Что означает выражение полупрямая проходит между сторонами угла

1. Приведите примеры геометрических фигур. 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости. 3. Как обозначаются точки и прямые? 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых. 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках. 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой. 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков. 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками? 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости? 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости. 11. Что такое полупрямая, или луч? Какие полупрямые называются дополнительными? 12. Как обозначаются полупрямые? 13. Какая фигура называется углом? 14. Как обозначается угол? 15. Какой угол называется развёрнутым? 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла». 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение. 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов. 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов. 20. Что такое треугольник? 21. Что такое угол треугольника при данной вершине? 22. Какие отрезки называются равными? 23. Какие углы называются равными? 24. Какие треугольники называются равными? 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы? 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному. 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых? 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых. 29. Приведите пример теоремы. 30. Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 4—15)? Приведите другие примеры геометрических фигур.

Источник

Что означает выражение полупрямая проходит между сторонами угла

§1. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ.Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ. Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ. Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Вопрос 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Ответ. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Вопрос 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Ответ.Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Вопрос 14. Как обозначается угол?
Ответ. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трёх точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком.
Вопрос 15. Какой угол называется развёрнутым?
Ответ. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развёрнутым.

Вопрос 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла”.
Ответ.

Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Вопрос 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Ответ.Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.

Вопрос 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Ответ. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Вопрос 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Ответ. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Вопрос 20. Что такое треугольник?
Ответ.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Вопрос 21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
Ответ. Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный полупрямыми AB и AC. Так же определяются углы треугольника при вершинах B и C.

Вопрос 22. Какие отрезки называются равными?
Ответ. Отрезки называются равными, если их длины равны.
Вопрос 23. Какие углы называются равными?
Ответ. Углы называются равными, если их градусные меры равны.
Вопрос 24. Какие треугольники называются равными?
Ответ. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Вопрос 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Ответ.На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя чёрточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.

Вопрос 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Ответ.

Пусть мы имеем треугольник ABC и луч a (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча a, вершина B попала на луч a, а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча a и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A₁,B₁,C₁ (рис. 23, б).
Треугольник A₁B₁C₁ равен треугольнику ABC.
Вопрос 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Ответ.Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак

Вопрос 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Ответ. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос 29. Приведите пример теоремы.
Ответ. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Источник

Что означает выражение полупрямая проходит между сторонами угла

§1. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ.Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ. Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ. Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Вопрос 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Ответ. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Вопрос 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Ответ.Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Вопрос 14. Как обозначается угол?
Ответ. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трёх точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком.
Вопрос 15. Какой угол называется развёрнутым?
Ответ. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развёрнутым.

Вопрос 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла”.
Ответ.

Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Вопрос 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Ответ.Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.

Вопрос 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Ответ. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Вопрос 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Ответ. На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Вопрос 20. Что такое треугольник?
Ответ.

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Вопрос 21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
Ответ. Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный полупрямыми AB и AC. Так же определяются углы треугольника при вершинах B и C.

Вопрос 22. Какие отрезки называются равными?
Ответ. Отрезки называются равными, если их длины равны.
Вопрос 23. Какие углы называются равными?
Ответ. Углы называются равными, если их градусные меры равны.
Вопрос 24. Какие треугольники называются равными?
Ответ. Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Вопрос 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Ответ.На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя чёрточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.

Вопрос 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Ответ.

Пусть мы имеем треугольник ABC и луч a (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча a, вершина B попала на луч a, а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча a и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A₁,B₁,C₁ (рис. 23, б).
Треугольник A₁B₁C₁ равен треугольнику ABC.
Вопрос 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Ответ.Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак

Вопрос 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Ответ. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос 29. Приведите пример теоремы.
Ответ. Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Источник

Что такое полупрямая или луч?

Что такое полупрямая или луч?

Какие полупрямые называются дополнительными.

На отрезке AB взята точка C?

На отрезке AB взята точка C.

Среди полупрямых AB, AC, CA, CB назовите пары совпадающих полупрямых, дополнительных полупрямых.

Обьясните как сравнить два угла?

Обьясните как сравнить два угла?

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ?

Укажите взаимно пересекающиеся полупрямые.

От полупрямой BC вр азный полуплоскости отложены углы CBA = 130 градусов и CBE = 80 градусам Найдите градусную меру угла ABE?

От полупрямой BC вр азный полуплоскости отложены углы CBA = 130 градусов и CBE = 80 градусам Найдите градусную меру угла ABE.

Отметьте две точки А и В?

Отметьте две точки А и В.

Проведите полупрямую АВ.

Обьясните, как постройть биссектрису данного угла?

Обьясните, как постройть биссектрису данного угла?

Обьясните, какая фигура называется треугольником?

Обьясните, какая фигура называется треугольником.

Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы.

Что такое периметр треугольника?

Как обозночаються полупрямые?

Как обозночаються полупрямые?

Т. к ОВ биссектриса то угл СОВ = 21 т, к СО биссектоиса то угл ДОС = 21 угл АОД = 21×3 = 63.

Источник

Контрольные вопросы по геометрии 7 класс.

В данной методической разработке содержатся контрольные вопросы по курсу геометрии 7 класса по учебнику А. В. Погорелова. Материал можно использовать при проведении зачетов, подготовке к зачетам и экзаменам.

Просмотр содержимого документа
«Контрольные вопросы по геометрии 7 класс.»

Контрольные вопросы к §1.

Основные свойства простейших геометрических фигур.

Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ: Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ: Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ: Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ: Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ: Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ: Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ: Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Вопрос 10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.
Ответ: Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Вопрос 11. Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
Ответ: Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной её точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой. Различные полупрямые одной и той же прямой, имеющие общую начальную точку, называются дополнительными.

Вопрос 14. Как обозначается угол?
Ответ: Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трёх точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют знаком.
Вопрос 15. Какой угол называется развёрнутым?
Ответ: Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развёрнутым.

Вопрос 16. Объясните, что означает выражение: «Полупрямая проходит между сторонами угла”.
Ответ: Мы будем говорить, что луч проходит между сторонами данного угла, если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
Вопрос 17. В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение.
Ответ: Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.

Вопрос 18. Сформулируйте основные свойства измерения углов.
Ответ: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Вопрос 19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.
Ответ: На любой полупрямой от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Вопрос 20. Что такое треугольник?
Ответ: Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами.

Вопрос 21. Что такое угол треугольника при данной вершине?
Ответ: Углом треугольника ABC при вершине A называется угол, образованный полупрямыми AB и AC. Так же определяются углы треугольника при вершинах B и C.

Вопрос 22. Какие отрезки называются равными?
Ответ: Отрезки называются равными, если их длины равны.
Вопрос 23. Какие углы называются равными?
Ответ: Углы называются равными, если их градусные меры равны.
Вопрос 24. Какие треугольники называются равными?
Ответ: Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.
Вопрос 25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
Ответ: На чертеже равные отрезки обычно отмечают одной, двумя или тремя чёрточками, а равные углы — одной, двумя или тремя дужками.

Вопрос 26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному.
Ответ: Пусть мы имеем треугольник ABC и луч a (рис. 23, а). Переместим треугольник ABC так, чтобы его вершина A совместилась с началом луча a, вершина B попала на луч a, а вершина C оказалась в заданной полуплоскости относительно луча a и его продолжения. Вершины нашего треугольника в этом новом положении обозначим A₁,B₁,C₁ (рис. 23, б).
Треугольник A₁B₁C₁ равен треугольнику ABC.
Вопрос 27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Для обозначения параллельности прямых используется знак ||. а||b.

Вопрос 28. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Вопрос 29. Приведите пример теоремы.
Ответ: Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Контрольные вопросы к § 2. Смежные и вертикальные углы.

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ: Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ:

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ: Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ: Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т.е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ: Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
Ответ: Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Перпендикулярность прямых обозначается знаком ⊥.. Запись a⊥b читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁. Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ: Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ: Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы сначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ: Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Контрольные вопросы к § 3. Признаки равенства треугольников.

Вопрос 3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
Ответ: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Вопрос 4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: Теорема 3.3 (свойство углов равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство. Пусть ABC- равнобедренный треугольник с основанием AB (рис. 48). Докажем, что у него угол A= углу B.

Треугольник CAB равен треугольнику CBA по первому признаку равенства треугольников. Действительно, CA= CB, CB= CA, угол C= углу C. Из равенства треугольников следует, что угол A= углу B. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какой треугольник называется равносторонним?
Ответ: Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Вопрос 6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Ответ: Теорема 3.4 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Доказательство. Пусть ABC – треугольник, в котором угол A= углу B (рис. 50). Докажем, что он равнобедренный с основанием AB.

Треугольник ABC равен треугольнику BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно, AB=BA, угол B= углу A, угол A= углу B. Из равенства треугольников следует, что AC= BC. Значит, по определению треугольник ABC равнобедренный. Теорема доказана.

Вопрос 7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
Ответ: Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключение теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая теорема имеет обратную, то есть если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Вопрос 8. Что такое высота треугольника?
Ответ: Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника (рис. 51, а-б).

Вопрос 9. Что такое биссектриса треугольника?
Ответ: Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 52, а).

Вопрос 10. Что такое медиана треугольника?
Ответ: Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 52, б).

Вопрос 11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Ответ: Теорема 3.5 (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53). Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)
Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.

Доказательство. Пусть ABC и A₁B₁C₁ – два треугольника, у которых AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁(рис. 55). Требуется доказать, что треугольники равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол A не = углу A₁, угол B не = углу B₁, угол C не = углу C₁. Иначе они были бы равны по первому признаку.
Пусть A₁B₁C₂ – треугольник, равный треугольнику ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁ (см. рис. 55).
Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Треугольники A₁C₁C₂ и B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. Прямые A₁D и B₁D не совпадают, так как точки A₁, B₁, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Контрольные вопросы к §4. Сумма углов треугольника.

Вопрос 1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Ответ: Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b параллельны прямой c. Допустим, что a и b не параллельны (рис. 69). Тогда они не пересекаются в некоторой точке C. Значит, через точку C проходят две прямые, параллельные прямой c. Но это невозможно, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Теорема доказана.

Вопрос 2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
Ответ: Пары углов, которые образуются при пересечении прямых AB и CD секущей AC, имеют специальные названия.
Если точки B и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними односторонними (рис. 71, а).
Если точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC, то углы BAC и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 71, б).

Вопрос 3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°.
Ответ: Секущая AC образует с прямыми AB и CD две пары внутренних односторонних и две пары внутренних накрест лежащих углов. Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например, угол 1 и угол 2, являются смежными внутренним накрест лежащим углам другой пары: угол 3 и угол 4 (рис. 72). Рис. 72

Вопрос 4. Докажите признак параллельности прямых.
Ответ: Теорема 4.2 (признак параллельности прямых). Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть прямые a и b образуют с секущей AB равные внутренние накрест лежащие углы (рис. 73, а). Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C (рис. 73, б). Рис. 73

Секущая AB разбивает плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит точка C. Построим треугольник BAC₁, равный треугольнику ABC, с вершиной C₁ в другой полуплоскости. По условию внутренние накрест лежащие углы при параллельных a, b и секущей AB равны. Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC₁ с вершинами A и B равны, то они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. Значит, прямая AC₁ совпадает с прямой a, а прямая BC₁ совпадает с прямой b. Получается, что через точки C и C₁ проходят две различные прямые a и b. А это невозможно. Значит, прямые a и b параллельны.
Если у прямых a и b и секущей AB сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то, как мы знаем, внутренние накрест лежащие углы равны. Значит, по доказанному выше, прямые a и b параллельны. Теорема доказана.

Вопрос 5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот.

Ответ: Если у пары внутренних накрест лежащих углов один угол заменить вертикальным ему, то получится пара углов, которые называются соответственными углами данных прямых с секущей. Что и требовалось объяснить.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов, и наоборот. Допустим, у нас есть две параллельные прямые (так как по условию внутренние накрест лежащие углы равны) и секущая, которые образуют углы 1, 2, 3. Углы 1 и 2 равны как внутренние накрест лежащие. А углы 2 и 3 равны как вертикальные. Получаем: ∠1 = ∠2 и ∠2 = ∠3. По свойству транзитивности знака равенства следует, что ∠1 = ∠3.

3. Аналогично доказывается и обратное утверждение.
Отсюда получается признак параллельности прямых по соответственным углам. Именно: прямые параллельны, если соответственные углы равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

Ответ: Задача (8). Даны прямая AB и точка C, не лежащая на этой прямой. Докажите, что через точку C можно провести прямую, параллельную прямой AB.
Решение. Прямая AC разбивает плоскость на две полуплоскости (рис. 75). Точка B лежит в одной из них. Отложим от полупрямой CA в другую полуплоскость угол ACD, равный углу CAB. Тогда прямые AB и CD будут параллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей AC углы BAC и DCA внутренние накрест лежащие. А так как они равны, то прямые AB и CD параллельны. Что и требовалось доказать. Сопоставляя утверждение задачи 8 и аксиомы IX (основного свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Вопрос 7. Докажите, что если две прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Ответ: Теорема 4.3 (обратная теореме 4.2). Если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть a и b – параллельные прямые и c – прямая, пересекающая их в точках A и B. Проведём через точку A прямую a₁ так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей c с прямыми a₁ и b, были равны (рис. 76). По признаку параллельности прямых прямые a₁ и b параллельны. А так как через точку A проходит только одна прямая, параллельная прямой b, то прямая a совпадает с прямой a₁. Значит, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей с параллельными прямыми a и b, равны. Теорема доказана.

Вопрос 8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Ответ: Из теоремы 4.2 следует, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
Предположим, что две какие-либо прямые перпендикулярны третьей прямой. Значит, эти прямые пересекаются с третьей прямой под углом, равным 90°. Из свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, следует, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Вопрос 9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°.

Ответ: Теорема 4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. Проведём через вершину B прямую, параллельную прямой AC. Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC (рис. 78). Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу ABD.
А сумма всех трёх углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD и секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Вопрос 10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.
Ответ: Действительно, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих двух углов уже не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 11. Что такое внешний угол треугольника?
Ответ: Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 79).

Вопрос 12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Вопрос 13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Ответ: Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Вопрос 14. Какой треугольник называется прямоугольным?
Ответ: Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Вопрос 16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

Ответ: Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 82).

Вопрос 17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Ответ: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вопрос 18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Ответ: Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Доказательство. Пусть a – данная прямая и A – не лежащая на ней точка (рис. 85). Проведём через какую – нибудь точку прямой a перпендикулярную прямую. А теперь проведём через точку A параллельную ей прямую b. Она будет перпендикулярна прямой a, так как прямая a, будучи перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Отрезок AB прямой b и есть перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.
Докажем единственность перпендикуляра AB. Допустим, существует другой перпендикуляр AC. Тогда у треугольника ABC будут два прямых угла. А это, как мы знаем, невозможно. Теорема доказана.

Вопрос 19. Что называется расстоянием от точки до прямой?
Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

Вопрос 20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.
Ответ: Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой – нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Контрольные вопросы к §5. Геометрические построения.

Вопрос 1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?
Ответ: Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром.

Вопрос 2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
Ответ: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Вопрос 3. Какая окружность называется описанной около треугольника?
Ответ: Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вопрос 4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Ответ: Теорема 5.1. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр описанной около него окружности (рис. 93). Треугольник AOC равнобедренный: у него стороны OA и OC равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через её середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 5. Какая прямая называется касательной к окружности?
Ответ: Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

Вопрос 6. Что значит: окружности касаются в данной точке?
Ответ: Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную (рис. 97).

Вопрос 7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?
Ответ: Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной (рис. 97, а). Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей касательной (рис. 97, б).

Вопрос 8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?
Ответ: Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вопрос 9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Ответ: Теорема 5.2. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами (рис. 98). Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза AO общая, а катеты OD и OE равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и OAE. А это значит, что точка O лежит на биссектрисе треугольника, проведённой из вершины A. Точно так же доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

Вопрос 10. Объясните, как построить треугольник по трём сторонам.
Ответ: Задача 5.1. Построить треугольник с данными сторонами a, b, c (рис. 99, а).
Решение. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней произвольную точку B (рис. 99, б). Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром B и радиусом a. Пусть C – точка её пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным c, описываем окружность из центра B, а раствором циркуля, равным b, описываем окружность из центра C. Пусть A – точка пересечения этих окружностей. Проведём отрезки AB и AC. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Ответ: Задача 5.2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведём произвольную окружность с центром в вершине A данного угла (рис.100,а). Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом AB проведём окружность с центром в точке O – начальной точке данной полупрямой (рис.100,б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим B₁. Опишем окружность с центром B₁ и радиусом BC. Точка C₁ пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники ABC и OB₁C₁ равны как треугольники с соответственно равными сторонами. Углы A и O являются соответствующими углами этих треугольников. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 12. Объясните, как разделить данный угол пополам.
Ответ: Задача 5.3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины A данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 101). Пусть B и C – точки её пересечения со сторонами угла. Из точек B и C тем же радиусом описываем окружности. Пусть D – точка их пересечения, отличная от A. Проводим полупрямую AD. Луч AD является биссектрисой, так как делит угол BAC пополам. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы DAB и DAC являются соответствующими. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 13. Объясните, как разделить отрезок пополам.
Ответ: Задача 5.4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть AB – данный отрезок (рис. 102). Из точек A и B радиусом AB описываем окружности. Пусть C и C₁ – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AB. Отрезок CC₁ пересекает прямую AB в некоторой точке O. Эта точка есть середина отрезка AB. Действительно, треугольники CAC₁ и CBC₁ равны по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство углов ACO и BCO. Треугольники ACO и BCO равны по первому признаку равенства треугольников. Стороны AO и BO этих треугольников являются соответствующими, а поэтому они равны. Таким образом, O – середина отрезка AB. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
Ответ: Задача 5.5. Через данную точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.
Решение. Возможны два случая:
1) точка O лежит на прямой a;
2) точка O не лежит на прямой a.
Рассмотрим первый случай (рис. 103).
Из точки O проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую a в двух точках: A и B. Из точек A и B проводим окружности радиусом AB. Пусть C – точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки O и C.
Перпендикулярность прямых OC и AB следует из равенства углов при вершине O треугольников ACO и BCO. Эти треугольники раны по третьему признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 104).
Из точки O проводим окружность, пересекающую прямую a. Из точек A и B тем же радиусом проводим окружности. Пусть O1 – точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O. Искомая прямая проходит через точки O и O1. Докажем это.
Обозначим через C точку пересечения прямых AB и OO1. Треугольники AOB и AO1B равны по третьему признаку. Поэтому угол OAC равен углу O1AC. А тогда треугольники OAC и O1AC равны по первому признаку. Значит, их углы ACO и ACO1 равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a. Что и требовалось объяснить.

Вопрос 15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек?
Ответ: Теорема 5.3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть A и B – данные точки, a – прямая, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы должны доказать, что:
1) Каждая точка прямой a равноудалена от точек A и B;
2) Каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a.
То, что каждая точка C прямой a находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, следует из равенства треугольников AOC и BOC. У этих треугольников углы при вершине O прямые, сторона OC общая, а AO=OB, так как O – середина отрезка AB.
Покажем теперь, что каждая точка D плоскости, равноудаленная от точек A и B, лежит на прямой a. Рассмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так как AD=BD. В нем DO – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Значит, точка D лежит на прямой a. Теорема доказана.

Источник