Что означает попарно равны
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны
Теорема (3-й признак параллелограмма).
Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Дано: ABCD — четырехугольник,
Доказать: ABCD — параллелограмм.
1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ABC и CDA (важно правильно назвать треугольники!)
3) сторона AC- общая
Следовательно, треугольники ABC и CDA равны (по трем сторонам).
3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:
4. ∠CAB и∠ACD — внутренние накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC.
Так как ∠CAB=∠ACD, то прямые параллельны: AB ∥ CD (по признаку параллельности прямых).
Аналогично, из равенства углов ∠ACB=∠CAD следует параллельность другой пары прямых: AD ∥ BC.
5. Доказали, что в четырехугольнике ABCD
Следовательно, ABCD — параллелограмм (по определению).
Что и требовалось доказать.
Можно не доказывать параллельность прямых AD и BC.
2) AB ∥ CD (по доказанному),
следует, что ABCD — параллелограмм (по 2-му признаку).
6 Comments
Спасибо, какой уже раз ваш сайт выручает.
Спасибо) Очень хороший сайт все по полочкам разложили)
В «Дано» опечатка: не AC=CD, а AB=BC
И я сам ошибся 🙂 AB=CD
Noob, спасибо! К сожалению, опечатки случаются.
Значение слова «попарно»
ПОПА́РНО, нареч. По двое, парами. Лебеди прилетают почти всегда попарно. С. Аксаков, Записки ружейного охотника. [Солдаты] стояли попарно, в полной караульной форме. Катаев, Белеет парус одинокий.
Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
ПОПА’РНО, нареч. По-двое, парами. Ученики шли п.
Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека
попа́рно
1. по двое, парами ◆ Дамы входили большей частью попарно и становились вдоль стены. Апухтин, «Между жизнью и смертью», 1892 г. (цитата из НКРЯ)
Делаем Карту слов лучше вместе
Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!
Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.
Насколько понятно значение слова вермахт (существительное):
Синонимы к слову «попарно»
Предложения со словом «попарно»
Цитаты из русской классики со словом «попарно»
Понятия, связанные со словом «попарно»
Говорят, что два и более объектов концентричны или коаксиальны, если они имеют один и тот же центр или ось. Окружности, правильные многоугольники, правильные многогранники и сферы могут быть концентричны друг другу (имея одну и ту же центральную точку), как могут быть концентричными и цилиндры (имея общую коаксиальную ось).
Что значит стороны попарно равны?
Что значит стороны попарно равны?
Две пары сторон равны между собой.
Диагональ квадрата равна 2 * sqr(2), т?
Диагональ квадрата равна 2 * sqr(2), т.
К. сторона квадрата равна 2.
Противоположные стороны четырехугольника попарно равны?
Противоположные стороны четырехугольника попарно равны.
Докажите что это параллелограмм.
Две сторооный равнобедренного треугольника равны 6см и 13см?
Две сторооный равнобедренного треугольника равны 6см и 13см.
Найдите дину третьей стороны треугольника.
Пусть длина боковой стороны равна 6 см, а _______ равно 13см, тогда длина ______ боковой стороны равна ____см.
Проверим, выполняется ли неравенство треугольника :
13< ; 6 + __, что __________.
Значит, такой равнобедренный треугольник _____________.
Проверяем, выполняется ли нерпавенство треуголинка : 13< ; 6 + __, что ________.
Значит такой равнобедренный треугольник _______.
Помогите, пожалуйста доказать, что, если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм?
Помогите, пожалуйста доказать, что, если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Противоположные стороны параллелограмма попарно параллельны?
Противоположные стороны параллелограмма попарно параллельны.
Нужно доказать, помогите.
Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 см и 13 см?
Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 см и 13 см.
Найдите длину третьей стороны треугольника.
Решение : Пусть длина боковой стороны равна 6 см, а _____ равно 13 см, тогда длина ________ боковой стороны равна __ см.
Проверим, выполняется ли ___________ 13< ; 6 + __, что_____.
Значит, такой равнобедренный треугольник__________.
Выполняется ли неравенство треугольника : 13< ; 6 + __, что _____.
Значит, такой равнобедренный треугольник _________.
Что значит «угол, противолежащий стороне»?
Что значит «угол, противолежащий стороне»?
В выпуклом четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны?
В выпуклом четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно равны.
Найдите меньшую сторону данного четырёхугольника, если одна из сторон на 2 см больше другой, а его периметр равен 36 см.
В четырехугольнике противоположные углы попарно равны докажите что противоположные стороны четырехугольника попарно равны?
В четырехугольнике противоположные углы попарно равны докажите что противоположные стороны четырехугольника попарно равны.
Одну сторону примем за x тогда другая сторона будет 3x следовательно будет равняться x + 3X + X + 3X = 40 8 x = 40 x = 5 3 * 5 = 15.
Нет, не могут, так как у равных треугольников равны углы соответственно и равны стороны соответственно, значит, и суммы всех длин сторон тоже будут равны, а это и есть периметры.
Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения
Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
На рисунке 16 изображен параллелограмм 
Рассмотрим свойства параллелограмма.
1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.
Действительно, углы 
и 
параллелограмма 
(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.
2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Доказательство:
Диагональ 
разбивает параллелограмм 
на два треугольника 
и 
(рис. 17). 
-их общая сторона, 
и 
(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых 
и 
и 
и секущей 
Тогда 
(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, 
и 
(как соответственные элементы равных треугольников). Так как 
то 
4. Периметр параллелограмма 
5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство:
Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
параллелограмма 
(рис. 18). 
(как противолежащие стороны параллелограмма), 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущих 
и 
соответственно). Следовательно, 
(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда 
(как соответственные стороны равных треугольников).
Пример:
Дано: 
параллелограмм, 
— биссектриса угла 
(рис. 19). Найдите: 
Решение:
1) 
2) 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущей 
3) 
(по условию), тогда 
Тогда 
— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), 
4) 
Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке 20 
— высота параллелограмма, 
Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 
и 
— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам 
и 
Рассмотрим признаки параллелограмма.
Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство:
1) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Рассмотрим 
и 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
— общая сторона, 
(по условию). Следовательно, 
(по двум сторонам и углу между ними). Тогда 
(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых 
и 
секущей 
Поэтому 
(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому 
-параллелограмм.
2) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Тогда 
(по трем сторонам). Поэтому 
и следовательно, 
(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
3) Пусть в четырехугольнике 
диагонали 
и 
пересекаются в точке 
и 
(рис. 23). 
(как вертикальные). Поэтому 
(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда 
Аналогично доказываем, что 
Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что 
— параллелограмм.
4) Пусть в параллелограмме 
(рис. 16). Так как 
то 
т. е. 
откуда 
Но 
и 
— внутренние накрест лежащие углы для прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
Пример:
В четырехугольнике 
Докажите, что 
— параллелограмм.
Доказательство:
Пусть 
— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим 
и 
— их общая сторона, 
(по условию). Тогда, 
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 
Но тогда в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.
О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).
В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.
Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.
Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.