуться к нашему примеру и смело решить его:

Пример 3. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем данные дроби к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь сравним дроби и . У дроби числитель меньше, чем у дроби , значит дробь меньше, чем дробь

А это значит, что и уменьшаемое меньше, чем вычитаемое

А это гарантировано приведёт нас в мир отрицательных чисел. Поэтому разумнее остановиться на этом месте и не продолжать вычисление. Продолжим его после изучения отрицательных чисел.

Пример 4. Найти значение выражения

Проверим больше ли уменьшаемое, чем вычитаемое.

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Получили дроби с разными числителями и разными знаменателями. Приведем их к одинаковому (общему) знаменателю:

Теперь нужно сравнить дроби и . У дроби числитель больше, чем у дроби . Значит дробь больше, чем дробь .

А это значит, что уменьшаемое больше, чем вычитаемое

Поэтому мы смело можем продолжить вычисление нашего примера:

Сначала мы получили ответ . Эту дробь мы сократили на 2 и получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили целую часть в этом ответе. В итоге получили ответ .

Источник

Как правильно сравнивать дроби с разными знаменателями

Что такое дробь

Дробь является числом, в состав которого входит одна, либо несколько равных частей (долей) единицы.

Исходя из метода записи, дроби подразделяют на следующие виды:

Здесь над чертой расположен числитель, а под чертой находится знаменатель. Числитель является делимым, а знаменатель обозначает делитель.

В процессе сравнения пары обыкновенных дробей необходимо определить их общий знаменатель. После того как дроби приведены к единому знаменателю, их достаточно просто сравнить. Если числитель одной дроби больше по сравнению с числителем другой дроби, то первая дробь соответственно будет больше, чем вторая.

Попробуем выполнить самостоятельную работу по сравнению дробей. Предположим, что имеется пара дробей, которые нужно сравнить:

Найдем общий знаменатель:

Далее по алгоритму можно привести дроби к данному знаменателю 20:

3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20

Сравнение обыкновенных дробных выражений

Нередко при решении различных задач в средних классах требуется сравнить неодинаковые дроби и описать ход решения. Наиболее простым случаем является условие, при котором дроби, в том числе смешанные, обладают одинаковыми знаменателями и разными числителями. Тогда следует руководствоваться правилом.

Если две дроби имеют идентичные знаменатели, то больше из них та, которая обладает большим числителем по сравнению со второй дробью. С другой стороны, меньше будет та дробь, которая имеет меньший числитель.

Рассмотрим, как пример, две дроби, которые необходимо сравнить:

Наглядно рассмотреть задачу можно на примере пиццы. Представим, что она разделена на 4 части. Из рисунка видно, что 3 4 пиццы больше по сравнению с 2 4 пиццы.

Сравнение дробей с разными знаменателями

Более сложным вариантом заданий являются такие, которые предполагают сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. При этом целесообразно обратиться к правилу.

Когда дроби имеют одинаковые числители, то большей считается та дробь, которая обладает меньшим знаменателем. С другой стороны, из дробей с идентичными числителями будет меньше та, которая имеет больший знаменатель.

В качестве примера рассмотрим две дроби, которые нужно сравнить:

Возникает вопрос, как сравнить дроби, которые обладают не только разными знаменателями, но и отличаются своими числителями. Разобрать метод сравнения в этом случае следует на примере двух дробей, которые не являются отрицательными:

В первую очередь определим общий знаменатель для этих дробей. Заметим, что наименьшим общим кратным знаменателей и в том и в другом случае является число 6. Зная НОК, определим дополнительные множители для каждой из дробей путем деления наименьшего общего кратного на знаменатель:

Затем следует выполнить умножение дробей и их дополнительных множителей:

В результате получились дроби, имеющие одинаковые знаменатели. Вспомним, что, если две дроби имеют идентичные знаменатели, то больше из них та, которая обладает большим числителем по сравнению со второй дробью.

Применимо к нашей задаче:

Визуально сравнить эти дроби можно с помощью изображения пиццы:

Пояснение на примерах

Даны две дроби, которые требуется сравнить:

Заметим, что данные дроби обладают идентичными знаменателями. Они равны 26. В таком случае остается лишь сравнить числители. Получим:

На столе стоит торт. К столу присоединятся 5 или 11 гостей. В том случае, если придут 5 гостей, то торт необходимо будет поделить на 5 одинаковых частей. Для 11 гостей требуется разрезать торт на 11 равных кусков. Нужно определить, в каком случае гости получат по куску большего размера.

Вспомним правило: когда дроби имеют одинаковые числители, то большей считается та дробь, которая обладает меньшим знаменателем. С другой стороны, из дробей с идентичными числителями будет меньше та, которая имеет больший знаменатель.

Ответ: когда придут 5 гостей, каждый из них получит кусок торта большего размера по сравнению с частями торта, поделенного на 11 человек.

У девочки есть 20 карамелек. Она может угостить 4 или 10 друзей, разделив между ними конфеты поровну. Нужно определить, в каком случае каждый из друзей получит большее количество карамелек.

Ответ: если поделить конфеты между 4 друзьями, то каждому из них достанется карамелек больше, чем в том случае, когда эти конфеты раздали 11 друзьям.

Имеются дроби, которые нужно сравнить:

Заметим, что эти дроби имеют одинаковые числители. Поэтому дробь с меньшим знаменателем больше:

Требуется сравнить две дроби:

Приведем записанные дроби к общему знаменателю. Единым знаменателем в данном случае является число 21. Выполним преобразования:

2 3 = 2 × 7 3 × 7 = 14 21

5 7 = 5 × 3 7 × 3 = 15 21

Далее необходимо сравнить между собой числители, исходя из правила сравнения дробей с идентичными знаменателями:

Имеются две дроби, которые нужно сравнить:

Заметим, что дробь 8 7 является неправильной и больше, чем единица:

С другой стороны, дробь 11 13 является правильной и меньше, чем единица:

Нужно сравнить две дроби:

Отсутствие идентичных числителей и знаменателей говорит о необходимости использовать в решении задания правило, по которому сравнивают дроби с разными знаменателями.

В первую очередь требуется вычислить общий знаменатель. Он равен 96. Далее следует привести дроби к этому знаменателю. Для этого первую из дробей нужно умножить на 8, а вторую — умножить на 6.

11 12 = 11 × 8 12 × 8 = 88 96

13 16 = 13 × 6 16 × 6 = 78 96

Сравним числители полученных в результате преобразования дробей. Если у дроби числитель больше, то и сама она больше по сравнению с той, числитель которой меньше.

Ответ: 11 12 > 13 16

Папа и сын играли в футбол. Мальчик сделал 10 подходов, из которых забил 5 раз гол. Отец сделал 5 подходов, из которых 3 были успешными. Нужно оценить, у кого результат игры был лучше.

Запишем условия задачи в виде дробей:

Выполним сравнение этих дробей путем приведения их к единому знаменателю, который равен в данном случае 10.

3 5 = 3 × 2 5 × 2 = 6 10

Ответ: папа показал лучший результат игры в футбол.

Источник

Сравнение дробей. Как сравнивать дроби с разными знаменателями?

Не только простые числа можно сравнивать, но и дроби тоже. Ведь дробь — это такое же число как, к примеру, и натуральные числа. Нужно знать только правила, по которым сравнивают дроби.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями.

Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то такие дроби сравнить просто.

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше у которой больше числитель.

Знаменатели у обоих дробей одинаковые равны 26, поэтому сравниваем числители. Число 13 больше 7. Получаем:

Если мы до решаем эти дроби, то получим числа \(\frac<20> <4>= 5\) и \(\frac<20> <10>= 2\). Получаем, что 5 > 2

В этом и заключается правило сравнения дробей с одинаковыми числителями.

Рассмотрим еще пример.

Так как числители одинаковые, больше та дробь, где знаменатель меньше.

Пример №2:
Сравните правильную дробь с единицей?

Решение:
Любая правильная дробь всегда меньше 1.

Задача №1:
Сын с отцом играли в футбол. Сын из 10 подходов в ворота попал 5 раз. А папа из 5 подходов попал в ворота 3 раза. Чей результат лучше?

Решение:
Сын попал из 10 возможных подходов 5 раз. Запишем в виде дроби \(\frac<5> <10>\).
Папа попал из 5 возможных подходов 3 раз. Запишем в виде дроби \(\frac<3> <5>\).

Сравним дроби. У нас разные числители и знаменатели, приведем к одному знаменателю. Общий знаменатель будет равен 10.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов

— сравнение дробей с равными числителями;

— сравнение дробей с равными знаменателями;

— сравнение дробей с разными знаменателями.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На прошлых уроках мы научились приводить дробь к общему знаменателю и сокращать дробь.

Вспомним алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю. Он предполагает следующие действия:

1. разложить на простые множители знаменатели дробей;

2. найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей;

3. привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель, и знаменатель дроби на множитель.

Также существует алгоритм сокращения дробей. Применяя его, например, для решения задачи, следует:

1. найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя;

2. разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Используя полученные знания, мы научимся сегодня сравнивать обыкновенные дроби.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо привести дроби к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем.

Подведём итог. Чтобы сравнить две дроби, нужно выяснить, равны ли их знаменатели. Если да, то из двух дробей с общим знаменателем больше та дробь, у которой числитель больше. Если нет, то нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сравнить числители.

№ 1. Выберите пары дробей со знаком равно.

Чтобы сравнить вторую пару дробей, сократим их:

Источник