Как возвести логарифм в квадрат

Как возвести логарифм в квадрат, когда под знаком логарифма стоит произведение или частное? Как упростить квадрат логарифма степени?

Как возвести в квадрат логарифм произведения.

Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, квадрат логарифма произведения равен квадрату суммы логарифмов множителей:

0,a \ne 1,x > 0,y > 0.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Если изменить условия:

0,a \ne 1,xy > o,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

то каждый из множителей под знаком логарифма нужно брать по модулю:

Как возвести в квадрат логарифм частного.

Так как логарифм частного равен разности логарифмов, то квадрат логарифма частного равен квадрату разности логарифмов делимого и делителя:

0,a \ne 1,x > 0,y > 0.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

При изменении условий

0,a \ne 1,\frac > o,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

под знаком логарифма появляются модули:

Возведение в квадрат логарифма степени.

В логарифме степени показатель можно вынести за знак логарифма.

При возведении в квадрат логарифма степени показатель степени также следует возвести в квадрат:

0,a \ne 1,x > 0.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

0,a \ne 1,x \ne 0,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

то при чётном показателе степени при вынесении показателя за знак логарифма под знаком логарифма появляется модуль:

Аналогично возводят в квадрат логарифм со степенью в основании:

0,a \ne 1,x > 0;\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

0,a \ne 1,x \ne 0.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Источник

Формулы и свойства логарифмов

Определение логарифма

Логарифм — это математическая функция, основанная на свойствах возведения в степень.

Основываясь на математических формулах логарифмов, можно вычислить постоянную константу, которая в корреляции со всеми математическими константами окажет влияние на конечный результат логарифма числа. В месте с тем, этот результат приведет к трансформации объектов, равных пропорции необходимых логарифмов в пересчете на множители обратных функций.

С первого взгляда это сложно понять, но если увеличить коэффициент логарифма на равный ему множитель, то получится свойство логарифма применимое к школьной программе старших классов, а также для учащихся высших учебных заведений.

Категорическое решение логарифмов, основываясь на из свойствах, ставит в пропорцию их виды. Таким образом, формулы логарифмов соотносятся к самим логарифмам, как необходимая часть их самих.

Виды логарифмов

Для определения основания логарифма необходимо сначала определить его вид и, исходя из полученных результатов, по формуле и таблице сравнить корректность полученных значений. Это и будет основанием логарифма.

Чтобы решить логарифм необходимо понять, что a в степени x будет равно b, т.е. в какую степень x необходимо возвести основание логарифма a, чтобы получить значение b.

Примеры логарифмов:

В данных примерах можно увидель сложные и простые логарифмы, решение которых показывает, что всякий тождественный логарифм находится в пропорции его основания, за исключением вводных данных.

Конечно, основание логарифма пропорционально его значению, что приводит к равенству обратного значения. Это также необходимо учесть при рассмотрении равенства, кроме случаев, когда логарифм переностися с левой части равенства в правую.

log 2 8 = 3 (логарифм 8 по основанию 2 ), так как 2 3 = 8

log 7 49 = 2 (логарифм 49 по основанию 7 ), так как 7 2 = 49

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10.

Десятичный логарифм может быть не только как равенство степеней, но и показывать их различия. Наиболее хорошо это видно при разложении логарифма на члены в качестве констант a и b.

Конечным результатом решения десятичного логарифма является его сходство с натуральным логарифмом.

Примеры десятичных логарифмов:

lg 100 = 2 — десятичный логарифм обозначается именно так (lg), это десятичный логарифм ста;

Натуральный логарифм

При решении натурального логарифма его основа будет схожей с десятичным логарифмом за исключением того, что вместо числа 10 будет использоваться постоянная константа e.

Ещё одной особенностью натурального логарифма будет его неравенство по отношению к обратной функции.

Но стоит не приравнивать такое основание логарифма к прямой константе из-за большой разности при выборе метода подсчета логарифма.

Формулы и свойства логарифмов

Именно это свойство логарифмов позволяет вычислять точные значения в отличае от других методов вычисления.

Неточность других методов вычисления основывается на неверной корреляции остаточного члена логарифмического равенства.

Наряду с этим каждое из свойств является индивидуальным, равно как каждый из его членов. Всё это позволяет сделать вывод, что благодаря формулам, выведенным математиком, вычисления становятся простыми в рамках неравенств.

Основное логарифмическое тождество

Логарифм единицы

Вычисления такого логарифма применяются в балистике при расчете траектории движения объекта, находящегося в непосредственной близости от Земли. Это обусловлено наиболее точным значением ускорением свободного падения, равным 9,81. А при удалении от поверности Земли это значение изменяется, уменьшается пропорционально расстоянию удаления от поверхности.

Логарифм числа, равного основанию

Логарифмическая единица. Если аргумент и основание логарифма одинаковы, то значение логарифма будет равно единице.

Логарифм числа, обратного основанию

Логарифм произведения двух положительных чисел

Сумма логарифмов. При умножении логарифмируемых чисел, можно сделать из них сумму 2-х логарифмов, у которых будут одинаковые основания.

Логарифм частного

Логарифм частного. При делении чисел мы получаем разность двух логарифмов с одинаковым основанием.

Логарифм степени положительного числа

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа.

Логарифм корня числа

Логарифм корня равен частному от деления логарифма подкоренного числа на показатель корня.

Основание логарифма в степени

Формула перехода к новому основанию

log a x = log b x log b a

log a x = 1 log x a

Производная логарифма

Производная логарифмической функции по основанию равна единице, деленной на произведение подлогарифмической функции на натуральный логарифм основания.

При расчёте производной логарифма необходимо учитывать ложный коэффициент производной, при котором нарастает его гиперболическая составляющая. Это и есть главное условие корректного нахождения производной логарифма. В то же время, нельзя упускать второстепенные составляющие при расчёте. К ним относятся расчеты с применением общей суммы логарифмов, а также пропорциональная составляющая двух вычисляемых логарифмов. Такой подход можно применить не только для вычисления производной натурального логарифма, но и при расчете производной десятичного логарифма при возведении в степень x по основанию a.

График логарифмов

Таким образом можно увидеть изменения логарифма по основанию от 0 до 10. Промежуточным результатом является логарифм по основанию e, которое приблизительно равно 2.72.

Так трафик логарифма по основанию 0 имеет форму прямой линии, а графики десятичного логарифма и натурального логарифма имею гиперболическую форму.

Источник

Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

log_a a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log₂16. Поэтому сначала найдем значение log₂16, а затем подставим полученный результат в log₄:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Свойства логарифмов

Определение логарифма

Основное логарифмическое тождество

Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a &#x2260 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.

Два очевидных следствия определения логарифма

Логарифм произведения и логарифм частного

log a ( b c ) = log a b + log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (5)

log a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) (6)

Действительно, выражение log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Степень можно выносить за знак логарифма

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x )

Формула перехода к новому основанию

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) (9)

Десятичные и натуральные логарифмы

Источник