Что понимают под элементарными событиями или случаями
Элементарное событие
Элементарное событие
В определении вероятностного пространства на множестве случайных событий вводится сигма-аддитивная конечная мера, называемая вероятностью.
Примеры
Замечания
Элементарные события могут иметь вероятности, которые строго положительны, нули, неопределенны, или любая комбинация из этих вариантов. Например, любое дискретное вероятностное распределение определяется вероятностями того, что может быть названо элементарными событиями. Напротив, все элементарные события имеют вероятность нуль для непрерывного распределения. Смешанные распределения, не будучи ни непрерывными, ни дискретными, могут содержать атомы, которые могут мыслиться как элементарные (то есть события-атомы) события с ненулевой вероятностью. В теории меры в определении вероятностного пространства вероятность произвольного элементарного события не могла быть определена до тех пор, пока математики не увидели различие между пространством исходов S и событиями, которые представляют интерес, и которые определяются как элементы σ-алгебры событий из S.
Формально говоря, элементарное событие — это подмножество пространства исходов случайного эксперимента, которое состоит только из одного элемента; то есть элементарное событие — это всё ещё множество, но не сам элемент. Однако элементарные события обычно записываются как элементы, а не как множества с целью упрощения, когда это не может вызвать недоразумения.
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Элементарное событие» в других словарях:
элементарное событие — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN simple event … Справочник технического переводчика
элементарное событие — elementarusis įvykis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. elementary event; simple event vok. einfaches Ereignis, n; elementares Ereignis, n rus. элементарное событие, n pranc. événement élémentaire, m … Automatikos terminų žodynas
элементарное событие — elementarusis įvykis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elementary event vok. elementares Ereignis, n rus. элементарное событие, n pranc. événement élémentaire, m … Fizikos terminų žodynas
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ СОБЫТИЕ — исходное понятие вероятностной модели. В определении вероятностного пространства непустое множество наз. пространством Э. с., а его любая точка наз. элементарным событием. При неформальном подходе множество описывает множество всех исходов нек… … Математическая энциклопедия
случайное событие — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] случайное событие Событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти либо не произойти, и для которого имеется определенная… … Справочник технического переводчика
Случайное событие — [random event, chance event] — событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти либо не произойти, и для которого имеется определенная вероятность его наступления. То же (в разных источниках) исход, случай, результат… … Экономико-математический словарь
Пространство элементарных событий — Пространство элементарных событий множество всех различных исходов случайного эксперимента. Элемент этого множества называется элементарным событием или исходом. Пространство элементарных событий называется дискретным, если число его… … Википедия
Алгебра множеств — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … Википедия
Алгебра (теория множеств) — У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения). Алгебра множеств в теории множеств это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы). Содержание 1 Определение … Википедия
вероятность — Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика
Что понимают под элементарными событиями или случаями
уМЕДХЕФ РПНОЙФШ, ЮФП НЩ ЪБОЙНБЕНУС НБФЕНБФЙЛПК Й ЙНЕЕН ДЕМП ОЕ У ТЕБМШОПУФША, Б МЙЫШ У ЕЈ НБФЕНБФЙЮЕУЛПК НПДЕМША. нЩ Й ВХДЕН ЙЪХЮБФШ ФПМШЛП НБФЕНБФЙЮЕУЛЙЕ НПДЕМЙ, Б РТЙМПЦЕОЙЕ ЙИ Л ТЕБМШОПУФЙ ПУФБЧЙН ОБ ДПМА НБФЕНБФЙЮЕУЛПК Й РТБЛФЙЮЕУЛПК УФБФЙУФЙЛЙ.
рТЙНЕТЩ УПВЩФЙК: ЧЩРБМП ПДОП ЙМЙ ДЧБ ПЮЛБ; ЧЩРБМП ОЕЮЈФОПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ.
рТЙНЕТЩ УПВЩФЙК:
РТЙ РЕТЧПН РПДВТБУЩЧБОЙЙ ЧЩРБМП ПДОП ПЮЛП;
РТЙ ЧФПТПН РПДВТБУЩЧБОЙЙ ЧЩРБМП ПДОП ПЮЛП;
ОБ ЛПУФСИ ЧЩРБМП ПДЙОБЛПЧПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ;
ОБ ПВЕЙИ ЛПУФСИ ЧЩРБМП ОЕЮЈФОПЕ ЮЙУМП ПЮЛПЧ.
фБЛ, ЬЛУРЕТЙНЕОФЩ ЙЪ РТЙНЕТПЧ 1, 2 Й 4 (ОП ОЕ 3) РТЙЧПДСФ Л ДЙУЛТЕФОЩН РТПУФТБОУФЧБН ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ.
2. еУМЙ Й ОЕУПЧНЕУФОЩ, ФП ;
еУМЙ УПВЩФЙЕ УПУФПЙФ ЙЪ ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ, ФП ЧЕТПСФОПУФШ ЬФПЗП УПВЩФЙС ТБЧОСЕФУС ПФОПЫЕОЙА :
ОБЪЩЧБЕНПК ЛМБУУЙЮЕУЛЙН ПРТЕДЕМЕОЙЕН ЧЕТПСФОПУФЙ.
нЩ ЧЙДЙН ФЕРЕТШ, ЮФП РПДУЮЈФ ЧЕТПСФОПУФЙ Ч ЛМБУУЙЮЕУЛПК УИЕНЕ УЧПДЙФУС Л РПДУЮЈФХ ПВЭЕЗП ЮЙУМБ «ЫБОУПЧ» Й ЮЙУМБ ЫБОУПЧ, ВМБЗПРТЙСФУФЧХАЭЙИ ЛБЛПНХ-МЙВП УПВЩФЙА. юЙУМП ЫБОУПЧ УЮЙФБАФ У РПНПЭША ЖПТНХМ ЛПНВЙОБФПТЙЛЙ.
еУМЙ РПТСДПЛ ОЕ ХЮЙФЩЧБФШ, ФП УМЕДХЕФ ПВЯСЧЙФШ ДЧБ РПУМЕДОЙИ ЙУИПДБ ПДОЙН Й ФЕН ЦЕ ТЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ, Й РПМХЮЙФШ ОЕ ЮЕФЩТЕ, Б ФТЙ ЙУИПДБ:
рЕТЧЩЕ ДЧБ ЙУИПДБ ЙНЕАФ ЧЕТПСФОПУФЙ РП 1/4, Б РПУМЕДОЙК ЧЕТПСФОПУФШ 1/4+1/4=1/2.
тЕЪХМШФБФПН ЬЛУРЕТЙНЕОФБ СЧМСЕФУС ОБВПТ ЙЪ ЫБТПЧ. нПЦОП ОЕ ХЮЙФЩЧБФШ ЙМЙ ХЮЙФЩЧБФШ РПТСДПЛ УМЕДПЧБОЙС ЫБТПЧ, ЧЕТПСФОПУФШ ОЕ ДПМЦОБ ЪБЧЙУЕФШ ПФ УРПУПВБ РПДУЮЈФБ.
чЩВПТ У ХЮЈФПН РПТСДЛБ. пВЭЕЕ ЮЙУМП ЬМЕНЕОФБТОЩИ ЙУИПДПЧ ЕУФШ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБЪНЕУФЙФШ ЬМЕНЕОФПЧ ОБ НЕУФБИ: РП ФЕПТЕНЕ 2,
Основные понятия теории вероятностей
Классификация событий
Можно привести бесчисленное множество подобных примеров. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита и т.д.
Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.
Операции над событиями
При разработке аппарата и методики исследования случайных событий в теории вероятностей очень важным является понятие суммы и произведения событий.
Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
Сумма событий обозначается так:
Например, если событие есть попадание в цель при первом выстреле, событие — при втором, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично, при каком выстреле — первом, втором или при обоих вместе.
Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Произведение событий обозначается
Например, если событие есть попадание в цель при первом выстреле, событие — при втором, то событие состоит в том, что в цель попали при обоих выстрелах.
Классическое определение вероятности случайного события
Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события.
Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.
Из формулы (1.1) следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:
Свойства вероятности
Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.
Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события :
Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.
Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.
Решение. Обозначим событие, состоящее в том, что набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных исходов равно 10. Эти исходы единственно возможны (одна из цифр набрана обязательно) и равновозможны (цифра набрана наудачу). Благоприятствует событию лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:
Элементы комбинаторики
Два сочетания различаются хотя бы одним элементом, а размещения различаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из элементов по вычисляется по формуле
есть число размещений из элементов по ; — число перестановок из элементов.
Пример 2. В партии из 10 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 6 деталей ровно 4 стандартных.
Статистическое определение вероятности
Формулу (1.1) используют для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую не ограничено. Во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.
Частота появления событий при многократно повторяющихся Опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при которых проводятся опыты, и событием.
Вероятностью случайного события называется число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.
Это определение вероятности называется статистическим.
Преимущество статистического способа определения вероятности состоит в том, что он опирается на реальный эксперимент. Однако его существенный недостаток заключается в том, что для определения вероятности необходимо выполнить большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно раскрывает содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности.
Геометрическая вероятность
В классическом определении вероятности рассматривается полная группа конечного числа равновозможных событий. На практике очень часто число возможных исходов испытаний бесконечно. В таких случаях классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в подобных случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двумерным случаем.
Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.
Пример 3. Круглая мишень вращается с постоянной угловой скоростью. Пятая часть мишени окрашена в зеленый цвет, а остальная — в белый (рис. 4). По мишени производится выстрел так, что попадание в мишень — событие достоверное. Требуется определить вероятность попадания в сектор мишени, окрашенный в зелёный цвет.
Аксиомы теории вероятностей
Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого группируются частоты этого события, наблюдаемые на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся так, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.
Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.
Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Классическое определение вероятности
Содержание
Случайный эксперимент. Множество элементарных исходов. Случайные события
Например, одним из случайных экспериментов, часто используемых в теории вероятностей, является подбрасывание игральной кости. Результатом этого случайного эксперимента будет количество выпавших очков.
Напомним, что игральная кость – это кубик из однородного материала, грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 при помощи нанесенных на грани кубика точек.
Элементарные события часто называют элементарными исходами или, просто, исходами, а множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий, множеством элементарных исходов или пространством элементарных исходов.
Случайные события часто для простоты называют событиями.
Классическое определение вероятности
Если в результате случайного эксперимента может реализоваться один из нескольких равновозможных вариантов, то используют классическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности является краеугольным камнем теории вероятностей и вводится в соответствии со следующей схемой.
Определяется множество элементарных событий (результаты случайного эксперимента).
В классическом определении вероятности в качестве множества элементарных событий Ω используют произвольное множество, состоящее из конечного числа элементов. Элементы множества Ω (элементарные события) обозначают
Вероятность каждого элементарного события полагают равной
Определяются случайные события.
Пустым множеством 
называют множество, в котором нет ни одного элемента. Пустое множество содержится в любом множестве, то есть является подмножеством любого множества.
Определяется вероятность каждого случайного события.
Если A – случайное событие, то вероятность события A полагают равной числу
Вероятность случайного события A принято обозначать P (A).
Таким образом, справедливо равенство
причем, поскольку числитель в правой части формулы (1) не превосходит знаменателя, то вероятность любого случайного события A заключена в пределах
Примеры решения задач
составляют множество элементарных событий Ω :
Поскольку множество Ω состоит из 6 элементов, то вероятность каждого элементарного события равна 
:
Каждое случайное событие является подмножеством Ω и состоит из нескольких элементарных событий. Так, например, случайное событие
состоит из трех элементарных событий
В силу формулы (4) справедливо равенство
Элементарные события
Классическое определение вероятности. Пространство событий,
Первым основным понятием теории вероятности является понятие события.
Определение 1. Опытом, испытанием или экспериментом называют совокупность условий и действий, при которых может наблюдаться соответствующее явление.
Пример. Стрельба по мишени; бросание монеты; и т. д.
Определение 2. Событием называется возможный результат опыта.
Пример. Попадание и промах; орел и решка (аверс и реверс); 1, 2, 3, 4, и т. д.
Определение 3. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти. События обозначаются большими буквами А, В, С, D, ¼
Определение 4. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. Обозначается как U.
Пример. При бросании игральной кости выпадает число от 1 до 6.
Определение 5. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти. Обозначается как Æ.
Пример. При бросании монета повисла в воздухе, упала на ребро на зеркальном полу.
Определение 6. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример. Орел, решка.
Определение 7. Несколько событий называются несовместными, если они попарно-несовместимые.
Определение 8. События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Определение 9. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.
Определение 10. События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в данном испытании.
Определение 11. События, которые в данном испытании обладают следующими свойствами:
1. они образуют полную группу;
называются элементарными событиями или исходами.
Определение 12. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называется благоприятствующим данному событию. Обозначают как v1, v2, v3, ¼
Пример. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один ша. Дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар будет белым.
Решение. Введем обозначения:
Событие А − появление белого шара.
v1, v2 − появление белого шара,
Событию А благоприятствуют два исхода: v1, v2, т. е. событие А произойдет, если наступит v1 или v2.
В этом смысле событие А подразделяется на два элементарных исхода. Элементарный исход не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием и элементарным исходом.
Очевидно, что число равное отношению всех благоприятствующих исходов к их общему числу и дает ту количественную оценку степени возможности появления белого шара, т. е. 
.
Вторым основным понятием теории вероятностей является событие.
Определение 13 (Классическое определение вероятности). Вероятность события есть число, характеризующее степень возможности появления этого события. Обозначается как Р (А).
Оно равно отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к их общему числу.
где т − число исходов, благоприятствующих событию А,
п − число всех элементарных исходов испытания.
Свойства вероятности:
3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.018 сек.)