Что обозначает сумма в статистике

Статистические суммы

Статистическая сумма (или сумма по состояниям) — важнейший параметр модели канонического статистического ансамбля, которая применяется при описании наиболее распространенного типа статистических систем — систем, находящихся в термическом контакте с термостатом.

Полезность статистических сумм обусловлена рядом их отличительных особенностей.

1) статистическая сумма является числовой характеристикой, отражающей в компактифицированной форме функцию распределения статистического ансамбля;

2) статистические суммы обладают мультипликативностью — если в сложной системе можно выделить несколько слабо взаимодействующих подсистем, то статистическая сумма системы может быть представлена в виде произведения статистических сумм ее подсистем;

3) через статистическую сумму можно выразить все основные термодинамические характеристики системы:

свободную энергию F = – kT ln Q

что позволяет рассчитывать эти макроскопические характеристики вещества на основе информации о строении его молекул и внешних условиях (температура и др.).

С формальной точки зрения статистическая сумма играет роль нормировочного множителя при вычислении вероятностей в модели канонического ансамбля:

В отличие от вероятностей p(E_i), величина самой статистической суммы Q зависит от используемой шкалы энергии. Поэтому при вычислениях следует пользоваться специальной статистической шкалой, в которой нулевая отметка совпадает с низшим энергетическим уровнем, доступным для исследуемой системы. Другими словами, при статистических расчетах не следует учитывать т.н. «нулевую энергию» Е_о, которая характеризует все связанные системы. Эта энергия не может участвовать в теплообмене с окружающей средой (термостатом) и поэтому не вносит никакого вклада в статистическое поведение термостатированной системы. Таким образом, при вычислении статистических сумм следует пользоваться не теми значениями энергии, которые дают квантовомеханические модели (потенциальный ящик, осциллятор и т.д.), а значениями исправленными:

Например, модель одномерного потенциального ящика приводит к допустимым значениям энергии, выражаемым известной формулой:

В статистической шкале это выражение приобретает иной вид:

Поскольку в статистической шкале первое допустимое значение энергии равно нулю, то первая экспонента в сумме всегда равна единице, и формула для вычисления статистической суммы приобретает вид:

где суммирование следует начинать с i = 2.

Отсюда, в частности, следует, что возможные числовые значения статистической суммы всегда лежат в интервале: 1

Источник

Основы статистики: просто о сложных формулах

Статистика вокруг нас

Статистика и анализ данных пронизывают практически любую современную область знаний. Все сложнее становится провести границу между современной биологией, математикой и информатикой. Экономические исследования и регрессионный анализ уже практически неотделимы друг от друга. Один из известных методов проверки распределения на нормальность — критерий Колмогорова-Смирнова. А вы знали, что именно Колмогоров внес огромный вклад в развитие математической лингвистики?

Еще будучи студентом психологического факультета СПбГУ, я заинтересовался когнитивной психологией. Кстати, Иммануил Кант не считал психологию наукой, так как не видел возможности применять в ней математические методы. Мои текущие исследования посвящены моделированию психических процессов, и я надеюсь, что такие направления в современной когнитивной психологии, как вычислительные и коннективисткие модели, смягчили бы его отношение!

Конечно, статистика применяется далеко за пределами научных лабораторий: в рекламе, маркетинге, бизнесе, медицине, образовании и т.д. Но, что самое интересное, базовые знания анализа данных крайне полезны и в повседневной жизни. Например, думаю, все вы знакомы с понятием среднего арифметического. Среднее значение очень часто используется в СМИ при обсуждении различных социально-экономических показателей — доходов, уровня безработицы и т.д. В 2005 году британские СМИ писали о том, что средний уровень дохода населения не только не возрос, но снизился на 0,2 % по сравнению с предыдущим годом. Мелькали заголовки «Доходы населения снизились впервые с 1990 года». Некоторые политики даже использовали этот факт, критикуя действующее правительство. Однако, важно понимать, что среднее арифметическое — хороший показатель, когда наш признак имеет симметричное распределение (богатых столько же, сколько бедных). Реальное же распределение доходов имеет скорее следующий вид:

Распределение имеет явно выраженную асимметрию: очень состоятельных людей заметно меньше, чем представителей среднего класса. Это приводит к тому, что в данном случае банкротство одного из миллионеров может значительно повлиять на этот показатель. Гораздо информативнее использовать значение медианы для описания таких данных. Медиана — это значение зарплаты, которое находится в самой середине распределения доходов (50% всех наблюдений меньше медианы, 50% — больше). И, как ни удивительно, медиана дохода в 2005 году в Великобритании, в отличие от среднего значения, продолжила свой рост. Таким образом, если вы знаете о различных типах распределения и различных мерах центральной тенденции (среднее и медиана), то вас не так просто ввести в заблуждение в таких случаях, как описаны в примере.

Черный ящик статистического анализа

Как мы уже выяснили, чем бы вы ни планировали заниматься, вероятность столкнуться с курсом «математическая статистика в вашей области» постепенно приближается к единице. Однако, часто занятия по введению в статистику не вызывают восторга у студентов нетехнических факультетов. Через несколько занятий выясняется, что такие базовые понятия, как, например, корреляция представляют собой нечто следующее:

О чем нам, собственно, говорит p-value?

Предположим, мы решили выяснить, существует ли взаимосвязь между пристрастием к кровавым компьютерным играм и агрессивностью в реальной жизни. Для этого были случайным образом сформированы две группы школьников по 100 человек в каждой (1 группа — фанаты стрелялок, вторая группа — не играющие в компьютерные игры). В качестве показателя агрессивности выступает, например, число драк со сверстниками. В нашем воображаемом исследовании оказалось, что группа школьников-игроманов действительно заметно чаще конфликтует с товарищами. Но как нам выяснить, насколько статистически достоверны полученные различия? Может быть, мы получили наблюдаемую разницу совершенно случайно? Для ответа на эти вопросы и используется значение p-уровня значимости (p-value) — это вероятность получить такие или более выраженные различия при условии, что в генеральной совокупности никаких различий на самом деле нет. Иными словами, это вероятность получить такие или еще более сильные различия между нашими группами, при условии, что, на самом деле, компьютерные игры никак не влияют на агрессивность. Звучит не так уж и сложно. Однако, именно этот статистический показатель очень часто интерпретируется неправильно.

А теперь несколько примеров про p-value

Давайте разберем все ответы по порядку:

Онлайн-курс по основам статистики: сложные формулы несложным языком

Сейчас я пишу диссертацию на факультете психологии СПбГУ и преподаю статистику биологам в Институте биоинформатики. Основываясь на курсе читаемых лекций и собственного исследовательского опыта, возникла идея создать онлайн-курс по введению в статистику на русском языке для всех желающих, необязательно биоинформатиков или биологов.

Существует много хороших онлайн-курсов по анализу данных и статистике (например, такой, такой, или такой), но практически все они на английском языке. Надеюсь, что курс будет полезен для тех, кто только знакомится с основами статистики. В нем я стараюсь в максимально доступной форме разобрать основные идеи и методы анализа данных, уделяя особое внимание самой идее статистической проверки гипотез и интерпретации получаемых результатов. В качестве примеров будут задачи из различных областей: от биоинформатики до социологии. Курс бесплатный и все его материалы останутся открытыми после окончания, начинается 15 февраля.

Источник

Конспект курса «Основы статистики»

1. Введение

Способы формирования репрезентативной выборки:

Простая случайная выборка (simple random sample)

Стратифицированная выборка (stratified sample)

Групповая выборка (cluster sample)

Типы переменных:

непрерывные (рост в мм)

дискретные (количество публикаций у учёного)

Ранговые (успеваемость студентов)

Гистограмма частот:

Позволяет сделать первое впечатление о форме распределения некоторого количественного признака.

Описательные статистики:

Меры центральной тенденции (узкий диапазон, высокие значения признака):

( используется для среднего значения из выборки, а для генеральной совокупности латинская буква )

Свойства среднего:

Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.

Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.

Если для каждого значения выборки, рассчитать такой показатель как его отклонение от среднего арифметического, то сумма этих отклонений будет равняться нулю.

Меры изменчивости (широкий диапазон, вариативность признака):

При добавлении сильно отличающегося значения данные меняются сильно и могут быть некорректные.

Дисперсия генеральной совокупности:

(среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности)

(среднеквадратическое отклонение выборки)

Свойства дисперсии:

Квартили распределения и график box-plot

Нормальное распределение

Отклонения наблюдений от среднего подчиняются определённому вероятностному закону.

Стандартизация

Правило «двух» и «трёх» сигм

Центральная предельная теорема

Есть признак, распределенный КАК УГОДНО* с некоторым средним и некоторым стандартным отклонением. Тогда, если выбирать из этой совокупности выборки объема n, то их средние тоже будут распределены нормально со средним равным среднему признака в ГС и стандартным отклонением .

30″ alt=»SE = \frac<\sqrt>, n>30″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/20c/135/3bc/20c1353bcfedf2ff8851752cf7f49f37.svg»/>

Доверительные интервалы для среднего

Доверительный интервал является показателем точности измерений. Это также показатель того, насколько стабильна полученная величина, то есть насколько близкую величину (к первоначальной величине) вы получите при повторении измерений (эксперимента).

Идея статистического вывода

2. Сравнение средних

T-распределение

Если число наблюдений невелико и \sigma неизвестно (почти всегда), используется распределение Стьюдента (t-distribution).

Унимодально и симметрично, но: наблюдения с большей вероятностью попадают за пределы от

«Форма» распределения определяется числом степеней свободы ().

С увеличением числа распределение стремится к нормальному.

t-распределение используется не потому что у нас маленькие выборки, а потому что мы не знаем стандартное отклонение в генеральной совокупности.

Сравнение двух средних; t-критерий Стьюдента

Критерий, который позволяет сравнивать средние значения двух выборок между собой, называется t-критерий Стьюдента.

Условия для корректности использования t-критерия Стьюдента:

Две независимые группы

Формула стандартной ошибки среднего:

Формула числа степеней свободы:

Формула t-критерия Стьюдента:

Переход к p-критерию:

Проверка распределения на нормальность, QQ-Plot

Однофакторный дисперсионный анализ

Часто в исследованиях необходимо сравнить несколько групп между собой. В таком случае применятся однофакторный дисперсионный анализ.

Группы:

Нулевая гипотеза:

Альтернативная гипотеза:

Среднее значение всех наблюдений:

Общая сумма квадратов (Total sum of sqares):

Показатель, который характеризует насколько высока изменчивость данных, без учёта разделения их на группы.

Число степеней свободы:

— Межгрупповая сумма квадратов (Sum of sqares between groups)

— Внутригрупповая сумма квадратов (Sum of sqares within groups)

F-значение (основной статистический показатель дисперсионного анализа):

При делении значения межгрупповой суммы квадратов на число степеней свободы, полученный показатель усредняется.

Поэтому формула F-значения часто записывается:

Множественные сравнения в ANOVA

Проблема множественных сравнений:

Поправка Бонферрони

Самый простой (и консервативный) метод: P-значения умножаются на число выполненных сравнений.

Критерий Тьюки

Критерий Тьюки используется для проверки нулевой гипотезы против альтернативной гипотезы , где индексы и обозначают любые две сравниваемые группы.

Указанные сравнения выполняются при помощи критерия Тьюки, который представляет собой модифицированный критерий Стьюдента:

где — рассчитываемая в ходе дисперсионного анализа внутригрупповая дисперсия.

Многофакторный ANOVA

При применении двухфакторного дисперсионного анализа исследователь проверяет влияние двух независимых переменных (факторов) на зависимую переменную. Может быть изучен также эффект взаимодействия двух переменных.

Исследуемые группы называют эффектами обработки. Схема двухфакторного дисперсионного анализа имеет несколько нулевых гипотез: одна для каждой независимой переменной и одна для взаимодействия.

Условия применения двухмерного дисперсионного анализа:

Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены.

Выборки должны быть независимыми.

Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными.

Группы должны иметь одинаковый объем выборки.

АБ тесты и статистика

3. Корреляция и регрессия

Понятие корреляции

Коэффициент корреляции – это статистическая мера, которая вычисляет силу связи между относительными движениями двух переменных.

Принимает значения [-1, 1]

— показатель силы и направления взаимосвязи двух количественных переменных.

Знак коэффициента корреляции показывает направление взаимосвязи.

Коэффициент детерминации

— показывает, в какой степени дисперсия одной переменной обусловлена влиянием другой переменной.

Равен квадрату коэффициента корреляции.

Принимает значения [0, 1]

Условия применения коэффициента корреляции

Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие условия:

Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.

Распределения переменных и должны быть близки к нормальному.

Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных и должно быть одинаковым.

Коэффициент корреляции Спирмена

Регрессия с одной независимой переменной

Уравнение прямой:

— (intersept) отвечает за то, где прямая пересекает ось y.

— (slope) отвечает за направление и угол наклона, образованный с осью x.

Метод наименьших квадратов

Формула нахождения остатка:

— остаток

— реальное значение

— значение, которое предсказывает регрессионная прямая

Сумма квадратов всех остатков:

Параметры линейной регрессии:

Гипотеза о значимости взаимосвязи и коэффициент детерминации

Коэффициенты линейной регрессии

Коэффициенты регрессии (β) — это коэффициенты, которые рассчитываются в результате выполнения регрессионного анализа. Вычисляются величины для каждой независимой переменной, которые представляют силу и тип взаимосвязи независимой переменной по отношению к зависимой.

Коэффициент детерминации

— доля дисперсии зависимой переменной (Y), объясняем регрессионной моделью.

— сумма квадратов остатков

— сумма квадратов общая

Условия применения линейной регрессии с одним предиктором

Линейная взаимосвязь и

Нормальное распределение остатков

Регрессионный анализ с несколькими независимыми переменными

Множественная регрессия (Multiple Regression)

Множественная регрессия позволяет исследовать влияние сразу нескольких независимых переменных на одну зависимую.

Требования к данным

линейная зависимость переменных

нормальное распределение остатков

проверка на мультиколлинеарность

нормальное распределение переменных (желательно)

Источник