Чем измеряют градусы угла
Измерение углов
Измерить угол — значит найти его величину. Величина угла показывает, сколько раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в данном углу.
Измерение углов транспортиром
Для измерения углов используют специальный прибор — транспортир:
У транспортира две шкалы — внутренняя и внешняя. Начало отсчёта у внутренней и у внешней шкал располагается с разных сторон. Чтобы получить правильный результат измерения, отсчёт градусов должен начинаться с правильной стороны.
Измерение углов производится следующим образом: транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах:
Говорят: угол BOC равен 60 градусов, угол MON равен 120 градусов и пишут: ∠BOC = 60°, ∠MON = 120°.
Свойства измерения углов
Если луч делит данный угол на две части (на два угла), то величина данного угла равна сумме величин двух полученных углов.
Рассмотрим угол AOB:
Луч OD делит его на два угла: ∠AOD и ∠DOB. Таким образом, ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.
Развёрнутый угол равен 180°.
Любой угол имеет определённую величину, большую нуля.
Приборы и инструменты для измерения углов
В разное время каждый из нас знакомится с геометрическими, географическими и геодезическими инструментами для измерения углов. Нахождение углов осуществляется при выполнении полевых геодезических, маркшейдерских, изыскательских работ и камеральной обработке измерений.
Измерения углов на плоскости
Наверное, самым первым знакомством из так называемых камеральных инструментов у каждого из нас было знакомство с транспортиром. На профессиональном уровне металлический геодезический транспортир с поперечным масштабом использовался в маркшейдерских отделах шахт и карьеров при выполнении камеральных, проектных и подготовительных работ. С его помощью графическим способом определяют горизонтальные углы и откладывают дирекционные углы при проектировании горных выработок, подготовительных работах для задания им направления на планшетах и планах.
Следующим, применяемым в камеральных условиях геодезическим инструментом можно считать тахеограф. Его используют при графическом оформлении результатов тахеометрической съемки. Он представляет единую конструкцию из круга с градусной шкалой и линейки. С его помощью по дуге вдоль конструкции круга отмечаются значения горизонтальных углов съемочных точек, перенесенных из журнала полевых работ. А расстояния до точек съемки откладывают по линейке в соответствующем масштабе составления плана.
Пространственные измерения углов
Для получения пространственного положения точек местности и отображения их на плоскости в геодезии применяются способы измерения расстояний и углов между ними с помощью различных геодезических приборов.
Качественной характеристикой геодезических и маркшейдерских измерений считается точность их выполнения, которая зависит от многих факторов и аспектов. Одним из них являются средства измерения. Существует своеобразный инженерный подход для выбора соответствующего инструмента требуемой точности работ. Так что все приборы измеряющие углы можно разделить по точности исполнения измерений.
Буссоль и эклиметр
Эти два приспособления могут использоваться в одном виде работ, называемом буссольная съемка (ход). Она применяется в местности, где нет возможности применять теодолитные ходы, тахеометрические съемки. Особую ценность при съемках крутых, круто наклонных и наклонных горных выработок в рудниках имеет подвесная буссоль, используемая до настоящего времени.
Буссолью измеряют магнитные азимуты всех сторон хода, по разности которых можно определить горизонтальные углы. На планах графическим способом выстраивают линии буссольного хода с применением транспортира при откладывании азимутов (или горизонтальных углов) и с использованием поперечного масштаба и циркуля при построении длин линий хода. При прокладывании буссольного хода для получения вертикальных углов между точками используют подвесной эклиметр.
Он представляет собой металлический полукруг со шкалой и отвесом, крепящимся в его центре. При подвешивании полукруга на натянутые между точками хода шнуры берут отсчеты по отвесной линии, проходящей через шкалу эклиметра. Эти отсчеты соответствуют значениям вертикальных углов линий буссольного хода, которые необходимы для определения горизонтальных проложений этих сторон.
Угломеры
Следующим прибором, служащим для измерения углов, применяющимся в маркшейдерском производстве, безусловно, считается угломер горный. Этот инструмент используется для определения линии и формы очистного забоя в подземных горных выработках угольных шахт. Развитие и применение таких приборов проходило на протяжении практически всего советского периода страны, последний из них У-60 выпускался со специальными визирными марками.
Точность измерения углов такими приборами относительно не высокая, но вполне достаточная для тех работ, которые выполняются с их помощью. Зависит она в первую очередь от точности снятия отсчетов и цены деления механической части шкалы, а именно: отсчетного устройства лимба с дополнительными шкалами (нониус, верньер).
Теодолиты и тахеометры
Наиболее широко используемыми инструментами для измерения горизонтальных и вертикальных углов в современной геодезии и маркшейдерии являются теодолиты. Основным критерием, по которому разделяют теодолиты на разные типы, считается точность измерений. Из них можно выделить:
Числовые величины в маркировках современных теодолитов соответствуют значению, с девяноста пяти процентной вероятностью, среднеквадратической погрешности измерения угла.
Известно, что для определения пространственного положения точек используются измерения углов в вертикальной плоскости или как их называют вертикальных углов. Для этого в угломерах, теодолитах конструктивно устроен вертикальный круг измерений. В последние десятилетия технические усовершенствования и технологическое развитие сказалось и на новых устройствах теодолитов. Появились новые модификации и в зависимости от назначения этих устройств выделяют:
Инклинометры
Интересный прибор, связанный с измерительным процессом определения пространственного положения в точках недоступных для измерений другими возможными способами. С его помощью определяют угол наклона (вертикальный угол) и азимут линии в заданном направлении в конкретной точке (точки съемки), например при бурении скважин.
Принципы действия в настоящее время в таких приборах разнообразны. В основе использования простейшего устройства инклинометра ИК-2 стоят три чувствительных элемента, позволяющие определять пространственное положение:
И один элемент в этом приборе позволяет фиксировать азимут и угол наклона, называемый переключающим механизмом.
Не вдаваясь в технические особенности всевозможных видов инклинометров, они в любом случае состоят из двух частей:
Свое применение инклинометры находят в различных отраслях. Они используются при измерениях в глубинных скважинах во время геологической разведки месторождений полезных ископаемых. Были задействованы при установлении и определении положения «скользящей» опалубки на больших высотах при выполнении целого комплекса геодезического обслуживания во время возведения самого высотного небоскреба Бурдж Дубай высотой 828 метра. Так на первых ста пятидесяти шести этажах железобетонной качающейся конструкции башни для измерения ее пространственного положения было установлено восемь двухосевых электронных датчиков инклинометров Leica NIVEL 210. Эти датчики позволили выполнить измерения наклона в двух перпендикулярных осях с точностью 0,2 секунды.
Измерение углов
Андрей Андреев, Полина Ачева, Алексей Панов
«Квантик» №12, 2020
В школьной геометрии угол — это фигура, состоящая из двух лучей, выходящих из одной точки (рис. 1). Эта точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол разбивает плоскость на две части: на рисунке 2 они окрашены в зелёный и жёлтый цвет. Эти части называются плоскими углами.
Измерить угол можно обычным транспортиром, который размечен в градусах от 0° до 180° (рис. 3, слева).
Рис. 2 (слева). Два плоских угла — зелёный и жёлтый. Рис. 3. Транспортиры — полукруговой и круговой
Плоские углы удобно измерять круговым транспортиром, размеченным от 0° до 360° (рис. 3, справа). Конечно, для научных и технических измерений углов нужны более точные приборы: например, такие, как на рисунке 4. Слева там изображён один из астрономических инструментов Тихо Браге, с которым он проводил свои высокоточные наблюдения. Результаты этих наблюдений позволили Кеплеру вывести законы движения планет. Справа — современный электронный теодолит, используемый в геодезии.
Рис. 4. Секстант Тихо Браге и современный теодолит
А можно ли измерять углы, не применяя вообще никаких инструментов?
«Ручное измерение» углов. Об этом методе мы прочли в книге «Музыка сфер. Математика и астрономия», написанной Розой Марией Рос. Цитируем:
. Существует очень простой, хотя и не слишком точный, способ измерения углов вручную. Если мы вытянем руку перед собой, то растопыренная ладонь будет указывать интервал в 20°, кулак — 10°, большой палец — 2°, мизинец — 1°. Этот способ могут использовать и взрослые, и дети, так как размеры ладони человека увеличиваются пропорционально длине его руки.
Поясним сказанное. Пусть мы наблюдаем за двумя звёздами, расположенными на небе недалеко друг от друга. Направление взгляда на каждую из них задаёт луч. Угол между этими двумя лучами (с вершиной в глазу наблюдателя) мы и хотим измерить. Его величина называется угловым расстоянием между звёздами. Вытянем правую руку с растопыренной ладонью, как на рисунке 5 справа. Если кончик большого пальца закрывает одну звезду, а кончик мизинца — другую, угловое расстояние между звёздами можно оценить в 20°. Прикладывая ладони друг к другу, можно измерять углы до 40° (рис. 5, справа внизу).
Рис. 5. Ручное измерение углов
Задача 1. Звёздной ночью найдите на небе ковш Большой Медведицы (рис. 6) и «вручную» оцените угловое расстояние между звёздами Мерак и Дубхе.
Рис. 6. Ковш Большой Медведицы
Напомним: в направлении Мерак → Дубхе расположена Полярная звезда, указывающая путь на север.
Задача 2. Отыщите на небе Полярную звезду и найдите угловое расстояние между ней и звездой Дубхе.
Решив задачи, вы сможете проверить себя, так как известно, что расстояние Дубхе — Полярная звезда примерно в 5 раз больше расстояния Мерак — Дубхе.
Конечно, ручное измерение углов не позволяет добиться хорошей точности. Сейчас мы опишем бесприборный метод измерения углов, позволяющий проводить измерения со сколь угодно высокой точностью. Начнём с нескольких экспериментов.
Эксперименты с треугольниками: «60°» ≠ 60°. Мы купили несколько одинаковых треугольников, как на рисунке 7. Углы этого треугольника по стандарту должны быть равны 30°, 60° и 90°, но мы хотим проверить, так ли это на самом деле. Начнём со среднего по величине из этих углов, обозначив его α. Итак, верно ли, что α = 60°?
Рис. 8. Каждый треугольник получается из соседнего поворотом на угол α, см. видео
Эксперимент № 1: поворачиваем треугольники. Выложим на плоскость один за другим шесть треугольников, как на рисунке 8: каждый получен из соседнего поворотом на угол α.
Видно, что первый и последний треугольники не сомкнулись, и это означает, что в сумме шесть одинаковых углов α дают меньше 360°, то есть 6α 360°, откуда α > 360°/7. Объединим полученные два неравенства и запишем их в виде
Эксперимент № 2: переворачиваем треугольники. На рисунке 9 представлен другой способ выкладывания треугольников. Каждый треугольник получается из соседнего переворотом вокруг их общей стороны на 180°. Этот способ даёт такую же оценку измеряемого угла, но он будет удобнее для нас в дальнейшем.
Практический совет: чтобы треугольники не смещались при малейшем прикосновении, не укладывайте их на скользкую поверхность. На видео мы воспользовались оборотной стороной коврика для ванной: она сделана из материала, не скользящего даже по влажному гладкому полу ванной комнаты, и идеально подходит для наших экспериментов.
Уменьшаем число треугольников, увеличиваем точность измерения. Первое усовершенствование: будем использовать единственный экземпляр треугольника. Опять обозначим один из его углов через α. Нарисуем на плоскости луч и совместим вершину угла с вершиной луча, а одну из сторон угла направим вдоль луча, как на рисунке 7. Перевернём треугольник вокруг другой стороны угла (не лежащей на луче). Потом перевернём треугольник вокруг другой стороны угла, опять перевернём и т. д., пока максимально не приблизимся к нарисованному лучу. Так мы определим максимальное k, для которого kα 360°, то есть
Задача 4 (Г. Фельдман, Д. Баранов, XXXI Турнир городов). Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
В пункте б можно обойтись и без циркуля, если есть деревянный угольник с данным углом, о котором мы хотим выяснить, равен ли он 31°.
И напоследок — небольшой список увлекательных книг, в которых обсуждается измерение углов в астрономии и геометрии, с небольшими аннотациями.