Что означает отрезок в математике

Урок 3 Бесплатно Отрезок. Длина отрезка

Начнем знакомство с одним из разделов математики, который называется геометрия.

Становление данной науки происходило тысячелетиями.

Сегодня обратим внимание на основные, базовые геометрические фигуры, такие как точка и отрезок.

Узнаем, что называют ломаной линией, какие геометрические фигуры называют многоугольниками, рассмотрим их основные элементы и характеристики.

Научимся сравнивать, находить длины отрезков.

Познакомимся с различными единицами измерения отрезков.

Рассмотрим свойства измерения длин отрезков.

Отрезок

Геометрическая фигура- это математическая модель, в которой рассматривается только форма и размер, не обращая внимания на иные свойства и состояния (цвет, из какого материала изготовлены, в каком состоянии находятся).

Как здания складываются из кирпичиков, так и сложные геометрические фигуры состоят из базовых фигур.

Одной такой элементарной фигурой является точка.

В реальности моделью, которая дает представление о точке может стать, например, след, оставленный острием карандаша, или отверстие на бумаге от швейной иглы.

Слово «точка» с латинского языка означает мгновенное касание, укол.

Точку принято рассматривать как некоторое место в пространстве или на плоскости.

Принято обозначать точки заглавными латинскими буквами (А, В, С и т.д.).

Две точки на плоскости можно соединить бесконечным множеством линий.

Самой короткой линией, соединяющей две точки на плоскости, будет прямая, проведенная по линейке через эти две точки.

Кратчайшая линия между двумя точками называется отрезком.

Любые две точки можно соединить только одним отрезком.

Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.

Отрезок обозначают указанием имен его концов.

Через точки А и В с помощью линейки провели прямую.

Так как отрезок обозначают именами точек, получим отрезок АВ или ВА.

Пишут и говорят так: «Отрезок АВ» или «Отрезок ВА».

В названии отрезка не важно в каком порядке указываются его концы.

Отрезок можно построить с помощью линейки.

Для этого необходимо к отмеченным на плоскости точкам приложить линейку и провести прямую от одного конца отрезка до другого.

Чтобы с помощью линейки начертить отрезок, который длиннее чем сама линейка, нужно поступить следующим образом:

Между точками А и В отметить точку С.

Затем передвинем линейку так, чтобы левый конец линейки оказался около точки С, по правому концу линейки отложим точку D.

Последовательно соединив концы отрезков, получится отрезок AD, который длиннее, чем линейка.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Давайте разберемся, как могут располагаться точки по отношению к отрезку:

1. Точка лежит на отрезке.

Говорят: «Точка G принадлежит отрезку ».

Записывают это так: G ∈ AB

2. Точка не лежит на отрезке.

Говорят: «Точка не принадлежит отрезку ».

Записывают это так: R ∉ AB

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Длина отрезка

Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.

Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.

Существует несколько способов сравнения отрезков.

1. Приблизительный способ сравнения.

Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.

Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР

Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР

Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.

По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.

Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).

Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).

Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ

Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.

Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.

Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.

Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.

Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.

3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.

Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.

В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.

Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.

Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.

Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.

В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.

Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG

Сравним эти отрезки с помощью циркуля.

Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.

Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.

Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).

Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.

Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).

Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.

4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.

Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.

Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.

Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Ломаная линия

Если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного отрезка являлся началом следующего (при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой), то образуется геометрическая фигура, которая называется ломаной линией.

Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют звеньями.

Концы отрезков называют вершинами ломаной.

Самые крайние вершины ломаной называют концами ломаной

Обозначение ломаной линии составляют из названий вершин этой ломаной, называя их по порядку.

Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.

На рисунке изображена ломаная линия АBCDE.

Вершины ломаной АBCDE: А, B, C, D, Е.

Звенья ломаной АBCDE: AB, BC, CD, DE.

Найдем длину ломаной АВСDE:

АВСDE = AB+ BC+ CD+ DE = 2 см + 3 см + 4 см + 5 см = 14 см

Ломаная, концы которой совмещаются, называется замкнутой.

Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.

Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.

Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.

Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.

Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.

Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.

Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.

На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.

Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.

Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.

Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.

Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р

Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):

Р_АВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.

Существует огромное множество различных видов многоугольников.

Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.

Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.

Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.

На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).

Отрезки AB, BC, АC— стороны треугольника АBC.

Периметр треугольника- это сумма длин трех его сторон.

Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):

Р_АВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Отрезок — что это такое

Что такое отрезок? Ответ на этот вопрос кажется весьма простым, когда вы учитесь в школе. Но с возрастом школьный курс математики постепенно забывается настолько, что такие простые вещи становятся не столь очевидными.

Отрезок — что это за фигура

Не стоит недооценивать значимость геометрических понятий в человеческой жизни, так как иногда эти знания помогают решать вполне реальные задачи, а не только блистать кругозором в кругу друзей.

Отрезок — это составная часть прямой, расположенная между двумя точками.

Вы можете дать определение также исходя из структурного подхода:

Отрезок — это такая математическая фигура, которая состоит из следующих элементов:

С этими составными частями вы можете ознакомиться на слайде:

В связи с тем, что границы отрезка отмечаются точками, которые в рамках математики выделяются латинскими буквами, сама фигура описывается двумя буквами, например, NK.

Пример визуального изображения отрезка вы видите на рисунке: точки N и K являются началом и концом.

Важная характеристика, которая присуща любому отрезку – его длина.

Основные меры измерения длины отрезков– это миллиметр, сантиметр, метр, километр.

Из математической трактовки следует, что отрезок – это такая прямая, которая расположена между двумя точками не выходя за их пределы. При этом одна же точка может быть концом множества отрезков.

Такую ситуацию вы видите на рисунке: точка А является общей для всех отрезков. При этом точки B, C, D — индивидуальны для каждого из отрезков.

Сравнение отрезка с геометрическими фигурами

В математике существуют три очень похожих понятия – это отрезок, луч, прямая. Учащиеся нередко задают такой вопрос «Что такое отрезок, чем он отличается от луча и прямой?». Давайте сразу определимся с понятиями, которые позволят вам понять разницу между фигурами.

Отрезок — это часть линии, которая проходит от точки начала до точки, обозначающей конец.

Луч — составная часть прямой, которая ограничена точкой с одной стороны. С другого конца луч продлевается до бесконечности.

Прямая — это линия, не подверженная искривлениям, у которой к тому же, в отличие от отрезков, отсутствуют начало и конец.

Сравнив 3 понятия, вы можете убедиться, что луч совмещает ограниченность отрезка и бесконечность прямой.

Примечательно, что прямая и луч бесконечны, поэтому вы сможете измерить длину только у отрезков.

У вас может возникнуть вопрос: «Как быстро определить, что именно перед вами — отрезок, луч или прямая?». Визуально идентифицировать геометрические фигуры можно по количеству ограничивающих их длину точек:

Направленный отрезок

В статье вы увидели базовый вид отрезка — ненаправленный. Это отрезок, у которого невозможно определить, что является его началом, а что — концом.

Существует второй вид отрезков – направленные.

Альтернативное название этой математической фигуры — вектор.

Особенностью направленного отрезка является то, что одна из точек, ограничивающих его длину, обозначается стрелкой. Она указывает, что именно там находится конец. Соответственно часть вектора, обозначенная точкой — это его начало.

Характерной чертой вектора является то, что он может быть описан не только двумя латинскими буквами, но и одной маленькой буквой, над которой располагается стрелка.

Направленный отрезок вместо показателя длины имеет характеристику — модуль, которая измеряется величинами, измеряющими расстояние – миллиметр, сантиметр, метр, километр.

В процессе работы с отрезками возникает вопрос: «Как рассчитать модуль вектора с использованием системы координат?».

Вы определите его следующим образом:

Направленные отрезки, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых – это коллинеарные направленные отрезки.

Направленные отрезки, расположенные на параллельных прямых – это коллинеарные направленные отрезки.

Нулевой вектор — это отрезок, у которого одна точка включает начало и его конец.

Отрезки, соединённые в ломаную линию

Ломаная линия — это совокупность соединённых между собой отрезков, в которой окончание одного отрезка совпадает с начальной точкой другого. Каждая из составных частей ломаной линии называется звеном.

Ломаная линия содержит три типа вершин — точек, из которых состоят отрезки:

Первое и последнее звенья фигуры имеют по одной точке, которую они не делят с другими звеньями, а все остальные точки являются одновременно концом одного отрезка и началом другого, поэтому количество точек ломаной линии всегда на одну больше числа составляющих её отрезков.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит сделать вывод о том, одинаковы ли они, или один по размеру больше другого.

Если наложить один отрезок на другой и они совпадут — это значит, что фигуры равны.

Наложение не всегда является возможным, поэтому для сравнения размеров отрезков вы можете использовать циркуль или линейку.

Отрезок: разные значения слова

Обратите внимание, что отрезок — это не только математическое понятие, хотя наибольшее распространение получило именно в этой точной науке.

Часто слово употребляется для характеристики временного промежутка — «отрезок времени»

Так же вы можете услышать словосочетание — «отрезок пути». Эта фраза обозначает расстояние — составную часть путешествия. Суть слова «отрезок» — ограничение какого-либо понятия, которое подлежит измерению.

Источник

Геометрия 7 класс.
Точка, прямая и отрезок

Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.

Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так и не пришли к единому определению.

Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом их описывают.

Точка — элементарная фигура, не имеющая частей.

Прямая состоит из множества точек и простирается бесконечно в обе стороны.

То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:

Как обозначить прямую

Прямую обычно обозначают одной маленькой латинской буквой.

Прямую, на которой отмечены две точки, иногда обозначают по названиям этих точек большими латинскими точками.

Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс

Решение задачи

Опишем взаимное расположение точек и прямой.

Как обозначается пересечение прямых

Хотя на чертеже не видно, но прямые a и c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно продолжить вниз прямые a и с ).

Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не пересекаются.

Взаимное расположение прямой и точек

Через одну точку (·)A можно провести сколько угодно прямых.

Через две точки (·)A и (·)B можно провести только одну прямую.

Сколько общих точек имеют две прямые

Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.

Первый случай расположения прямых

На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e нет общих точек, т.к. эти прямые не пересекаются.

Второй случай расположения прямых

Третий случай расположения прямых

Вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс

Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение задачи

Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две прямые пересекались, и обозначим точку пересечения.

Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы можем провести третью прямую так, чтобы она тоже проходила через эту точку пересечения.

Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.

Ответ: точек пересечения получается одна или три.

Что такое отрезок

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками.

В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.

Источник