Что нужно сделать чтобы возвести одночлен в степень

Взведение одночлена в степень

Возведение одночлена в степень проводится по правилам возведения в степень произведения и степени.

Чтобы возвести одночлен в степень, надо возвести в эту степень каждый множитель одночлена и полученные результаты перемножить.

Возвести в степень одночлен:

Чтобы возвести одночлен в четвертую степень, надо возвести в 4-ю степень каждый из входящих в него множителей. При возведении чисел в степень удобно пользоваться таблицей степеней.

]При возведении в степень обыкновенной дроби возводят в степень и числитель, и знаменатель.

При возвести в степень смешанного числа сначала его нужно перевести в неправильную дробь, затем возвести в степень отдельно числитель, отдельно — знаменатель.

Последний этап — из неправильной дроби следует выделить целую часть.

Если коэффициент одночлена является отрицательным числом, начинать возведение одночлена в степень следует с определения знака результата.

При возведении отрицательного числа в четную степень получается положительное число, в нечетную — отрицательное.

Здесь отрицательное число возводим в третью, то есть нечетную, степень. В результате получаем отрицательное число.

Отрицательное число возводим во вторую, то есть четную, степень. В результате получаем положительное число. Смешанное число переводим в неправильную дробь и возводим в квадрат и её числитель, и знаменатель. Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть.

Источник

Возведение одночлена в степень, правило, примеры.

Ранее мы определили умножение одночлена на одночлен, это позволяет ввести еще одно действие – возведение одночлена в степень. Ниже мы получим правило возведения одночлена в степень с натуральным показателем, и рассмотрим решения примеров, чтобы разобрать все нюансы.

Навигация по странице.

Из приведенных рассуждений, во-первых, отчетливо видны все действия, из которых состоит процесс возведения одночлена в степень. Соберем их вместе в виде правила возведения одночлена в степень.

Чтобы возвести одночлен в степень, нужно

Во-вторых, из разобранного выше примера видно, что результатом возведения одночлена в степень является новый одночлен. Здесь отметим, что если исходный одночлен записан в стандартном виде, то после его возведения в степень получится одночлен стандартного вида. Если же исходный одночлен дан в виде, отличном от стандартного, то целесообразно этот одночлен привести к стандартному виду перед возведением в степень. Если этого не сделать, то к стандартному виду придется приводить одночлен, полученный после применения записанного выше правила. Мы еще вернемся к этому моменту в следующем пункте.

Примеры

Пришло время решить несколько примеров возведения одночленов в степень. Это поможет отработать применение правила из предыдущего пункта. Начнем с простеньких примеров.

Переходим дальше. Сначала выполняем такой переход: . В последнем выражении осталось степень заменить ее значением. Так как , то .

Кратко возведение одночлена в степень для этого случая выглядит так: .

В следующем примере убедимся, что в результате возведения в степень одночлена в виде, отличном от стандартного, и соответствующего ему одночлена в стандартном виде, получаются тождественно равные одночлены.

Выполните возведение одночлена 2·x 3 ·5·x в квадрат.

Источник

Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.

Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.

Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.

Или другими словами:

Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.

Приведение одночлена к стандартному виду:

Произведение одночленов тоже является одночленом.

Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.

Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.

Число 0 является нулевым одночленом.

Подобные одночлены.

2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.

Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.

Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются и ; и ; и ; 5 и −3; и .

Подобными одночленами не являются и .

Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.

Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:

8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;

Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.

Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.

Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.

Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.

Источник

Основные сведения о возведении одночлена в натуральную степень

Определение степени с натуральным показателем

Степень — это произведение, которое состоит из нескольких одинаковых множителей.

Рассмотрим пример, который полезно включить в конспект:

Если провести вычисления, то получится 8. Таким образом:

Левую часть равенства можно сократить путем записи повторяющегося множителя и указания количества его повторов. Таким множителем является 2, а повторяется он 3 раза. Преобразуем запись:

Полученное выражение читается следующим образом: «два в третьей степени равно восемь», либо «третья степень числа два равна восьми». Это полезно знать для самостоятельного решения задач на уроке в классе.

В распространенных случаях предпочтение отдается короткой записи при умножении одинаковых множителей. При записи одного числа сверху второго числа подразумевается умножение множителей, которые являются одинаковыми.

Возведение в степень является операцией, в процессе которой перемножают одинаковые множители.

Представим, что имеются идентичные множители в количестве четырех, каждый из которых является числом 2. Тогда можно сказать, что число 2 возведено в четвертую степень:

Заметим, что при возведении числа 2 в четвертую степень получится в результате число 16.

Во всех рассматриваемых примерах числа возводились в степень с натуральным показателем.

Степень с натуральным показателем является разновидностью степени с показателем в виде натурального числа.

Натуральное число представляет собой целое положительное число.

Объединим данные определения в одно и получим формулировку степени с натуральным показателем.

Степень какого-то числа a, имеющая натуральный показатель n — это такое выражение вида a^, которое определяется произведением n одинаковых множителей, равных a.

Наглядно степень с натуральным показателем можно записать, как:

В качестве примеров приведем следующие выражения:

Возведение одночлена в натуральную степень

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степень с натуральными показателями.

Одночлен в алгебре является простым выражением. Одночленом является произведение, в состав которого входит число, играющее роль множителя, а также одна или несколько переменных, возведенных в положительную степень.

Выражения, которые не являются одночленами:

Любой одночлен можно представить в стандартном виде. Такая форма записи подразумевает произведение множителя в виде числа, стоящего на первом месте, и степеней разных переменных.

Приведение какого-либо одночлена к стандартному виду заключается в том, что требуется перемножить все переменные и числа, входящие в его состав.

Приведение одночлена к стандартному виду:

В записи стандартного одночлена присутствует числовой множитель. Он играет роль коэффициента многочлена. Степенью одночлена называют результат сложения показателей степени переменных.

Заметим, что в результате умножения одночленов в любом случае получается одночлен. Кроме того, если возвести одночлен в какую-то натуральную степень, то получится тоже одночлен.

Основное правило

Операцию возведения одночлена в какую-то степень рассмотрим на наглядном примере.

Допустим, что имеется одночлен, записанный в стандартном виде:

Попробуем возвести этот одночлен в третью степень:

2 x y 5 3 = 2 3 × x 3 × y 5 3

Выполним замену множителя y 5 3 на y 15 с помощью свойства степени в степени:

2 3 × x 3 × y 5 3 = 2 3 × x 3 × y 15

Следующим шагом можно возвести в степень число 2:

2 3 × x 3 × y 15 = 8 × x 3 × y 15

В итоге получился одночлен стандартного вида.

Исходя из решенного примера, составим руководство к действию возведения одночлена в степень. Алгоритм операций:

Заметим, что при возведении в степень одночлена, записанного в стандартном виде, в результате получится одночлен стандартного вида. Рекомендуется перед тем, как приступить к операции возведения одночлена в степень, записать этот одночлен в стандартном виде, чтобы упростить работу.

Для возведения одночлена в степень требуется возвести в эту степень каждый из множителей одночлена и найти произведение полученных результатов.

Пояснение на примерах

Требуется возвести одночлен в степень:

В данном случае одночлен нужно возвести в степень 4. Для этого каждый его множитель возведем в четвертую степень:

5 x y 2 z 5 4 = 5 4 x 4 y 2 4 z 5 4 = 625 x 4 y 8 z 20

Возвести одночлен в степень:

Заметим, что в условии задания имеется обыкновенная дробь. Вспомним, что при возведении дроби в степень требуется возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби. Получим:

2 3 a 3 b 7 5 = 2 3 5 a 3 5 b 7 5 = 2 5 3 5 a 15 b 35 = 32 243 a 15 b 35

1 2 5 m n 10 2 = 7 5 2 m 2 n 10 2

Когда смешанное число возводят в степень, в первую очередь его необходимо привести к виду неправильной дроби. На втором шаге в степень возводят по отдельности числитель и знаменатель. Затем преобразуем неправильную дробь в смешанное число путем выделения из нее целой части:

7 2 5 2 m 2 n 20 = 49 25 m 2 n 20 = 1 24 25 m 2 n 20

Нужно возвести в степень одночлен со знаком минус:

Бывают случаи, когда одночлен имеет отрицательный коэффициент. При этом в процессе его возведения в степень нужно в первую очередь определить знак результата. Если отрицательное число возвести в четную степень, то результатом станет положительное число. В том случае, когда отрицательное число возводят в нечетную степень, результат будет иметь знак минуса.

Требуется возвести в степень одночлен:

В данном примере требуется выполнить последовательно несколько действий. Сначала отрицательное число необходимо возвести в степень 2, которая является четным числом. Поэтому результат операции будет представлять собой число со знаком плюс.

Смешанное число нужно привести в вид неправильной дроби. Затем числитель и знаменатель полученной дроби следует возвести во вторую степень. Далее требуется преобразовать неправильную дробь путем выделения целой части:

Источник

Действия с одночленами

В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.

Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.

Правила сложения и вычитания одночленов

Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).

Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.

Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:

Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.

Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами

Начнем с раскрытия скобок.

Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:

У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.

В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.

Правила умножения одночленов

Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.

Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:

Посмотрим, как это делается на практике.

Начнем с составления произведения.

Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:

Далее нам нужно объединить числовые множители в одну группу, а потом сгруппировать множители с одинаковыми переменными:

Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:

Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.

Правила возведения одночлена в степень

Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.

( − 2 · a · b 4 ) 3 = ( − 2 · a · b 4 ) · ( − 2 · a · b 4 ) · ( − 2 · a · b 4 ) = = ( ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) ) · ( a · a · a ) · ( b 4 · b 4 · b 4 ) = − 8 · a 3 · b 12

А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.

Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.

Условие: выполните возведение − 2 · a · b 4 в третью степень.

Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:

Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.

Правила деления одночленов

Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.

Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.

Начнем с записи одночленов в форме дроби.

Эту дробь можно сократить. После выполнения этого действия получим:

3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5

Условия, при которых в результате деления одночленов мы получим одночлен, приводятся в отдельной статье.

Источник