Что понимают под математической моделью задачи информатика
Информатика. 11 класс
Конспект урока
Информатика, 11 класс. Урок № 10.
Тема — Математические модели. Стохастические модели
Цели и задачи урока:
На уроке вы узнаете:
Важную роль в изучении закономерностей объективного мира играет математическое моделирование. Наряду с теорией и практикой математическое моделирование является одним из методов познания.
Одним из основоположников математического моделирования в России был академик Александр Андреевич Самарский. Согласно его высказыванию математическое моделирование состоит в замене исходного объекта его образом — математической моделью. И дальнейшее изучение этой модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительных алгоритмов. Достоинствами такого метода является:
— Дешевизна процесса, по сравнению с экспериментальными исследованиями.
— Исследование различных вариантов.
— Анализ вклада различных факторов и влияния различных условий.
— Возможность исследовать объекты вообще не доступные для экспериментального наблюдения, например, черные дыры.
Основным инструментом математического моделирования является проведение вычислительного эксперимента (как теоремы и доказательства в теории, наблюдения и измерения в практике).
Проведение вычислительного эксперимента требует четкого плана действия. Можно выделить три этапа вычислительного эксперимента: 1) модель, 2) алгоритм, 3) программа.
На первом этапе формируется некий теоретический эквивалент — модель. Модель может быть как функциональной, то есть в ней описаны уравнения всех процессов явления, так и вариационной, то есть известен отклик системы на некоторые входные данные.
Модель может быть детерминированной, то есть модель описана ясными соотношениями, а может быть стохастической, когда явление описывается вероятностными функциями.
Модель может быть прямая, это когда уравнения заданы и надо найти их решения, а может быть обратная, заключающаяся в том, что надо найти по решению характеристики этой системы.
При любом моделировании существует иерархия моделей. То есть ряд моделей, учитывающих с большей или с меньшей подробностью процессы. Особенно это важно в многофакторных задачах. Например, экологические задачи, где можно учитывать очень много процессов. Но не стоит думать, что если модель учитывает наибольшее количество факторов, то это лучше. Ничего подобного, так как увеличение количества факторов ведет к усложнению модели, а значит решение ее может занимать не оправданно большой объем вычислений.
Вторым этапом математического моделирования является разработка алгоритма, который должен удовлетворять трем принципам:
Третий этап состоит в создании программы по алгоритму, которая в свою очередь должна быть экономичной и адаптивной.
Давайте рассмотрим этапы математического моделирования на примере биологической задачи «Жертва-хищник». Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа «хищник — жертва».
Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид — хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида.
Это могут быть: зайцы и волки, львы и зебры, щуки и караси, микробы и антитела, лиса и курица, кошки и мыши, и другие.
Так как количество умерших и родившихся животных пропорционально численности, то годовой прирост можно найти как:
kр*Ni–kc*Ni, где kр и kc — коэффициенты рождаемости и смертности, определяемые экспериментально. Тогда в i+1 год количество животных можно выразить через Ni:
Если K=0 (рождаемость равна смертности), K>0 (количество животных увеличивается),
Информатика
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Математические модели
Давайте прочитаем такую простую загадку:
«Мама насыпала троим детям целую вазу любимых шоколадных конфет. Дети не дождались, пока конфеты поделят, стали потихоньку их кушать. 5-летний Антон взял 6 штук и скушал, 10-летняя Ирина взяла половину того, что осталось. А 3-летнему Игорю досталось 1/3 всех конфет, что купила мама. Когда мама пришла, дети ссорились, что конфеты поделили не честно. Но она успокоила их, что все получили поровну».
В этом отрывке много информации: любимые конфеты, сколько у мамы было детей, их имена и возраст, а также, кто, сколько скушал сладкого. Но, чтобы узнать, честно ли дети поделили угощение, нужна лишь часть данных.
Построение математической модели этой истории:
Записываем математическую модель: x-6-1/2*(x-6)=1/3*x
Получается, первый ребенок взял 6 конфет, второй – (18-6)/2=6, третий – 18/3=6. Значит, мама была права, все дети скушали одинаковое количество сладкого.
Так решение математической модели позволило маме помирить детей.
Математическими моделями называются количественное описание взаимосвязей между объектами или процессами.
Другими словами, математическая модель – это выражение какого либо процесса или объекта при помощи формул, знаков и чисел. Надь, выдели правило красным полем, пожалуйста
То, что мы с вами сейчас сделали, называется математическое моделирование, то есть, замена исходной информации математическим образом. Это наиболее логичный подход, чтобы позже описать что-либо при помощи компьютерной программы.
Математическую модель легче исследовать, написав вычислительный алгоритм, который позволяет считать, решать любые задачи подобного типа.
Назначение матмоделей
Сфера применения моделирования:
Матмоделирование широко применяется: экономико-математические модели, финансовые прогнозы, инженерные расчеты. Оно позволяет изучить, анализировать и прогнозировать.
Значит, реальный эксперимент можно провести несколько раз, написать математическую модель процесса, а далее, используя компьютерную программу или ручные расчеты, «прогонять» другие значения без эксперимента.
Например, накормить тортом 1 человека, рассчитать, сколько кусков ему нужно для насыщения. Рассчитать, какого размера нужен торт, если приглашенных гостей будет 10, 20, 100 человек.
Для этого используется математический язык: формулы, знаки, символы, цифры, уравнения, системы уравнений. Это один из наиболее часто используемых и точных методов научного исследования.
Расчеты ядерных реакций, количество выделяемого тепла, радиации – все это лучше рассчитывать теоретически, а проверять экспериментально лишь частично. Изучение космических бесконечностей, океанских глубин, пока возможно только математическим путем, но чем больше человек осваивает небо и океан, тем чаще убеждается в правильности своих расчетов.
Химию, физику, экономику сложно представить без матмоделей. Теперь биологи, экологи и медики также стали широко использовать математическое программирование. Например, сейчас ученые всего мира периодически рассчитывают количество людей, которые пострадают от пандемии. Плюс они постоянно актуализируют свои прогнозы, вводя новые данные по смертности и выздоровлению, по стойкости вируса в различных условиях.
Чтобы содержать курей несушек, нужно знать, сколько и какого корма необходимо для содержания 1 курицы на 1 день. Если же покупать комбикорма, зерно, зелень бездумно, птица останется голодной, ведь часть сырья испортится, в части заведутся насекомые, а чего-то не хватит. Логичнее заранее рассчитать, сколько и чего покупать (+небольшой запас) и только тогда заводить несушек.
Мы знаем, сколько необходимо корма на 1 день для 1 курицы-несушки. Около 300 г. на сутки, с учетом состава (86 г. пшеницы, 16 отрубей, по 44 кукурузы и ячменя, по 32 макухи, овса, гороха, по 10 мела, муки рыбной и мясокостной, по 6 г. дрожжей).
А на сутки для 10, 80, 150, 758 птиц? А на 3 месяца?
Данные по 1 курице получены экспериментально, а расчет для любого другого количества получим при помощи вычислений.
Имея модель, можно получить расчеты для любого вида птицы и любого количества, ведь подход будет аналогичный.
Отсюда получается, что данный метод позволяет уменьшить, а иногда и полностью избежать экспериментов, что очень важно при ограниченности ресурсов, их дороговизне или опасности процесса.
Плюсы математического моделирования:
Значит, матмоделирование – это тот же эксперимент, только расчетный, вычислительный. Поэтому нужен четкий план следования, который содержит 3 шага:
На первом этапе происходит описание математической модели – происходящие процессы, зависимости между объектами выражаются при помощи уравнений.
Модели могут захватывать все связи и процессы, но следует выбирать только значимые параметры, чтобы построить действующую упрощенную модель. Если же захватить и описать все факторы, на построение такой конструкции придется потратить неоправданно много времени и ресурсов, плюс в сложных алгоритмах чаще встречаются ошибки, а найти их непросто.
Следующий этап – построение алгоритма, который соответствует основным критериям:
На третьем этапе создают программу, которая также соответствует вышеописанным признакам.
Классификация математических моделей
Все модели можно поделить по виду, целям, содержанию и другим параметрам. Часто встречаются смешанные виды.
Статистическая модель по отношению ко времени – сколько нужно купить пирожных и сока, чтобы устроить сладкий стол для школьников.
Динамическая – динамика изменения цены на яйца, масло, и изменение стоимости готового торта помесячно.
Дискретная модель описывает поведение объекта в конкретный момент времени, например, энергия электрона в атоме водорода.
Непрерывная модель позволяет исследовать постоянное изменение высоты уровня океана от температуры воздуха на планете.
Предопределенная модель по характеру зависимости параметров – расчет качества зерна при изменении температуры и влажности в складе.
Случайная – описание движения кометы. В данном случае идет фактическое описание различных параметров, так как повлиять на них невозможно.
Важно разобрать поставленную задачу на простые расчеты, в зависимости от цели. В примере с курочками может понадобиться, сколько корма нужно с момента, когда курица начинает нести яйца и до спада или же до полного прекращения яйценоскости. Тогда нужно рассчитывать весь объем корма, но на разное количество голов и на различные сроки.
Так как треть от суточного состава занимает пшеница и продукты ее переработки, можно рассчитать, сколько сеять (зная, что ее средняя урожайность яровой 4,5 т/га или 5,8 т/га озимой), чтобы обеспечить 1000 голов курочек-несушек. В составе корма зерна и отруби из пшеницы занимают почти 32%. Остальные компоненты купить или рассчитать по аналогии.
Списки, виды, назначение, особенности
Математическое моделирование невозможно без алгоритма действия или пошагового плана действия. Такой список с номерами шагов и есть примером списка. Списки окружают нас везде.
Посмотрите в дневники, на стены кабинета, в учебник. Это расписание уроков, движение транспорта, рецепт блюда, перечень дел на день, список дней рождения и множество других примеров.
Списки – способ подачи информации для описания чего-либо или перечисление объектов.
Чаще всего используют 3 основных вида списков:
Для всех типов списков можно менять размер, цвет, начертание как для маркеров/нумеров, так и для пунктов (для них еще можно менять шрифт). По виду буллита (маркера) различают различные виды маркированных списков.
По тому, что использовалось в качестве маркера (цифры, буквы, знаки), нумерованные списки делят на разные виды.
Одним их самых удобных и простых способов создания списков является написание их в текстовом редакторе. Сделать это очень просто и под силу любому, кто хоть немного знаком с Word.
Способы создания списков в Word
Чтобы делать списки в текстовом редакторе Word, можно воспользоваться одним из предложенных способов:
Выбрать нужный тип маркера. Начать печатать текст. Каждая новая строчка (после Enter) считается новым пунктом, а значит, будет с выбранным маркером.
Пример маркированного списка:
Времена года и месяцы:
Аналогично делается нумерованный список:
Времена года и месяцы:
Важно! Правилом хорошего тона считается пункты маркированного списка начинать с маленькой буквы, а заканчивать точкой с запятой. Нумерованный список начинают с большой буквы, а заканчивают точкой.
Примеры, виды многоуровнего списка:
Времена года и месяцы:
Второй способ создания нумерованного или другого списка – при помощи контекстного меню, правой клавиши мыши (ПКМ).
Курсор поставить в нужное место в документе, нажать ПКМ, выбрать пункт Маркеры или Нумерация.
Для варианта с маркером:
Для варианта с нумерацией:
Можно преобразовать информацию в список. Для этого набранные строки выделить, потом выбрать тип списка на главной панели или при помощи ПКМ. Программа принимает, что окончание строки (Enter) есть окончание пункта списка.
Пошаговая инструкция или простой алгоритм
Среди огромного количества списков обособленно стоят нумерованные списки в ворде или в другом редакторе, которые являются не перечнем чего-либо, а пошаговым планом действия.
Как видно из примеров, когда нумерованный список используется просто как описание пунктов, объектов, пункты можно менять местами, конечная цель будет получена – пользователь получит весь объем информации.
Для нумерованного списка в виде пошаговой инструкции критично важна последовательность пунктов. Каждый следующий шаг можно делать только после предыдущего. Только тогда на выходе будет нужный результат. Это понятно на примере пошагового кулинарного рецепта.
Это и есть линейный алгоритм, в котором процесс разбивается на элементарные шаги. Выполняя эти простые действия, пользователь достигнет желанной цели, даже если она кажется сложной.
Давайте придумаем простейший алгоритм. Например, приготовление бутерброда с маслом и сыром.
Чтобы получить в конце готовый бутерброд, придется выполнить такие шаги:
Посмотрите, каждый шаг алгоритма простой и понятный. Но даже такие простейшие пункты можно разобрать на еще более детальные этапы. Например, взять деньги дома, положить в кошелек, одеться, обуться, выйти из квартиры, закрыть дверь ит.д. Детализировать можно до элементарных шагов.
Уровень детализации каждого шага алгоритма подбирают в зависимости от уровня исполнителя. Если алгоритм рассчитан для новичка, он будет состоять из самых простых шагов, если человек опытный, пункты будут сложнее. Это как объяснять новый рецепт неопытному кулинару и мастер-шефу.
Множество задач можно перевести в универсальную форму, используя математический язык. А составив алгоритм и написав по нему программу, ускорить, упростить расчет большинства задач. Без математических моделей и программирования невозможно представить расчет годового бюджета, мониторинг парникового эффекта, расчеты в садоводстве и земледелии.
Урок информатики математические модели
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Урок информатики и ИКТ в 7-м классе по теме
Раздел программы: Информационное моделирование.
знаковая информационная модель,
систематизировать и обобщить сведения, полученные учащимися на предыдущем уроке;
расширить представления учащихся о знаковых информационных моделях;
дополнить и обобщить представления учащихся о математических моделях.
Обучающая: расширить представления учащихся о знаковых информационных моделях; проверить знания по изученному материалу раздела “Информационное моделирование”
Развивающая: развитие аналитико-синтезирующего мышления, формирование умений наблюдать, делать выводы, развитие находчивости, умения преодолевать трудности для достижения намеченной цели.
Воспитывающая: воспитание положительного отношения к знаниям, привитие интереса к Информатике.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Вид урока: урок-беседа.
интерактивная доска, проектор;
презентация к уроку;
карточки для проверки д/з;
Информатика. Учебник для 7 класса. Л.Л. Босова.
Информатика. Рабочая тетрадь для 7 класса. Л.Л. Босова.
Последовательность этапов урока.
Организационный момент (1 мин).
Актуализация и проверка усвоения изученного материала. (5 мин).
Сообщение темы и целей урока (2 мин).
Объяснение нового материала (10 мин).
Закрепление изученного материала. Работа в рабочих тетрадях. (4 мин).
Компьютерный практикум. Тестирование. (10 минут).
Физкультминутка. (2 мин).
Домашнее задание. (2 мин).
1. Организационный момент.
Давайте улыбнемся друг другу и с хорошим настроением начнем наш урок.
2. Актуализация и проверка усвоения изученного материала.
Мы с вами изучаем важную тему в Информатике “Информационное моделирование”. Давайте повторим основные понятия этой темы, разгадав следующий кроссворд.
1. Модели, включающие набор свойств, содержащий всю необходимую информацию об исследуемом объекте, называют… (информационные)
2. Объект, который используется в качестве “заместителя” другого объекта с определенной целью (модель)
3. Описание предмета, рассказ о явлении, событии – это … модели (словесные)
4. Кукла, плюшевый медвежонок, глобус – это…. модели (натурные)
5. Формула площади прямоугольника, текст – это … модели (знаковые)
6. Рисунки, фотографии – это … модели (образные)
7. Карта, график, таблица, схема – это … модели (смешанные)
8. Процесс создания и использования моделей (моделирование)
Пока мы разгадываем кроссворд, три человека будут работать за компьютером, выполняя задания на карточках. Им нужно переструктурировать информацию в виде многоуровнего списка, с которым мы познакомились на прошлом уроке.
Проверка выполненной работы. Выставление оценок.
3. Сообщение темы и целей урока.
При помощи языка мы общаемся, передавая друг другу мысли, чувства, знания об окружающем нас мире. Мы знаем, что естественный язык обладает различными особенностями. Давайте вспомним эти особенности (многозначность, синонимия, омонимия, использование слов в прямом и переносном значениях, слова-профессионализмы и т.п.).
Такие особенности делают человеческое общение выразительным, эмоциональным, красочным. Вместе с тем, их наличие делает естественный язык непригодным для создания информационных моделей во многих сферах профессиональной деятельности (например, в системах “человек — компьютер”). Возникает проблемная ситуация.
Какой язык используется для создания информационных моделей? Решить эту проблему мы сможем на сегодняшнем уроке, тема которого “Математические модели”.
Цель нашего урока: познакомиться с новым видом знаковых информационных моделей и рассмотреть процесс трансформации словесной модели в математическую.
4. Объяснение нового материала.
Основным языком информационного моделирования в науке является язык математики.
Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Рассмотрим следующий пример.
Рассмотрим текст небольшой заметки из школьной стенгазеты.
Этот текст можно рассматривать как словесную модель бассейна. Попробуем решить содержащуюся в заметке задачу: узнаем, за сколько часов бассейн наполнится через обе трубы. Если отбросить информацию, несущественную с точки зрения поставленной задачи, то условие задачи можно сформулировать так.
Попробуем решить задачу в общем виде, обозначив время заполнения бассейна через первую и вторую трубы А и В соответственно. Примем за 1 весь объем бассейна, искомое время обозначим через t.
Мы получили математическую модель, описывающую процесс наполнения бассейна из двух труб. Преобразуем выражение в скобках, и формула примет вид. Теперь искомое время может быть вычислено по формуле.
Несложно подсчитать, что при исходных данных А = 30 и В = 20 искомое время равно 12 часам. Рассмотрим второй пример.
На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. Составим математическую модель, описывающую положение мотоциклиста относительно пункта А через t часов.
За t часов мотоциклист проедет 50t км и будет находиться от А на расстоянии 50t км + 20 км. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой: s = 50t + 20, где t > 0.
5. Закрепление изученного материала. Работа в рабочих тетрадях.
Учащиеся под руководством учителя выполняют № 23 (стр. 49).
6. Компьютерный практикум. Тестирование.
А теперь проверим ваши знания по теме “Информационное моделирование”. Выполним тест 2.
По окончании теста полученную оценку поставьте в дневник.
Для тех, кто справится с работой быстрее других, дополнительное задание на доске.
Итак, работа выполнена. Подведем итоги.
Кто из вас выполнил дополнительное задание на доске?
Исправьте найденные ошибки.
Рисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни вершиной вниз.
И вновь глазами ты по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально. Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води.
И на бочок ее клади. Теперь следи горизонтально,
И в центре ты остановись. Глазки крепко закрываем,
Дружно до пяти считаем. Глаза открываем мы, наконец.
Зарядка окончилась. Ты молодец!
Какой язык используется для создания информационных моделей?
С какими моделями мы сегодня познакомились?
Что, по-вашему, является наиболее важным?
Что осталось непонятным?
9. Домашнее задание.
Параграф 2.4 (стр. 54-56), РТ: № 26 – 27.
У каждого из вас на столе карточки (зеленая, желтая, красная). Уходя из класса, прикрепите на доску одну из них.
Урок 10
§14. Математическое моделирование
Содержание урока
Постановка задачи
Постановка задачи
Ключевые слова:
Для того чтобы исследовать модель с помощью компьютера, нужно записать её на каком-то формальном языке. Условия многих задач точнее всего записываются с помощью языка математики — в виде формул. Такие модели называются математическими.
Когда формулы написаны, для исследования модели с помощью компьютера нужно написать программу — составить компьютерную модель. В этом параграфе мы на примерах рассмотрим основные этапы разработки и исследования математических моделей.
Этап постановки задачи — самый важный при моделировании. Если здесь допущена ошибка, то фактически решается совсем не та задача, которую нужно решить, и после завершения моделирования всё придётся начать заново.
Для того чтобы задачу можно было решить, она должна быть хорошо поставлена (корректна). Это значит, что:
• заданы все связи между исходными данными и результатом;
• известны все исходные данные;
• решение существует;
• решение единственно.
К сожалению, в реальных задачах бывает сложно строго доказать существование и единственность решения; более того, задача может иметь множество решений. В таких случаях формулировку задачи можно уточнить, например, так:
• найти любое решение, если оно существует;
• найти все решения в некоторой области (например, все решения уравнения на отрезке [0,1]);
• найти всё множество решений (например, для уравнения sin х = 1).
Приведём примеры плохо поставленных (некорректных) задач.
Задача 1. Уроки в школе начинаются в 8-30. В 10-00 к школе подъехал красный автомобиль. Определите, когда Шурик выйдет играть в футбол.
Задача 2. Мальчик Вася в синей кепке бросает белый мяч со скоростью 12 м/с. Через какое время мяч впервые ударится о земную поверхность?
Задача 3. Решите уравнение sinx = 4.
Задача 4. Найдите функцию, график которой проходит через точки (0, 0) и (1, 1).
Для каждой из этих задач определите, почему их нельзя считать хорошо поставленными.
Все дальнейшие рассуждения мы будем проводить для задачи 2.
Она плохо поставлена, потому что неизвестно, из какой точки и под каким углом брошен мяч. Дополним условие, чтобы сделать задачу корректной, например, так: Вася бросает мяч вертикально вверх. В момент броска мяч находится на высоте 1,5 м.
Всегда ли существует решение задачи 2? Да, всегда. По закону всемирного тяготения мяч притягивается к земной поверхности и когда-нибудь упадёт на поверхность.
Единственно ли решение? Да, в этой задаче решение единственно.
Следующая страница 
Разработка математической модели
Cкачать материалы урока