Что означает равновероятное событие

Теория вероятностей, формулы и примеры

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Основы теории вероятностей для геймдизайнеров. Часть 2

Возвращаемся в мир теории вероятностей

В прошлой части мы остановились на теме совместных и несовместных событий. Пожалуй, разберем еще несколько типов и перейдем к кое-чему очень интересному!

Равновероятные события

Шанс события легко вычислить, когда все возможные результаты происходят с одинаковой вероятностью. Например, орел и решка — 50%; каждое число на d6 — 1/6. Но некоторые события не так просты. При 2d6 вероятность выпадения в сумме 2 намного ниже, чем вероятность выпадения 7. Это потому, что существует гораздо больше способов выбросить 7, чем 2.

Чтобы получить лучшее представление о шансах, иногда бывает полезно разбить результаты на более крупные списки равновероятных результатов.

Упражнение: разбойник в колонизаторах

Как часто ходит разбойник? В начале каждого хода в колонизаторах активный игрок бросает 2d6, чтобы определить, какие регионы производят ресурсы. При выпадении 7 нет производства, и вместо этого ходит разбойник. Итак, основной вопрос: каковы шансы выпадения 7 на 2d6?

Как мы уже знаем, есть 36 возможных исходов для 2d6. Из этих бросков шесть в сумме дают 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) и (6,1). Таким образом, вероятность выпадения 7 на 2d6 равен 6/36 или 1/6. Это означает, что разбойник будет двигаться в среднем каждые шесть ходов.

Независимые события

События являются «независимыми», если результат одного не влияет на результат другого. На шанс выкинуть решку не влияют предыдущие броски (или погода, звезды или то, насколько сильно вам нужно выкинуть решку).

Однако в некоторых ситуациях на вероятность конкретного случайного события могут повлиять результаты предыдущих событий. Это происходит, когда рандомизатор изменяется событиями, лучшим примером которых является извлечение карт из колоды. Этот тип игры может создавать статистически зависимые события.

Например, если вы берете две карты из покерной колоды, каковы шансы того, что вторая карта окажется тузом? (Сравните это с задачей «взять хотя бы одну 10» выше). В этом случае вероятность того, что первая карта окажется тузом, проста — 4/52. Однако шансы на получение второй карты зависят от результата первой.

Если ваша первая карта — туз, вероятность того, что вторая карта окажется тузом, составляет 3/51. В колоде из 51 карты остается только три туза. Если ваша первая карта не является тузом, вероятность того, что вторая карта будет — 4/51.

Чтобы найти вероятность на получение хотя бы одного туза из первых двух карт, мы можем рассмотреть оба случая и определить шансы каждого из них, а затем сложить эти вероятности для окончательного ответа.

В случае 1, где первая карта — туз, нас не волнует вторая карта, потому что мы уже добились успеха. На этот результат приходится 4/52 игр, или около 7,7%.

В случае 2 первая карта — не туз, поэтому мы выигрываем, только если вторая карта — туз. Вероятность на то, что первая карта не является тузом, составляют 48/52 (

92,3%). С этого момента вероятность на получение туза составляют 4/51 (

Чтобы найти шансы на успех на обоих этапах этого пути, мы перемножаем два шанса: 92,3% * 7,8% =

Как мы описали с “хотя бы одну 10”, гораздо более простым решением было бы найти вероятность того, что вы не получите туза, и вычтите из 1. Вероятность на то, что вы не получите туза, составляет 48/52 для первой карты и 47/51 для второй. Перемножаем и получаем — 85,1%. Вычитание из 100% дает тот же результат 14,9%.

Математическое ожидание

Мат. ожидание бывает крайне полезно, когда нам необходимо посчитать условное среднее ожидание от эксперимента. Если для каждого события известна его вероятность, то мат. ожидание будет равно сумме произведений каждого исхода на его вероятность:

Воспользуемся формулой выше, чтобы посчитать мат. ожидание d6:

1 * 1/ 6 + 2 * 1/6 + … + 6 * 1/6 = 1/6 * ( 1+2+3+4+5+6) = 3,5

Посчитать было довольно легко, так как события равновероятные.

Существует большая категория игр, в которых математическое ожидание чрезвычайно важно: казино.

Пример: простое казино

Заблуждение игрока

Одно хорошо известное заблуждение относительно случайных событий состоит в том, что их результаты имеют тенденцию «выравниваться» со временем. Например, после нескольких результатов «орёл» вероятность «решки» возрастает. Если события статистически независимы, например, подбрасывание монеты, это не так.

И даже если вы не попадаете на это, вы все равно можете приписать идею добавления в игру большего количества случайных событий, чтобы противодействовать несправедливым эффектам предыдущих случайных событий. Это своего рода «функция возвращения», призванная дать надежду игрокам, которые рано отстают. Однако это средство обычно не работает. Конечно, поможет больше решений, но не больше случайных событий. Вот почему лучшие чисто случайные игры очень короткие.

Упражнение: “я в ударе”

Я уже пять раз бросил d6, и каждый раз выпадала «6». Есть ли вероятность того, что в следующем броске выпадет 6? Шестерка «разогревается» и, следовательно, у меня больше шансов получить ещё одну, или я «израсходовал их все»?

Ни то, ни другое. Игра в кости работает не так. Шансы выпадения 6 не меняются в зависимости от прошлой истории. Сравните это с колодой карт, где предыдущие розыгрыши повлияют на то, что осталось в колоде. Заблуждение игрока — это в некотором смысле представление о том, что игральные кости ведут себя как карты.

Выражение шансов, как соотношения

Вероятность часто записывают, как X:Y, например 3:1 (произносится как 3 к 1). Это означает, что событие произойдет 3 раза за каждый раз, когда не произошло. (Это отличается от ставки 3:1, которая означает, что вам будут выплачены 3 ваши ставки, плюс ваша ставка будет возвращена, при выигрышной ставке 1. Выплаты в азартных играх мало что говорят об их истинных шансах).

Вот простой пример. Игроки тянутся за старшей карту, но некоторые игроки могут взять больше карт, чем другие. В игре на двоих, когда первый игрок тянет 2 карты, а второй игрок — 5 карт, шансы на победу игрока 1 составляют 2:5. (А коэффициент игрока 2 противоположный — 5:2).

Чтобы преобразовать эти выражения в проценты, вам придется немного подумать. 2:5 — это не то же самое, что 2/5. Вероятность 2/5 означает, что игрок выигрывает 2 раза за каждые 5 игр. Но вероятность 2:5 означает, что игрок выигрывает 2 игры на каждые 5 проигрышей. Разница в общем количестве сыгранных игр. В случае 2:5 фактически всего 7 игр (2 победы и 5 поражений), поэтому шансы игрока 1 на самом деле равны 2/7.

Достаточно простое преобразование. Просто сложите обе стороны выражения, и вы получите общее количество игр. Затем разделите количество побед на это общее количество.

Часто шансы в этом формате записываются как «против», а не «за» победу. Например, если шансы 1:4 (20%), они также могут быть указаны как 4: 1 против. Это означает, что вероятность проигрыша составляет 4:1 или 80%.

Упражнение: выразите шанс выпадения 7 на 2D6 в формате X:Y

Есть 6 способов получить 7 из 36 роллов. Это означает, что есть 30 способов не выбросить 7. Таким образом, шансы равны 6:30, или 1:5.

Заключение

Как правило, игры слишком сложны, чтобы их можно было полностью проанализировать или решить. Для сравнения: таблица базовой стратегии для блэкджека имеет примерно 500 точек принятия решения и расширяется в десять раз для любого, кто использует базовую технику подсчета карт. Если вы знаете точное содержимое колоды, таблица будет еще более сложной, а блэкджек — довольно короткая и простая игра. Идеальная таблица стратегии для Settlers of Catan выглядела бы как энциклопедия.

Но даже если о полном анализе вашего игрового дизайна не может быть и речи, вы все равно можете использовать элементы теории вероятностей для анализа сегментов вашей игры и тем самым лучше понять, какие события вероятны, маловероятны и невозможны.

Мы склонны использовать экспериментальные и анекдотические данные, чтобы решить, работают ли случайные события или нет. Вы можете протестировать свою игру только ограниченное количество раз, но многие из случайных возможностей могут быть чрезвычайно редкими. Практический анализ случайных событий поможет вам лучше понять, была ли ваша последняя катастрофа, связанная с броском костей, случайностью или серьезной проблемой.

Базовое понимание вероятности игроками обычно довольно хорошее, хотя у них не всегда есть инструменты для анализа. Поэтому дизайнеру важно объяснить случайность как можно яснее, чтобы опыт игроков соответствовал их ожиданиям. Если какое-то случайное испытание кажется легким, но действительно сложным или невозможным, игра будет разочаровывать. Верно и обратное: очевидные дальние удары, которые всегда получаются, тоже не доставляют удовольствия.

Плохо для игры, если случайные элементы скрыты, слишком сложны или плохо объяснены. Удовольствие приходит от сбалансированного количества неожиданных и явных моментов. Слишком много сюрпризов, и игрок может расстроиться. Слишком много понимания, и игрок может заскучать.

Это означает, что игрокам лучше думать с точки зрения выявления рисков и управления ими, чем быть просто случайным. Поэтому решения должны быть реальными и понятными. Но это тема для другой статьи.

Правила вероятности, которые должен знать каждый геймдизайнер

Джесси Шелл в книге линз сформировал прекрасные, на мой взгляд, правила, которые отлично подходят для обобщения статьи:

Спасибо за внимание!

Надеюсь, что вам пригодятся знания из этой статьи.

Никита Красов, спасибо за вдохновение! И спасибо прекрасным @Tramdrey и shabbyrtist за иллюстрации.

Источник:

Мы принципиально не размещаем рекламу на наших страницах, чтобы она не мозолила вам глаза, и существуем только за счет поддержки читателей и членов сообщества. Если вам нравится то, что мы делаем, и вы считаете это важным, поддержите нас так, как вам удобно:

Источник

Презентация по математике на тему «Равновероятные события» (7 класс)

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Цели образовательные: рассказать о значении понятия теории вероятностей; объяснить понятия равновероятных величин, частоты случайного события; воспитательные: владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями; развивающие: развивать умение отличать равновероятные возможности от неравновероятных, приводить примеры различных возможностей. *

План урока * Организационный момент; Устная работа; О теории вероятностей; Объяснение нового материала; Формирование умений и навыков; Итоги урока; Домашнее задание.

Разложите на множители *

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно. *

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и храбрость воинов. Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить «вероятность» своего возвращения «со щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей. А ведь именно теория вероятностей помогает спрогнозировать некоторые ситуации. *

Люди часто попадают в ситуации, в которых нужно выбрать из двух равноценных вариантов. На помощь часто приходит монетка, одна сторона которой называется «орлом», а другая «решкой». Подбросив такую монетку, знаем, что есть всего две равноправные или равновероятные возможности. *

Что же изучает такой раздел математики, как «теория вероятности»? Она отмечает закономерности случайных событий и величин. Впервые данным вопросом заинтересовались ученые еще в восемнадцатом веке, когда изучали азартные игры. Основное понятие теории вероятности – событие. *

* События Основное понятие теории вероятности – это событие. Все они делятся на следующие категории: Достоверные Невозможные Случайные Теория вероятности – это наука, изучающая возможность выпадения какого-либо события.

* ДОСТОВЕРНЫЕ события Мы работаем и получаем вознаграждение в виде заработной платы. Мы вложили деньги в банк, при необходимости получим их назад. Такие события являются достоверными. Если мы выполнили все необходимые условия, то обязательно получим ожидаемый результат.

* НЕВОЗМОЖНЫЕ события Вода замерзла при температуре плюс десять (это невозможно).

Сколько вариантов выпадения очков возможно при бросании одной игральной кости? Равноправны ли эти варианты? * ВИД СОБЫТИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИМЕР ДОСТОВЕРНЫЕ События, происходящие со стопроцентной гарантией при соблюдении некоторых условий. Поступление в учебное заведение при хорошей сдаче вступительного экзамена. НЕВОЗМОЖНЫЕ События, которые никогда не произойдут ни при каких условиях. Идет снег при температуре воздуха плюс тридцать градусов по Цельсию. СЛУЧАЙНЫЕ Событие, которое может произойти или нет в ходе проведения опыта/испытания. Попадание или промах при бросании баскетбольного мяча в кольцо.

ЗАДАЧА № 1: Сколько вариантов выпадения очков возможно при бросании одной игральной кости? Равноправны ли эти варианты? *

ЗАДАЧА № 2: В колоде 36 карт. Из нее наугад вытаскивают одну карту. Сколько при этом имеется разных возможностей? Равноправны ли возможности: а) вытащить десятку бубен и вытащить пиковую даму; б) вытащить валета и вытащить короля; в) вытащить туза и вытащить какую-нибудь карту бубновой масти? Если нет, то какая из этих возможностей более вероятна? *

ЗАДАЧА № 3: Из коробки, в которой лежат 6 бильярдных шаров с номерами от 1 до 6, наугад вытаскивают один шар. Сколько существует возможностей вытащить шар? Равноправны ли возможности вытащить черный и красный шары, если в коробке: а) 3 черных и 3 красных шара; б)2 черных и 4 красных шара? Если нет, то какая из этих возможностей более вероятна? *

ЗАДАЧА № 427 из учебника: ПОВТОРЕНИЕ: № 482(1), 488(1), 491(3) *

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: п.26 (разобрать примеры) № 488(2) № 491(4) *

ВТОРОЙ УРОК ПО ТЕМЕ « РАВНОВЕРОЯТНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ» *

КАКИЕ ВИДЫ СОБЫТИЙ ВЫ ЗНАЕТЕ? *

ПРОВЕРЬ СЕБЯ. № 1. Одновременно бросают две монеты. Какие при этом возможности выпадения монет? Равновероятны ли эти возможности? *

ПРОВЕРЬ СЕБЯ. № 2. Бросают игральный кубик. Какое событие более вероятно: выпадение четного или нечетного числа очков? *

ПРОВЕРЬ СЕБЯ. № 3. Одновременно бросают два игральных кубика. Какие суммы очков могут выпасть? Равновероятны ли возможности выпадения этих сумм? *

ПРОВЕРЬ СЕБЯ. № 4. Бросают игральный кубик. Какое событие более вероятно: выпадение числа очков суммы больше четырех или меньше четырех? *

ПРОВЕРЬ СЕБЯ. № 429 (стр. 158, учебник) *

ПРОВЕРЬ СЕБЯ. На десяти карточках записаны целые числа от 0 до 9. Наугад выбирают две карточки и находят сумму записанных на них чисел. Равновероятны ли возможности получить в сумме число от 1 до 9? Если нет, то какая сумма более вероятна? *

ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ № 483(3) № 484(4) *

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 483(4) № 493 *

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-561410

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Большинство родителей в России удовлетворены качеством образования в детсадах

Время чтения: 2 минуты

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения создает цифровую психологическую службу для школьников

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не намерен упрощать ЕГЭ в 2022 году из-за пандемии

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник