Что понимают под общей тенденцией динамики

Методы изучения основной тенденции в рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определённую тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Основная тенденция (тренд) – изменение, определяющее общее направление развития, это систематическая составляющая долговременного действия.

Задача статистики – выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобождённую от действия различных случайных факторов. Часто по одному лишь внешнему виду ряда динамики её установить невозможно, поэтому используют специальные методы обработки, позволяющие показать основную тенденцию ряда.

Изучение тренда включает два основных этапа:

1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;

2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка ряда динамики на наличие в нём тренда возможна несколькими способами (в порядке усложнения):

1. Графический метод, когда на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально.

2. Метод разности средних, согласно которому изучаемый ряд динамики делится на два равных подряда, для каждого из которых определяется средняя величина и . И если они различаются существенно (более 10%), то признается наличие тренда. Если ряд динамики меняет направление развития, то точка поворота тенденции оказывается близкой к середине ряда, поэтому средние двух отрезков будут близки, а проверка может не показать наличие тенденции.

3. Метод Кокса и Стюарта, согласно которому ряд динамики делится на три равные по числу уровней группы, и существенное различие выявляется между средними уровнями первой и третьей групп. Если общее число уровней не делится на три, то надо добавить недостающий уровень или исключить излишний.

4.Метод Уоллиса и Мура, согласно которому наличие тренда признаётся в том случае, если ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы, т. е. перемену знака при определении абсолютного изменения цепным способом.

Методы выявления тренда (выравнивания, сглаживания ряда динамики):

1). Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Средняя, исчисленная по укрупнённым интервалам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития, в то время как слишком малые интервалы между наблюдениями приводят к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

Месяц	Объём выпуска, млн.руб.	Месяц	Объём выпуска, млн.руб.
Январь	5,1	Июль	5,6
Февраль	5,4	Август	5,9
Март	5,2	Сентябрь	6,1
Апрель	5,3	Октябрь	6,0
Май	5,6	Ноябрь	5,9
Июнь	5,8	Декабрь	6,2

Различные направления изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам, т. е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.

Объём производства, млн.руб.

в кварталв среднем в месяц115,75,23216,75,57317,65,87418,16,03

После укрупнения интервалов основная тенденция роста производства стала очевидной: 5,23

Сглаживание методом скользящих средних можно производить по трём, четырём, пяти или другому числу уровней ряда, используя соответствующие формулы для усреднения исходных уровней. Полученные при этом средние уровни называются трёхзвенными скользящими средними, четырёхзвенными скользящими средними, пятизвенными скользящими средними и т. д.

Недостатком сглаживания ряда является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

трехлетняяпятилетняя199115,4––199214,015,7 = 15,4+14,0+ +17,6)/3–199317,615,7 = 14,0+17,6+ +15,4)/314,7199415,414,615,1199510,914,615,3199617,514,515,5199715,017,015,2199818,515,916,0199914,215,9–200014,9––Итого153,4

Сглаженный ряд урожайности по трёхлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям – на два члена в начале и в конце ряда. Он меньше, чем фактический, подвержен колебаниям из-за случайных причин, и чётче выражает основную тенденцию роста урожайности за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития.

Рис. 2. Эмпирические и сглаженные уровни ряда динамики

При сглаживании ряда динамики по чётному числу уровней выполняется дополнительная операция, называемая центрированием, поскольку, при вычислении скользящего среднего, например по четырём уровням, относится к временной точке между моментами времени, когда были зафиксированы фактические уровни и . Схема вычислений и расположений уровней сглаженного ряда становится сложнее:

. — исходные уровни;

— — . — сглаженные уровни;

— — . — центрированные сглаженные уровни;

.

Недостаток метода скользящей средней заключается в условности определения сглаженных значений для уровней в начале и в конце ряда. Получают их по специальным формулам. Так, при сглаживании по трем уровням условное значение первого уровня нового ряда рассчитывается по формуле

.

Для уровня в конце нового ряда при таком сглаживании формула аналогична:

.

При сглаживании по пяти уровням условными оказываются по два уровня в начале и в конце нового ряда. Первое условное значение определяется по формуле

,

а второе – по формуле

.

Для двух уровней в конце нового ряда при таком сглаживании формулы аналогичны. Так, последнее расчетное значение определяется по формуле

,

а предпоследнее значение по формуле

.

Метод скользящих средних не позволяет получить численные оценки для выражения основной тенденции в ряду динамики, давая лишь наглядное графическое представление.

Укрупнение интервалов и метод скользящей средней дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобождённую от случайных или волнообразных колебаний. Получить обобщённую статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

3). Аналитическое выравнивание ряда динамики используется для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней ряда динамики во времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически.

Общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

ŷ_t=f(t), где ŷ_t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y_i плавно изменяющимися уровнями ŷ_t, наилучшим образом аппроксимирующими статистические данные.

Процедура аналитического выравнивания сводится к следующему:

1) определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции, способной наиболее адекват­но отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

2) нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

3) расчёт по найденному уравнению теоретических (выровнен­ных) уровней и оценка их качества;

4) прогнозирование неизвестных значений исследуемого показателя на основе разработанной модели и построение доверительных границ.

Определение теоретических (расчётных) уровней ŷ_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются (где a₀, a₁ – параметры уравнения; t – моменты времени, для которых были получены исходные и соответствующие теоретические уровни ряда динамики):

Показательная функция .

Гиперболическая функция .

Выравнивание по прямой используется в тех случаях, когда в исходном ряду динамики абсолютные цепные приросты практически постоянны, т. е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (равномерное развитие).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т. е. когда цепные коэффициенты роста и прироста практически постоянны либо имеет место устойчивость в изменении относительных показателей роста.

Выравнивание по гиперболе используется в том случае, если обнаружено замедленное снижение (рост) уровней ряда к концу периода.

Выравнивание по параболической функции используется, если уровни ряда динамики изменяются с постоянными темпами прироста (равноускоренное или равнозамедленное развитие).

Функция	Формула	Рекомендации
Линейная		используется в том случае, если первые разности уровней (абсолютные приросты) бо­лее или менее постоянны
Парабола второго порядка		используется в том случае, если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны
Показательная		используется в том случае, если цепные коэффициенты роста примерно постоянны
Гипербола		используется в том случае, если обнаружено замедленное снижение (рост) уровней ряда, которые по логике не могут снизиться до нуля (превысить какое-либо значение)

Для линейной зависимости параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а₁ – сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а₁ можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Расчёт параметров функции обычно производится на основе метода наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в том, что сумма квадратов отклонений теоретических уровней от эмпирических была бы минимальна:

Если вместо подставить (или соответствующее выражение для других математических функций), получим:

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определённых достигает минимума.

Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т. е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным, найдём частные производные:

После преобразований получаем следующую систему нормальных уравнений:

где: -фактические (эмпирические) уровни ряда;

-время (порядковый номер периода или момента времени).

n — число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Решая эту систему уравнений, получаем следующие значения параметров:

Эта система и, соответственно, расчёт параметров и упрощаются, если отсчёт времени ведётся от середины ряда. Например, при нечётном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за ноль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т. д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т. д. При чётном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т. д. В этом случае вместо абсолютного времени выбирается условное время таким образом, чтобы , то система нормальных уравнений принимает вид:

Отсюда выражения для определения параметров уравнения упрощаются:

;

Если расчёты выполнены правильно, то

Для выравнивания ряда линейную трендовую модель – уравнение прямой ŷ_t=a₀ + a₁·t. n = 10. Расчёт уравнения регрессии выполним в табличной форме.

S y =153,4; S y·t = 6,8; S t 2 = 330.

= 15,34; = 0,021.

Расчёт уравнения регрессии

Год	y	t	t 2	y·t	ŷt	yi – ŷt	(yi– ŷt) 2
1	2	3	4	5	6	7	8
1991	15,4	-9	81	-138,6	15,15	0,25	0,0625
1992	14,0	-7	49	-98,0	15,19	-1,19	1,4161
1993	17,6	-5	25	-88,0	15,23	2,37	5,6169
1994	15,4	-3	9	-46,2	15,28	0,12	0,0144
1995	10,9	-1	1	-10,9	15,32	-4,42	19,5364
1996	17,5	1	1	17,5	15,36	2,14	4,5796
1997	15,0	3	9	45,0	15,40	-0,40	0,0160
1998	18,5	5	25	92,5	15,45	3,05	9,3025
1999	14,2	7	49	99,4	15,49	-1,29	1,6641
2000	14,9	9	81	134,1	15,53	-0,63	0,3969
Итого	153,4	0	330	6,8	153,4	0	42,6050

Уравнение прямой будет иметь вид:

Подставляя в данное уравнение последовательно значения, находим выравненные уровни ŷ_t (гр. 6).

Проверим расчёты: S y = S ŷ_t = 153,4.

Следовательно, значения уровней выравненного ряда найдены верно.

Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1991 по 2000 г. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на 0,021 ц/га в год.

Тенденция роста урожайности зерновых культур в изучаемом периоде отчётливо проявляется в результате построения выравненной прямой.

Тренд показывает воздействие систематических факторов на уровень ряда динамики. Воздействие остаточных факторов предопределяет колеблемость уровней ряда около тренда.

Показатели колеблемости (устойчивости) уровней ряда динамики:

1). Размах колеблемости средних уровней ряда определяется как разность между средним уровнем за периоды выше тренда и средним уровнем за периоды ниже тренда.

2). Индекс устойчивости уровней динамического ряда определяется как отношение средней уровня выше тренда к средней уровня ниже тренда. Чем ближе к единице отношение, тем меньше колеблемость, а соответственно выше устойчивость.

3). Стандартизированная ошибка аппроксимацииопределяется как среднее квадратическое отклонение исходных уровней ряда от тренда:

где k — число параметров тренда.

4). Коэффициент колеблемости отражает меру интенсивности колебательного процесса:

На основе опыта мас­сового измерения колебании по разным социально-экономическим показателям можно выделить следующие интервалы коэффициента колеблемости:

при V(t) 0,4 — как очень сильную.

Система показателей колеблемости должна быть дополнена показателями устойчивости как свойства, противоположного колеблемости.

Коэффициентом устойчивости можно назвать вели­чину 1-V(t), т. е. дополнение коэффициента колебле­мости (в той или иной его форме) до единицы, до 100%.

Вероятность со­бытия, состоящего в том, что отклонение от средней ве­личины (а в изучаемом вопросе от тренда) не прев­зойдёт одного среднего квадратического отклонения, не достаточно близка к единице. При нормальном распределении отклонений эта вероятность составляет 0,68.

Заключительный этап построения тренда – прогнозирование уровней ряда динамики. Прогнозирование – процесс определения возможных в будущем значений экономических показателей на основании уже известных.

Различают прогнозы по периоду упреждения: оперативные (до 1 мес.); краткосрочные (до 1 года); среднесрочные (1 – 5 лет); долгосрочные (более 5 лет).

Для получения прогнозных показателей подставляют в уравнение тренда номера прогнозных периодов (моментов времени). Полученный прогноз называют точечным.

1). Интерполяция – нахождение по имеющимся данным за определённый период времени некоторых недостающих значений уровня ряда внутри этого периода.

2). Экстраполяция – нахождение значений уровней ряда за пределами анализируемого периода, продление наблюдавшейся в прошлом тенденции в будущее.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно основываться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменений уровней ряда во времени, сохранятся в будущем. Продолжая тренд, можно предсказать дальнейшее развитие событий.

Методы экстраполяции тенденций:

— упрощенные приёмы, основанные на средних показателях динамики (средние темпы роста, прироста);

— аналитические методы (метод наименьших квадратов, тренды, т. е. математические функции);

— адаптивные методы, учитывающие степень устаревания данных (методы скользящих и экспоненциальных средних, методы авторегрессии).

Любой прогноз не является точным в силу того, что любая модель является всего лишь приближением действительности, а также в силу того, что при расчёте точечного прогноза не учитывается колеблемость признака. Колебаниями уровней динамического ряда следует называть их отклонения от тренда, выражающего тенденцию изменений уровней. Колебания – это процесс, протекающий во времени.

Неопределённость прогноза уровня отдельного периода складывается из двух элементов: ошибки линии тренда для прогнозируемого периода и колебаний уровня около тренда.

Точечный прогноз необходимо дополнять доверительными интервалами (границами) прогноза.

Колеблемость отдельных уровней относительно линии тренда измеряется среднеквадратическим отклонением . В расчёт доверительной ошибки прогноза следует взять ожидаемое значение показателя колеблемости на прогнозируемый период.

Границы доверительного интервала тренда определяются по формуле:

,

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда;

– коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы k=n-1;

– ошибка аппроксимации (среднее квадратическое отклонение от тренда).

Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой:

.

Ошибка аппроксимации определяется по следующей формуле:

,

где и – соответственно фактические и теоретические (расчётные) значения уровней ряда динамики;

n – число уровней ряда;

k – число параметров в уравнении тренда.

Чем больше этот показатель, тем шире интервал прогноза при одной и той же степени вероятности.

Ошибка прогноза больше ошибки тренда на поправочный коэффициент Q, учитывающий период упреждения l. Величина этого коэффициента зависит от функции тренда. Для линейной функции он рассчитывается по формуле:

Поправочный коэффициент зависит от длины динамического ряда n и от периода упреждения l. Увеличение длины динамического ряда уменьшает коэффициент, а увеличение периода упреждения увеличивает его.

Тогда ошибка прогноза составляет:

Таким образом, чем больше период упреждения, тем шире интервал прогноза, ибо величина предельной ошибки прогноза возрастает пропорционально росту поправочного коэффициента.

Доверительный интервал прогноза принимает вид:

или

Условия, повышающие точность прогноза по методу экстраполяции:

1). Динамический ряд должен быть достаточно длинный.

2). Уровни ряда меняются медленно и плавно.

3). Неизменность условий формирования уровней ряда.

4). Более поздние данные имеют большую ценность.

Имеются следующие данные о среднесуточной выплавке чугуна по региону в первой декаде месяца отчётного года (тыс. т.):

Дни	Выплавка чугуна	Дни	Выплавка чугуна
1	30,3	6	35,3
2	31,5	7	35,4
3	33,0	8	35,1
4	31,8	9	37,0
5	33,1	10	36,8

Произвести выравнивание динамического ряда, используя метод аналитического выравнивания. Сделать прогноз выплавки чугуна на 12 число месяца отчётного года.

Аналитическое выравнивание будем проводить по линейной функции ŷ_t=a₀ + a₁·t. Периоды времени выберем таким образом, чтобы .

Вспомогательные расчёты представим в таблице:

Дни	Выплавка чугуна, yi, тыс. т.
1	30,3	–9	81	–272,7
2	31,5	–7	49	–220,5
3	33,0	–5	25	–165,0
4	31,8	–3	9	–95,4
5	33,1	–1	1	–33,1
6	35,3	+1	1	35,3
7	35,4	+3	9	106,2
8	35,1	+5	25	175,5
9	37,0	+7	49	259,0
10	36,8	+9	81	331,2
Итого	339,3	0	330	120,5

Находим параметры уравнения прямой:

Тогда уравнение тренда принимает вид:

Подставляя в это уравнение тренда значения t, получаем теоретические уровни выпуска чугуна:

Дни	Выплавка чугуна, yi, тыс. т.
1	30,3	30,6	–0,3	0,09
2	31,5	31,4	0,1	0,01
3	33,0	32,1	0,9	0,81
4	31,8	32,8	–1,0	1,00
5	33,1	33,6	–0,5	0,25
6	35,3	34,3	1,0	1,00
7	35,4	35,0	0,4	0,16
8	35,1	35,8	–0,7	0,49
9	37,0	36,5	0,5	0,25
10	36,8	37,2	–0,4	0,16
Итого	339,3	339,3	0	4,22

Колеблемость фактических уровней ряда динамики относительно линии тренда измеряется среднеквадратическим отклонением , являющимся ошибкой аппроксимации:

Средняя выплавка чугуна за декаду:

Коэффициент колеблемости фактических уровней ряда относительно линии тренда:

Колеблемость очень слабая.

Сделаем прогноз выплавки чугуна на 12-е число методом экстраполяции по найденному уравнению тренда. Так как t₁₂=+13, то получаем:

Для оценки точности сделанного прогноза следует учитывать ошибку аппроксимации тренда и поправочный коэффициент Q, зависящий от длины динамического ряда n и периода прогнозирования l. В данной задаче n=10 дней, а l=2 (12 день – 10 день).

Для линейной функции поправочный коэффициент Q вычисляется по формуле:

Тогда ошибка прогноза составляет:

Доверительный интервал прогноза имеет вид:

где – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы k=n –1.

Для и k=n –1= 10 – 1= 9 значение = 2,262.

Теперь определяем границы доверительного интервала прогноза:

Таким образом, с вероятностью 95% можно прогнозировать, что объём выплавки чугуна 12 числа месяца будет находиться в пределах от 36,6 до 40,8 тыс. тонн.

Источник