Что обозначают вершины графа в информатике
Теория Графов. Часть 1 Введение и классификация графов
«Графы являются одним из объединяющих понятий информатики – абстрактное представление, которое описывает организацию транспортных систем, взаимодействие между людьми и телекоммуникационные сети. То, что с помощью одного формального представления можно смоделировать так много различных структур, является источником огромной силы для образованного программиста». Стивен С. Скиена
Введение
Сначала под землей города Москвы ничего не было. Потом была построена первая станция метро, а затем и вторая и третья. Образовалось множество станций метро. На карту было занесено множество точек. Позже между станциями стали прокладывать пути линии. И соединилась станция метро А со станцией метро Б. Все остальные станции также стали соединятся друг с другом и на карте появилось множество линий. В итоге мы имеем Московский метрополитен очень красивый, я там был проверял.
Схема Московского метро
Посмотрите какая красота. У нас имеется множество точек (которые называются вершинами или узлами), а также множество линий (называемые рёбрами или дугами). Обозначим множество вершин буквой V от английского vertex−вершина и множество рёбер обозначим E от английского edge−ребро. Граф в формулах именуют буквой G. Все вершины обязательно должны быть идентифицированы.
Отмечу, что число вершин обозначается буквой n:
Число рёбер обозначается буквой m:
Таким образом граф задается и обозначается парой V,E:
Также определение графа рассказывается в этой статье на Хабре (https://habr.com/ru/post/65367/)
Неформально граф является совокупностью точек и линий. Линии в котором задаются парой вершин, расположенных не важно в каком порядке.
Разберем определение графа подробней. Может ли в G быть пустым множество E? Да без проблем! Такой граф будет называться нулевым, а вершины в нем будут называться изолированными.
Нулевой граф
Только вот множество V вершины пустым быть не может. Ведь множество E рёбра задается парой неупорядоченных вершин множества V. Две вершины образующие ребро, называются концами этого ребра.
Множество E задается парой неупорядоченных вершин множества V.
Пример: Пусть множество V = <1,2,3,4,5>. Тогда множество E =
Граф будет выглядеть следующим образом:
Висячей вершиной называется вершина которая соединена только с одной соседней вершиной. В нашем случаи висячей вершиной будет вершина 5, так как она соединена только с вершиной 1.
Степень записывают, как:
Максимальная степень, то есть какое количество степеней вообще присутствуют в графе обозначаются, как:
Формула суммы степеней для G = V,E выглядит так:
То есть сумма степеней всех вершин v графа равна удвоенному количеству его рёбер E. Считаем количество степеней в нашем примере. От этого никуда не денешься. Я насчитал 12. А теперь считаем, сколько у нас рёбер. Их 6! Умножаем на 2 и получаем 12. Совпадение? Не думаю!
А давайте представим наш граф в другом виде, но с сохранением данных пар. G теперь имеет следующий вид:
Заметьте я не изменил пары между собой. Вершина 4 также соединяется с вершиной 3, а у вершины 1 степень также осталась 4. Так почему граф имеет совершенно другой вид и законно ли это?
Классификации графов
Первым признаком классификации является отсутствие или наличие ориентации у ребер.
Ребро является неориентированным если у него нет понятия начала или конца. То есть оба его конца равноправны. Такой граф называется неориентированным, обыкновенным или неографом.
Неориентированный граф
Ориентированное ребро обозначается стрелкой. И указывает ориентацию от вершины к вершине. То есть данный граф имеет начало и конец. И называется он ориентированным или орграфом.
Ориентированный граф
Также существует граф со смешанными ребрами. Это когда в графе присутствуют, как ориентированные рёбра, так и неориентированные.
Смешанный граф
Вторым признаком является отсутствие или наличие кратных ребер.
Мультиграф
Граф в котором кратных ребер нет, является простым графом. В простом графе мы просто называем пару вершин для идентификации ребра, но в мультиграфе такое уже не сработает, так как одна и та же пара вершин будет указывать на два ребра и не понятно что к чему будет относится. Поэтому если вы повстречаете мультиграф, то вы должны обозначить каждое ребро отдельно.
Заключение
В данной стать я не рассмотрел, понятия смежности и инцидентности, однако я решил их рассмотреть в следующий раз. Также хочу отметить, что более подробно виды графов, я буду рассматривать в следующих статьях. Если у вас есть вопросы, предложения или я где-то допустил ошибки, то прошу написать их в комментариях.
Теория Графов. Часть 1 Введение и классификация графов
«Графы являются одним из объединяющих понятий информатики – абстрактное представление, которое описывает организацию транспортных систем, взаимодействие между людьми и телекоммуникационные сети. То, что с помощью одного формального представления можно смоделировать так много различных структур, является источником огромной силы для образованного программиста». Стивен С. Скиена
Введение
Сначала под землей города Москвы ничего не было. Потом была построена первая станция метро, а затем и вторая и третья. Образовалось множество станций метро. На карту было занесено множество точек. Позже между станциями стали прокладывать пути линии. И соединилась станция метро А со станцией метро Б. Все остальные станции также стали соединятся друг с другом и на карте появилось множество линий. В итоге мы имеем Московский метрополитен очень красивый, я там был проверял.
Схема Московского метро
Посмотрите какая красота. У нас имеется множество точек (которые называются вершинами или узлами), а также множество линий (называемые рёбрами или дугами). Обозначим множество вершин буквой V от английского vertex−вершина и множество рёбер обозначим E от английского edge−ребро. Граф в формулах именуют буквой G. Все вершины обязательно должны быть идентифицированы.
Отмечу, что число вершин обозначается буквой n:
Число рёбер обозначается буквой m:
Таким образом граф задается и обозначается парой V,E:
Также определение графа рассказывается в этой статье на Хабре (https://habr.com/ru/post/65367/)
Неформально граф является совокупностью точек и линий. Линии в котором задаются парой вершин, расположенных не важно в каком порядке.
Разберем определение графа подробней. Может ли в G быть пустым множество E? Да без проблем! Такой граф будет называться нулевым, а вершины в нем будут называться изолированными.
Нулевой граф
Только вот множество V вершины пустым быть не может. Ведь множество E рёбра задается парой неупорядоченных вершин множества V. Две вершины образующие ребро, называются концами этого ребра.
Множество E задается парой неупорядоченных вершин множества V.
Пример: Пусть множество V = <1,2,3,4,5>. Тогда множество E =
Граф будет выглядеть следующим образом:
Висячей вершиной называется вершина которая соединена только с одной соседней вершиной. В нашем случаи висячей вершиной будет вершина 5, так как она соединена только с вершиной 1.
Степень записывают, как:
Максимальная степень, то есть какое количество степеней вообще присутствуют в графе обозначаются, как:
Формула суммы степеней для G = V,E выглядит так:
То есть сумма степеней всех вершин v графа равна удвоенному количеству его рёбер E. Считаем количество степеней в нашем примере. От этого никуда не денешься. Я насчитал 12. А теперь считаем, сколько у нас рёбер. Их 6! Умножаем на 2 и получаем 12. Совпадение? Не думаю!
А давайте представим наш граф в другом виде, но с сохранением данных пар. G теперь имеет следующий вид:
Заметьте я не изменил пары между собой. Вершина 4 также соединяется с вершиной 3, а у вершины 1 степень также осталась 4. Так почему граф имеет совершенно другой вид и законно ли это?
Классификации графов
Первым признаком классификации является отсутствие или наличие ориентации у ребер.
Ребро является неориентированным если у него нет понятия начала или конца. То есть оба его конца равноправны. Такой граф называется неориентированным, обыкновенным или неографом.
Неориентированный граф
Ориентированное ребро обозначается стрелкой. И указывает ориентацию от вершины к вершине. То есть данный граф имеет начало и конец. И называется он ориентированным или орграфом.
Ориентированный граф
Также существует граф со смешанными ребрами. Это когда в графе присутствуют, как ориентированные рёбра, так и неориентированные.
Смешанный граф
Вторым признаком является отсутствие или наличие кратных ребер.
Мультиграф
Граф в котором кратных ребер нет, является простым графом. В простом графе мы просто называем пару вершин для идентификации ребра, но в мультиграфе такое уже не сработает, так как одна и та же пара вершин будет указывать на два ребра и не понятно что к чему будет относится. Поэтому если вы повстречаете мультиграф, то вы должны обозначить каждое ребро отдельно.
Заключение
В данной стать я не рассмотрел, понятия смежности и инцидентности, однако я решил их рассмотреть в следующий раз. Также хочу отметить, что более подробно виды графов, я буду рассматривать в следующих статьях. Если у вас есть вопросы, предложения или я где-то допустил ошибки, то прошу написать их в комментариях.
Информатика. 9 класс
На прошлом уроке мы уже говорили о том, что одним из методов познания является моделирование, рассматривали различные классификации моделей и выделили в качестве предмета нашего рассмотрения информационные модели. Среди них можно выделить графические информационные модели, к которым относятся карты, чертежи, схемы, диаграммы, графики и предмет сегодняшнего рассмотрения — графы.
Если рассматривать группу объектов вместе с имеющимися между ними связями как единое целое, то можно говорить о системе. Мы можем графически изобразить объекты системы вершинами, а связи между ними линиями (рёбрами). В этом случае мы получим информационную модель системы в форме графа.
Если рёбра графа имеют направление, то оно отображается стрелками, а граф называется ориентированным (направленным).
Вершины графа могут отображаться точками, кругами, прямоугольниками и т.д.
Если вершины или ребра графа характеризуются некоторой дополнительной информацией — весом вершины или ребра, то такой граф называют взвешенным.
С помощью взвешенных графов удобно изображать дороги между населенными пунктами. Например, в приведенном примере указана протяжённость дорог в километрах.
Проведём путь, проходящий по вершинам и ребрам графа так, чтобы любое ребро входило в него не более одного раза. Такой путь называется цепью. Цепь, у которой совпадают начальная и конечная вершины, называется циклом.
Граф с циклом называется сетью . Если персонажей некоторого литературного произведения, мультфильма или сериала представить вершинами графа, а связи между ними изобразить рёбрами, то получится граф, который называют семантической сетью.
Информационные модели в виде графов широко используются в повседневной жизни.
Например, при проектировании нового жилого района можно здания обозначить как вершины графа, а дороги, коммуникации и т.д. — ребрами графа. По таким графам удобно, например, прогнозировать загрузку дорог и находить оптимальные транспортные маршруты. Другим примером является схема метрополитена. Вершинами в графе в этом случае являются станции метро.
Граф, в котором отсутствуют циклы, называется деревом.
В этом случае между любыми двумя вершинами существует только один путь.
С помощью дерева удобно представлять иерархическую систему.
У дерева выделяется одна главная вершина, которую называют корнем.
Каждая вершина дерева, исключая корень, может иметь только одного предка (вершина верхнего уровня), но при этом может порождать множество потомков, отображаемых вершинами нижнего уровня. Вершины, у которых отсутствуют порожденные вершины, называются листьями.
Одним из известных применений графов является генеалогическое или родословное дерево, на котором отображаются родственные связи.
Существуют задачи, которые удобно решать с помощью графов.
Например, если мы хотим отобразить все возможные варианты трехзначных чисел, которые могут получиться из цифр 7 и 8.
С помощью графов удобно решать задачи на определение выигрышной стратегии игроков.
Задача на анализ информации, представленной в виде графа, является одной из предлагаемых на государственной итоговой аттестации по информатике.
Итак, сегодня вы узнали о том, какие бывают графы и из каких элементов они состоят, для каких целей создаются. Получили представление об ориентированных и неориентированных графах, деревьях. Научились решать задачи на определение количества путей в графе, используемые при государственной итоговой аттестации. Закрепите полученные знания на практике, выполнив упражнения.
Вводятся понятия — Граф. Вершина, ребро, путь. Ориентированные и неориентированные графы. Длина (вес) ребра и пути. Дерево. Корень, лист, вершина.
1. Обсуждение различных графических информационных моделей. На этом этапе происходит коллективное обсуждение существующих технологических решений для создания графических информационных моделей;
2. Определяется необходимость рассмотрения группы объектов вместе с существующими между ними связями, т.е. системы. Затем — возможность получения информационной модели системы в форме графа. Рассматриваются различные варианты отображения графов;
3. Определение понятий — Граф. Вершина, ребро, путь. Ориентированные и неориентированные графы. Длина (вес) ребра и пути. Дерево. Корень, лист, вершина.
4. Исследование различных возможных путей, проходящих по вершинам и ребрам графа. Цепь. Цикл.
5. Реализация интерактивного элемента с целью проверки первичного усвоения нового материала;
6. Определение сети. Исследование возможных вариантов применения информационных моделей в форме графов в повседневной жизни;
7. Определение Дерева. Корень, Предки, Потомки, Листья. Исследование возможностей, предоставляемых различными сервисами для построения генеалогического дерева;
8. Использование графов для графического представления решения различных задач. Задача о построении дерева возможных трёхзначных чисел.
Разбор задачи демонстрационного варианта ФИПИ-2017 на анализ информации, представленной в виде схем
Графические информационные модели. Графы
Урок 6. Информатика 9 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Графические информационные модели. Графы»
Граф – это совокупность объектов со связями между ними. Графически это будет выглядеть следующим образом:
Вершины (точки) – это объекты, а ребра (линии между ними) – это связи. Помимо точек вершины графа могут изображаться овалами, кругами, прямоугольниками и так далее. Связи между вершинами могут быть различными: дуги, рёбра, петли.
На данном уроке мы с вами познакомимся с ориентированными и неориентированными графами. В ориентированном графе связями между вершинами будут дуги, а в неориентированном – рёбра.
Решим задачу: В соревнованиях по шахматам участвовало 6 учащихся с 9 по 11 класс. При встрече они все обменялись рукопожатиями. Вопрос: сколько всего было сделано рукопожатий?
Для решения данной задачи будем использовать граф. Вершинами графов будут являться шесть учащихся, которые участвовали в турнире. Пронумеруем их от одного до шести. Проведем от каждой вершины линии (ребра) к оставшимся пяти вершинам.
Для ответа на вопрос остается сосчитать, сколько линий изображено на графе. Ответ: на турнире было сделано 15 рукопожатий.
Взвешенный граф – это граф, в котором вершины или рёбра характеризуются некоторой дополнительной информацией – весами вершин или рёбер.
Давайте сами нарисуем взвешенный граф на основе задачи со следующим условием: Между городами A, B, C, D, Е построены дороги. Необходимо найти кратчайший путь из города А в город Е, если известно, что из города А в город В расстояние 100 километров, из А в С – 260 километров, из В в С – 140 километров, из В в Е – 400 километров, из С в D – 50 километров, из С в Е – 100 километров и из D в Е – 40 километров.
Итак, для решения данной задачи необходимо нарисовать взвешенный граф, так как нам дано расстояние, то есть вес рёбер. Для начала нарисуем вершину А. Из неё будут выходить два ребра в вершины В и С. Ребро из А в В будет короче, чем из А в С, так как расстояние из пункта А в пункт В 100 километров, а из пункта А в пункт С – 260 километров.
Далее нарисуем ребро из В в С и его вес будет равен 140.
Теперь нарисуем ребро из вершины С в вершину D и укажем вес 50
У нас получился взвешенный граф.
Нам осталось найти кратчайший путь. Для этого из вершины А будем идти в вершину В – это 100 километров, затем сразу в вершину Е. Слаживаем 100 и 400, получим 500 километров.
В свою очередь, цикл – это цепь, в которой начальная и конечная вершины совпадают. В детстве, наверное, каждый из вас рисовал звезду, не отрывая ручки от бумаги и не проходя дважды по одной и той же линии или ребру. При изображении такой звезды начальная и конечная вершины совпадают. Сеть – это граф с циклом.
Разберём ещё один пример. У Антона в семье есть мама Татьяна, папа Юрий и сестра Маша. Изобразим каждого члена семьи как вершину нашего графа и обозначим первыми буквами имён. От каждого из них проведём рёбра к оставшимся троим. Над каждым из рёбер укажем, кто кем и кому приходится. Например, если идти от вершины Антона к Юрию, то Антон является сыном. А если идти наоборот, от Юрия к Антону, то Юрий является отцом. Аналогичным образом можно провести отношения между всеми членами семьи. Данный граф является примером семантической, или же смысловой сети.
Таким образом, Семантическая сеть – это информационная модель, имеющая вид графа, вершинам которого соответствуют определённые объекты, а рёбра задают отношения между ними. Все связи данного графа различны, поэтому их необходимо подписывать.
Графы широко распространены как информационные модели. Их можно применять, например, при планировании жилого района, где вершинами будут являться дома, а рёбрами – дороги или дорожки, которые их связывают. Ещё одним примером будет являться карта проезда по городу на любом из видов транспорта, где остановки – это вершины, а путь движения транспорта – это рёбра и так далее.
Следующее определение в данной теме: дерево. Дерево – это граф, в котором нет циклов, то есть в нём нельзя из некоторой вершины пройти по различным рёбрам и вернуться в ту же вершину. Отличительная особенность дерева: между любыми двумя его вершинами существует единственный путь. Корень дерева – это одна и единственная главная его вершина.
Каждая вершина дерева (кроме корня) имеет только одного предка. Обозначенный предком объект входит в один класс высшего уровня. Любая вершина дерева может порождать несколько потомков. Потомки – это вершины, которые соответствуют классам нижнего уровня. Такой принцип связи называется «один-ко-многим». Листья – это вершины, которые не имеют потомков.
Разберёмся более подробно на примере:
Ученик Антон решил составить генеалогическое дерево своей семьи. Для этого ему необходимо было узнать, кто в каких отношениях находится. То есть он является сыном своего отца Юрия и мамы Татьяны. В свою очередь Татьяна является дочерью Леонида (дедушки Антона) и Елены (бабушки Антона). Юрий является сыном Григория (дедушки Антона) и Марии (бабушки Антона). У Антона есть сестра Маша. Так как словесное описание трудно для восприятия, давайте поможем Антону представить это все в виде дерева и построим генеалогическое дерево.
Видим, что самыми старшими являются дедушки и бабушки Антона, поэтому расположим их в самом верху. У Леонида и Елены есть дочь Татьяна, а у Григория и Марии сын Юрий. Значит, разместим их на втором уровне (если считать сверху) и укажем их отношения с родителями в виде стрелок. У Татьяны и Юрия есть сын Антон и дочь Маша. Разместим их аналогичным образом на нашей схеме.
Таким образом, мы построили родословное дерево.
· Граф – это совокупность объектов со связями между ними.
· Вершины – это объекты, а ребра – это связи.
· Взвешенный граф – это граф, в котором вершины или рёбра характеризуются некоторой дополнительной информацией – весами вершин или рёбер.
· Цепь – это путь по вершинам и рёбрам графа, в который любое ребро графа входит не более одного раза.
· Цикл – это цепь, в которой начальная и конечная вершины совпадают.
· Сеть – это граф с циклом.
· Семантическая сеть – это информационная модель, имеющая вид графа, вершинам которого соответствуют определённые объекты, а рёбра задают отношения между ними.
· Дерево – это граф, в котором нет циклов, то есть в нём нельзя из некоторой вершины пройти по различным рёбрам и вернуться в ту же вершину.