Что обозначает куб в математике

Степень числа. Квадрат и куб числа

Определение.

Степенью числа «» с натуральным показателем ««, большим 1, называется произведение «» одинаковых множителей, каждый из которых равен числу ««.

Например, найдем значение следующих степеней:

2 4 = 2222 = 422 = 82 = 16;

3 6 = 333333 = 93333 = 27333 = 8133 =2433 = 729.

Например, найдем квадрат чисел 4 и 8:

4 2 = 44 = 16;

8 2 = 88 = 64.

Например, найдем куб чисел 5 и 7:

5 3 = 555 = 255 = 125;

7 3 = 777 = 495 = 343;

Степенью числа «» с показателем = 1 является само это число, то есть .

Сначала выполним возведение во 2 степень числа 4, затем находим значение выражения, находящегося в скобках, после чего выполняем умножение, и последним действием выполняем вычитание:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Таблица кубов и квадратов, как состовлять и найти

Как появилось понятие куб числа?

Древнегреческие математики оперировали так называемыми фигурными числами – числами, которые можно представить в виде фигуры. Выделялись, например:

Последовательность кубов натуральных чисел выглядит так

Полезно будет запомнить, хотя бы те, что меньше тысячи. Особенно мне нравится число 729. Посмотрите:

Еще несколько интересных свойств кубов чисел:

Вот так, к слову выглядит формула вычисления суммы первых кубов чисел:

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Теория

Куб числа – это результат умножения числа само на себя три раза. Операция вычисления куба числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае в втретью:

Данное выражение читается: «возвести в куб число 6» или «6 в кубе».

Возвести в куб онлайн

Как возвести число в куб онлайн!? Введите нужное число, которое требуется возвести в куб и нажмите возвести в куб. Справа от равно появится число, которое возвели в куб
Ну и далее пробежимся по нескольким поисковым запросам, которые так или иначе вы задаете в строке поиска!

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65 2 = 65 ∙ 65

6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

65 2 = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65 2 = 65 ∙ 65, то

65 2 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65 2 = 4225

Источник

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

у куба все рёбра равны;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник

Что такое куб: определение, свойства, формулы

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Источник

Куб и квадрат – разница и отличие между квадратом и кубом

Отличие куба от квадрата, разница между ними

Куб и квадрат часто путают, думая, что это тождественные геометрические фигуры. В действительности они отличаются друг от друга, ведь у каждого из этих объектов имеются только им присущие признаки. Какие, нетрудно понять, зная определение куба и квадрата.

Что такое квадрат и что такое куб

Фото: Квадрат

Квадрат – фигура, лежащая на плоскости, и она двухмерная. Её можно отобразить в виде прямоугольника с идентичными по длине сторонами. Квадрат можно вырезать из бумаги.

Фото: Куб

Куб же является трехмерным объектом, имеющим объём и 12 одинаковых граней. Таким образом, это правильный многогранник. Если разложить его на плоскости, то он будет состоять из 6 квадратов. Для наглядности куб можно склеить из плотной бумаги, а лучше слепить из гипса, пластилина.

Фото: разложенный куб на плоскости

В чем разница между кубом и квадратом: сравнение двух фигур

По сравнению с квадратом, куб – более сложная геометрия. Квадрат является фигурой простой, в нём только 4 стороны и 4 угла, между которыми абсолютное равенство. Квадрат можно назвать подвидом прямоугольника, только у которого ширина и длина сторон одинаковы. При этом квадрат всегда плоский. Чтобы посчитать площадь квадрата, достаточно умножить одну его сторону на другую.

Конфигурация куба сложнее, поскольку в нём уже присутствует третья мера – объём. Эта характеристика отражает пространство, которое занимает объект, в нашем случае куб. У куба также есть и третье измерение (параметр) – высота. Между собой ширина, длина и высота у куба равны.

Нахождение объема и площади

Если необходимо посчитать объем фигуры, то для расчета берут длину любого ребра между гранями и возводят её в третью степень. Для нахождения площади трехмерной фигуры куба надо узнать сумму площади всех его сторон. Поскольку они идентичны, то просто площадь одной стороны умножаем на 6. А чтобы найти площадь одной из сторон, умножаем длину ребра на себя же. Допустим, длина ребра 4 см, чтобы найти площадь одной стороны куба, 4 умножаем на 4 – получаем 16. И эту цифру уже увеличиваем в 6 раз. Значит, объём куба будет равен 96 см²

Сложные свойства куба

По сравнению с квадратом куб обладает более сложными, дополнительными характеристиками. Например, геометрический объект имеет четыре сечения, которые представляют собой правильные шестиугольники. Все сечения куба проходят через его центр и располагаются перпендикулярно относительно четырех главных его диагоналей.

Поскольку куб имеет объём, то в него можно вписать различные многогранники – такие как тетраэдр (простейший многогранник с гранями в виде 4-х треугольников), октаэдр (у этого многогранника уже 8 граней), икосаэдр (20 граней многогранника).

Чтобы ещё легче было понять разницу между кубом и квадратом, имеет смысл оценить свойства каждой фигуры наглядно. К примеру, взять обычный детский кубик с наклеенными картинками на его стороны. Так вот, сам кубик – это фигура куб, а каждая наклеенная на его сторону картинка – квадрат.

Источник