Что означает ось симметрии прямоугольника

Симметрия прямоугольника

Какова симметрия прямоугольника? Есть ли у прямоугольника ось симметрии и центр симметрии?

Прямоугольник имеет две оси симметрии.

Осями симметрии прямоугольника являются прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей параллельно сторонам.

Пусть O — точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, K и F — точки пересечения прямой, проходящей через точку O параллельно стороне AB, со сторонами AD и BC. Тогда

Прямоугольные треугольники AOK и DOK равны по катету и гипотенузе (OK- общий катет, OA=OD по свойству диагоналей параллелограмма). Следовательно, AK=DK, то есть прямая FK проходит через середину стороны AD.

Отметим на стороне AB произвольную точку X. Проведём прямую через точку X прямую, перпендикулярную прямой FK. Точки пересечения этой прямой с прямыми FK и CD обозначим через P и X1.

Четырёхугольники AXPK и KPX1D — прямоугольники (так как у них все углы прямые). Следовательно, XP=AK, PX1=KD. А так как AK=DK, то и XP=PX1. Значит, X1 — точка, симметричная точке X относительно прямой FK.

Имеем: точка, симметричная относительно прямой FK произвольной точке прямоугольника, также принадлежит прямоугольнику.

Точки F и K симметричны сами себе относительно прямой FK.

Таким образом, FK — ось симметрии прямоугольника.

Аналогично доказывается, что прямая, проходящая через точку O параллельно AD является осью симметрии ABCD.

Прямоугольник — центрально симметричная фигура.

Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.

Так как параллелограмм — центрально-симметричная фигура с центром симметрии в точке пересечения диагоналей, то это верно и для частного случая параллелограмма — прямоугольника.

Источник

Осевая и центральная симметрия

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

Симметрия

Вам будет интересно: Как сдать физику и что нужно для этого сделать?

Некоторые фигуры не имеют симметрии, поэтому они и называются неправильными или же асимметричными. К таким относятся различные трапеции (кроме равнобедренной), треугольники (кроме равнобедренного и равностороннего) и другие.

Вам будет интересно: Гибкость: определение, средства и методы развития гибкости

Виды симметрии

Также обсудим некоторые виды симметрии, чтобы до конца изучить это понятие. Их разделяют так:

История симметрии

Само понятие симметрии часто бывает отправной точкой в теориях и гипотезах ученых древних времен, которые были уверены в математической гармонии мироздания, а также в проявлении божественного начала. Древние греки свято верили в то, что Вселенная симметрична, потому что симметрия великолепна. Человек очень давно использовал идею симметрии в своих познаниях картины мироздания.

В V веке до нашей эры Пифагор считал сферу самой совершенной формой и думал, что Земля имеет форму сферы и таким же образом движется. Также он полагал, что Земля движется по форме какого-то «центрального огня», вокруг которого должны были вращаться 6 планет (известные на то время), Луна, Солнце и все другие звезды.

А философ Платон считал многогранники олицетворением четырех природных стихий:

Из-за всех этих теорий правильные многогранники называют телами Платона.

Симметрией пользовались еще зодчие Древней Греции. Все их постройки были симметричны, об этом свидетельствуют изображения древнего храма Зевса в Олимпии.

Голландский художник М. К. Эшер также прибегал к симметрии в своих картинах. В частности, мозаика из двух птиц, летящих навстречу, стала основой картины «День и ночь».

Также и наши искусствоведы не пренебрегали правилами симметрии, что видно на примере картины Васнецова В. М. «Богатыри».

Симметрия геометрических фигур и тел

Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

Симметрия в природе

Природа поражает множеством примеров симметрии. Даже наше человеческое тело устроено симметрично. Два глаза, два уха, нос и рот расположены симметрично относительно центральной оси лица. Руки, ноги и все тело в общем устроено симметрично оси, проходящей через середину нашего тела.

Вывод

Источник

Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

На рисунке 125 изображен прямоугольник ABCD.

Стороны AB и BC имеют общую вершину B. Их называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними являются, например, стороны BC и CD.

Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной.

Стороны AB и CD не имеют общих вершин. Их называют противоположными сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими являются стороны BC и AD.

Противолежащие стороны прямоугольника равны.

На рисунке 125 AB = CD, BC = AD. Если длина прямоугольника равна a, а ширина − b, то его периметр вычисляют по уже знакомой тебе формуле:

P = 2 a + 2 b

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом (рис. 126 ).

Проведем прямую l, проходящую через середины двух противолежащих сторон прямоугольника (рис. 127 ). Если лист бумаги перегнуть по прямой l, то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой l, совпадут.

Итак, прямоугольник − это фигура, имеющая ось симметрии. Также ось симметрии имеет равнобедренный треугольник (рис. 129 ).

Фигура может иметь более одной оси симметрии. Например, прямоугольник, отличный от квадрата, имеет две оси симметрии (рис. 130 ), а квадрат − четыре оси симметрии (рис. 131 ). Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 132 ).

Объекты, имеющие ось симметрии, легко воспринимаются и приятные для глаза. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота».

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре (рис. 134 ).

Источник

Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Урок 15. Математика 5 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Прямоугольник. Ось симметрии фигуры»

Давайте представим себе такую историю.

– Саша, чем ты занимаешься? – поинтересовался у друга Паша.

– Папа научил меня делать самолётик оригами! – восхищался Саша. – Посмотри, как круто летает такой самолётик!

– Да… его полёт завораживает! – наблюдал за самолётиком Паша. – Только вот я бы уточнил, что искусство создания бумажных самолётиков называется аэрогами или бумажная авиация. Это одна из техник оригами, при которой необходимо не только сложить красивую фигурку, похожую на оригинал, но и предусмотреть её лётные характеристики. Самолёты из бумаги были известны более 2000 лет назад. Однако тогда это были не самолётики, а птички.

Датой создания бумажного самолётика считается 1909 год, но более популярной датой является 1930 год. Тогда основатель известной компании по аэродинамике Lockheed Corporation Джек Нортроп заинтересовался, как из бумаги сделать самолёт.

– А зачем этому человеку нужны были бумажные самолётики? – поинтересовался Паша.

– Изобретатель хотел протестировать на бумажных самолётах свои новые идеи, – продолжил Паша. – Использование бумажной подделки в воздухе помогало правильно подбирать форму для будущих летательных аппаратов.

– Как же это интересно! – с восторгом сказал Саша.

– И это ещё не всё! – продолжил Паша. – В наши дни бумажная авиация, или аэрогами, получила мировую известность. Каждый человек знает, как сложить элементарный самолётик и запустить его. Но на сегодняшний день это уже не просто забава, а серьёзное увлечение, по которому проводят соревнования по всему миру.

– Вот бы мне побывать на таких соревнованиях, – сказал Саша.

– Обязательно побываешь! – подбодрил друга Паша. – Главное верить в свою мечту! Ну и, конечно же, тебе ещё будет полезным познакомиться с условиями создания и схемами бумажных самолётиков. Одними из главных условий создания самолётика являются использование бумаги прямоугольной или квадратной формы и чёткое соблюдение симметрии.

– Ого! – задумался Саша. – Вот про прямоугольные и квадратные формы я всё знаю, а про симметрию совсем ничего, – расстроился он.

– А давай спросим у Электроши, – предложил Паша. – Он точно всё знает!

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о прямоугольниках и симметрии, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– А теперь поговорим о прямоугольниках, – предложил Электроша. – И сразу начнём с вопроса: как вы понимаете, что такое прямоугольник?

– Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые, – ответил Паша.

– Молодец! – похвалил Пашу Электроша. – Посмотрите: на листе изображён прямоугольник ABCD. Вы уже знакомы с элементами многоугольников. Назовите элементы нашего прямоугольника.

– Прямоугольник ABCD имеет 4 вершины: А, B, C и D, 4 одноимённых угла и 4 стороны: AB, BC, CD и DA – ответил Саша.

– Всё верно! – подтвердил Электроша. – Посмотрите: стороны AB и BC имеют общую вершину B. Такие стороны называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними сторонами будут стороны BC и CD с общей вершиной C, CD и DA с общей вершиной D, DA и AB с общей вершиной А.

Соседние стороны прямоугольника являются его измерениями, и их называют длиной и шириной.

– А что вы можете сказать о сторонах, например, AB и CD нашего прямоугольника ABCD? – спросил у ребят Электроша.

– Стороны AB и CD не имеют общих вершин, – ответили мальчишки.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Такие стороны называют противолежащими сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими будут стороны BC и AD. Запомните! Противолежащие стороны прямоугольника равны.

– А теперь посмотрите: на листке изображён прямоугольник ABCD, его противолежащие стороны равны. Если длину прямоугольника обозначить буквой а, а ширину – буквой b, то его периметр можно вычислить по формуле: P = 2a + 2b.

– Среди прямоугольников есть особые, – продолжил Электроша, – у которых все стороны имеют одну и ту же длину. Вы, конечно, помните, что такие прямоугольники называют квадратами. Если длину стороны квадрата обозначить буквой а, то его периметр можно вычислить по формуле: P = 4a.

– А теперь давайте проведём небольшой эксперимент. Возьмите лист бумаги прямоугольной формы и сложите его пополам так, чтобы противолежащие стороны совпали. Затем разверните этот лист. Что вы можете сказать о двух частях, получившихся в результате сгиба листа? – спросил у ребят Электроша.

– Видно, что две части нашего прямоугольного листа, лежащие по разные стороны от линии сгиба, совпадают.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. – Прямую, которую мы получили в результате сгибания листа, называют осью симметрии.

Запомните! Ось симметрии – это прямая (или воображаемая линия), которая делит геометрическую фигуру на две зеркально одинаковые фигуры. Фигуру, которая имеет ось симметрии, называют симметричной относительно прямой.

– Скажите, сколько осей симметрии имеет прямоугольник? – спросил Электроша.

– Так как у прямоугольника 2 пары противолежащих сторон, то через их середины можно провести 2 оси симметрии, – сказал Паша.

– Правильно! А, может, вы ещё сможете привести примеры симметричных фигур в геометрии?

– Например, квадрат, – начал Саша. – У квадрата тоже 2 пары противолежащих сторон, значит, через их середины можно провести 2 оси симметрии.

– Саша, ты чуть-чуть не досчитался! – сказал Электроша. – Вы уже знакомы с таким понятием, как диагональ. Напомню, что диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины.

Если лист квадратной формы сложить пополам по диагоналям, то заметим, что и эти пары частей совпадут относительно линий сгиба.

– Значит, у квадрата 4 оси симметрии? – уточнил Саша.

– Верно! – ответил Электроша – Квадрат имеет 4 оси симметрии: 2 оси симметрии проходят через середины противолежащих сторон и 2 – через диагонали квадрата.

Также осями симметрии обладают и некоторые треугольники. Так, например, в равнобедренном треугольнике можно провести 1 ось симметрии, а в равностороннем – 3.

– С симметрией вы очень часто встречаетесь и в жизни. Люди с давних времён используют симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, архитектуре, искусстве.

Даже многие буквы нашего алфавита обладают симметрией.

Однако больше всего восхищает симметрия в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, окраске и расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел.

В порхающей бабочке и сказочной зимней снежинке.

Объекты, которые обладают осью симметрии, всегда легко воспринимаются и приятны для глаза. Недаром в Древней Греции слово «симметрия» служило синонимом слов «гармония», «красота». Симметрия означает соразмерность, наличие определённого порядка в расположении частей.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: боксёрский ринг – это площадка квадратной формы со стороной 7 м. Ринг огорожен тройным канатом. Сколько метров каната нужно для одного ринга?

Решение: чтобы узнать, сколько понадобится метров каната для ринга, нужно знать периметр ринга. Мы знаем, что ринг имеет форму квадрата со стороной 7 м. Применяя формулу для вычисления периметра квадрата, получаем, что наш ринг имеет периметр 28 м. Так как ринг огорожен тройным канатом, то для одного ринга понадобится 84 метра каната.

Следующее задание: сколько осей симметрии имеет шестиугольник с равными сторонами?

Решение: так как, по условию, шестиугольник имеет равные стороны, а их 6, значит, можно провести 3 оси симметрии через середины противолежащих сторон. Также можно провести ещё 3 оси симметрии через диагонали шестиугольника. Тогда всего получим 6 осей симметрии.

Ось симметрии – это прямая (или воображаемая линия), которая делит геометрическую фигуру на две зеркально одинаковые фигуры.

Фигуру, которая имеет ось симметрии, называют симметричной относительно прямой.

У прямоугольника 2 оси симметрии, у квадрата – 4, у равнобедренного треугольника – 1, а у равностороннего – 3.

Источник