Чем измеряют плоские углы

Плоский угол

Плоский у́гол — неограниченная геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (вершины угла).

Углом также называют фигуру образованную всеми точками плоскости, заключёнными между этими лучами (Вообще говоря, двум таким лучам соответствуют два угла, так как они делят плоскость на две части. Один из этих углов условно называют внутренним, а другой — внешним.

Иногда, для краткости, углом называют угловую меру.

Содержание

Угловая мера

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам.

В системе СИ принято использовать радианы.

В морской терминологии углы обозначаются румбами.

Углы на тригонометрической окружности

В математике в качестве начала отсчёта углов принято направление оси абсцисс (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления направо), и отсчитывается против часовой стрелки.

В географии в качестве начала отсчёта углов принято направление оси ординат (то есть для наблюдателя, расположенного в начале координат, — относительно направления север (вперёд)), и отсчитывается по часовой стрелке.

Типы углов

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Два вертикальных угла равны.

В зависимости от величины углы разделяются на:

Вариации и обобщения

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла: в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы, рассматривают углы, большие 360°, углы, равные 0°, и т. д. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.

Понятие угла обобщается также на различные объекты, рассматриваемые в стереометрии (двугранный угол, многогранный угол, телесный угол).

Кроме этого, рассматривается угол между гладкими кривыми в точке касания: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым.

Полезное

Смотреть что такое «Плоский угол» в других словарях:

плоский угол — 2.2 плоский угол: Угол, образованный двумя лучами (сторонами угла), выходящими из геометрического центра помещения (сооружения). Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

плоский угол — plokščiasis kampas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Kampas tarp dviejų viename taške susikertančių pustiesių, išreiškiamas apskritimo (su centru tame taške) apimamojo lanko ilgio ir spindulio dalmeniu. Matavimo vienetas … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

плоский угол — plokščiasis kampas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. plane angle vok. ebener Winkel, m rus. плоский угол, m pranc. angle plan, m … Fizikos terminų žodynas

ПЛОСКИЙ УГОЛ — см. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

плоский угол зрения ФЭПП — Угол в нормальной к фоточувствительному элементу плоскости между направлениями падения параллельного пучка излучения, при которых напряжение или ток фотосигнала ФЭПП уменьшается до заданного уровня Обозначение 2ß [ГОСТ 21934 83] Тематики… … Справочник технического переводчика

плоский угол охвата оптической системы — Плоский угол в продольном (через ось) сечении, соответствующий телесному углу охвата оптической системы … Политехнический терминологический толковый словарь

Плоский угол зрения ФЭПП — 89. Плоский угол зрения ФЭПП D. Gesichtsfeldwinkel E. Angular field of view F. Angle d ouverture 2b Угол в нормальной к фоточувствительному элементу плоскости между направлениями падения параллельного пучка излучения, при которых напряжение или… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ПЛОСКИЙ — ПЛОСКИЙ, ровный, как бы сплющенный, придавленный; лежащий пластом, по уровню; в чем нет ни горбов, ни ям; невысокий, неглубокий, невозвышенный и неуглубленный. Плоская земля, место, равнина, ровная поверхность. Плоская кровля, вовсе по уровню,… … Толковый словарь Даля

угол излучения полупроводникового излучателя — угол излучения е Плоский угол, содержащий оптическую ось полупроводникового излучателя и образованный направлениями, в которых сила излучения больше или равна половине ее максимального значения. [ГОСТ 27299 87] Тематики полупроводниковые приборы… … Справочник технического переводчика

угол излучения знакосинтезирующего индикатора — угол излучения (знакосинтезирующего индикатора) θ Плоский угол в вертикальной или горизонтальной плоскости, содержащей оптическую ось активного знакосинтезирующего индикатора и образованный направлениями, в которых сила излучения больше или … Справочник технического переводчика

Источник

Приборы и инструменты для измерения углов

В разное время каждый из нас знакомится с геометрическими, географическими и геодезическими инструментами для измерения углов. Нахождение углов осуществляется при выполнении полевых геодезических, маркшейдерских, изыскательских работ и камеральной обработке измерений.

Измерения углов на плоскости

Наверное, самым первым знакомством из так называемых камеральных инструментов у каждого из нас было знакомство с транспортиром. На профессиональном уровне металлический геодезический транспортир с поперечным масштабом использовался в маркшейдерских отделах шахт и карьеров при выполнении камеральных, проектных и подготовительных работ. С его помощью графическим способом определяют горизонтальные углы и откладывают дирекционные углы при проектировании горных выработок, подготовительных работах для задания им направления на планшетах и планах.

Следующим, применяемым в камеральных условиях геодезическим инструментом можно считать тахеограф. Его используют при графическом оформлении результатов тахеометрической съемки. Он представляет единую конструкцию из круга с градусной шкалой и линейки. С его помощью по дуге вдоль конструкции круга отмечаются значения горизонтальных углов съемочных точек, перенесенных из журнала полевых работ. А расстояния до точек съемки откладывают по линейке в соответствующем масштабе составления плана.

Пространственные измерения углов

Для получения пространственного положения точек местности и отображения их на плоскости в геодезии применяются способы измерения расстояний и углов между ними с помощью различных геодезических приборов.

Качественной характеристикой геодезических и маркшейдерских измерений считается точность их выполнения, которая зависит от многих факторов и аспектов. Одним из них являются средства измерения. Существует своеобразный инженерный подход для выбора соответствующего инструмента требуемой точности работ. Так что все приборы измеряющие углы можно разделить по точности исполнения измерений.

Буссоль и эклиметр

Эти два приспособления могут использоваться в одном виде работ, называемом буссольная съемка (ход). Она применяется в местности, где нет возможности применять теодолитные ходы, тахеометрические съемки. Особую ценность при съемках крутых, круто наклонных и наклонных горных выработок в рудниках имеет подвесная буссоль, используемая до настоящего времени.

Буссолью измеряют магнитные азимуты всех сторон хода, по разности которых можно определить горизонтальные углы. На планах графическим способом выстраивают линии буссольного хода с применением транспортира при откладывании азимутов (или горизонтальных углов) и с использованием поперечного масштаба и циркуля при построении длин линий хода. При прокладывании буссольного хода для получения вертикальных углов между точками используют подвесной эклиметр.

Он представляет собой металлический полукруг со шкалой и отвесом, крепящимся в его центре. При подвешивании полукруга на натянутые между точками хода шнуры берут отсчеты по отвесной линии, проходящей через шкалу эклиметра. Эти отсчеты соответствуют значениям вертикальных углов линий буссольного хода, которые необходимы для определения горизонтальных проложений этих сторон.

Угломеры

Следующим прибором, служащим для измерения углов, применяющимся в маркшейдерском производстве, безусловно, считается угломер горный. Этот инструмент используется для определения линии и формы очистного забоя в подземных горных выработках угольных шахт. Развитие и применение таких приборов проходило на протяжении практически всего советского периода страны, последний из них У-60 выпускался со специальными визирными марками.

Точность измерения углов такими приборами относительно не высокая, но вполне достаточная для тех работ, которые выполняются с их помощью. Зависит она в первую очередь от точности снятия отсчетов и цены деления механической части шкалы, а именно: отсчетного устройства лимба с дополнительными шкалами (нониус, верньер).

Теодолиты и тахеометры

Наиболее широко используемыми инструментами для измерения горизонтальных и вертикальных углов в современной геодезии и маркшейдерии являются теодолиты. Основным критерием, по которому разделяют теодолиты на разные типы, считается точность измерений. Из них можно выделить:

Числовые величины в маркировках современных теодолитов соответствуют значению, с девяноста пяти процентной вероятностью, среднеквадратической погрешности измерения угла.

Известно, что для определения пространственного положения точек используются измерения углов в вертикальной плоскости или как их называют вертикальных углов. Для этого в угломерах, теодолитах конструктивно устроен вертикальный круг измерений. В последние десятилетия технические усовершенствования и технологическое развитие сказалось и на новых устройствах теодолитов. Появились новые модификации и в зависимости от назначения этих устройств выделяют:

Инклинометры

Интересный прибор, связанный с измерительным процессом определения пространственного положения в точках недоступных для измерений другими возможными способами. С его помощью определяют угол наклона (вертикальный угол) и азимут линии в заданном направлении в конкретной точке (точки съемки), например при бурении скважин.

Принципы действия в настоящее время в таких приборах разнообразны. В основе использования простейшего устройства инклинометра ИК-2 стоят три чувствительных элемента, позволяющие определять пространственное положение:

И один элемент в этом приборе позволяет фиксировать азимут и угол наклона, называемый переключающим механизмом.

Не вдаваясь в технические особенности всевозможных видов инклинометров, они в любом случае состоят из двух частей:

Свое применение инклинометры находят в различных отраслях. Они используются при измерениях в глубинных скважинах во время геологической разведки месторождений полезных ископаемых. Были задействованы при установлении и определении положения «скользящей» опалубки на больших высотах при выполнении целого комплекса геодезического обслуживания во время возведения самого высотного небоскреба Бурдж Дубай высотой 828 метра. Так на первых ста пятидесяти шести этажах железобетонной качающейся конструкции башни для измерения ее пространственного положения было установлено восемь двухосевых электронных датчиков инклинометров Leica NIVEL 210. Эти датчики позволили выполнить измерения наклона в двух перпендикулярных осях с точностью 0,2 секунды.

Источник

Угол. Измерение углов.

Измерение углов сводится к измерению соответствующих им дуг следующим образом. За единицу углов принимают угол, составляющий 1/90 часть прямого угла. Эту единицу называют угловым градусом.

За единицу дуг одинакового радиуса принимают такую дугу того же радиуса, которая соответствует центральному углу, равному угловому градусу. Такая дуга называется дуговым градусом.

Так как прямому центральному углу соответствует 1/4 окружности, то угловому градусу соответствует 1/90 четверти окружности. Значит, дуговой градус составляет 1/360 целой окружности.

Пусть требуется измерить угол AOB, то есть найти отношение этого угла к угловому градусу MNP.Для этого опишем из вершин углов дуги СD и EF произвольным, но одинаковым радиусом.

Следовательно, эту пропорцию можно выразить так: число, измеряющее угол в угловых градусах, равно числу, измеряющему соответствующую дугу в дуговых градусах.

Для краткости эту фразу выражают обыкновенно так: Угол измеряется соответствующей ему дугой.

Градусы угла или дуги подразделяются на 60 равных частей, называемых минутами (угловыми или дуговыми).

Минуту разделяют на 60 равных частей, называемых секундами (угловыми или дуговыми).

Из сказанного выше следует, что в угле содержится столько угловых градусов, минут и секунд, сколько в соответствующей ему дуге заключается дуговых градусов, минут и секунд.

Если, например, в дуге СD содержится 40 град. 25 мин. и 13,5 секунды (дуговых), то и в угле AOB заключается 40 град. 25 мин. 13,5 сек. (угловых). Это выражают сокращенно так:

обозначая значками (°), (‘), (‘’) соответственно градусы, минуты и секунды.

Так как прямой угол содержит 90°, то :

1. сумма углов всякого треугольника равна 180 °;

2. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

3. каждый угол равностороннего треугольника равен 60°;

Чтобы измерить угол AOB, накладывают на него прибор так, чтобы центр полукруга совпал с вершиной угла, а радиусом OM совпал со стороной AO. Тогда число градусов, содержащееся в дуге PN, покажет величину угла AOB. При помощи транспортира можно также начертить угол, содержащий данное число градусов.

Конечно, на таком приборе нет возможности отсчитывать не только секунды, но и минуты. Измерение и построение можно выполнить только приближенно.

Источник

Математика для блондинок

Страницы

понедельник, 11 июля 2016 г.

Измерение плоских углов

Плоские углы необходимо разделять на тригонометрические углы и углы вращения.

В стереометрии «углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией (ортогональной) на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается (курсив мой – Н.Г.Хижняк) равным 90°, а между параллельными прямой и плоскостью – равным 0°». [1, стр. 308].

Как следует из определения, угол между прямой и плоскостью не может быть больше 90°. Углы больше 90° относятся к углам вращения [2, стр. 81], а в стереометрии не принято при помощи углов описывать вращение прямой вокруг точки её пересечения с плоскостью.

Если прямая параллельна плоскости (или принадлежит плоскости), то считается, что величина угла имеет нулевое значение. Фактически отсутствует вершина угла – точка пересечения прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекция линии превращается в точку, которая совпадает с точкой пересечения прямой и плоскости. Фактически отсутствует второй луч, образующий угол. В этом случае угол считается прямым.

По аналогии со стереометрией, плоский угол между двумя прямыми (лучами, отрезками) должен измеряться как угол между точкой на одной прямой и её проекцией на другой прямой с вершиной угла в точке пересечения этих прямых.

Данное правило позволяет разделить плоские углы на тригонометрические углы (величиной от 0° до 90°) и углы вращения. Принципиальное отличие между этими углами заключается в количестве объектов на двухмерной плоскости, образующих угол. Тригонометрический угол измеряется между двумя разными объектами, угол вращения измеряется между двумя положениями (начальным и конечным) одного объекта. Для тригонометрических углов фактор времени отсутствует, для углов вращения фактор времени обязателен: первоначальное положение, время вращения, конечное положение.

При измерении углов между двумя параллельными прямыми угол определить невозможно, поскольку отсутствует точка пересечения прямых. При измерении угла между двумя перпендикулярными прямыми угол так же невозможно определить, поскольку проекция точки совпадает с точкой пересечения этих прямых.

Вывод: нулевой и прямой углы не могут иметь точно такие же математические свойства, как остальные углы. Подробнее эти различия будут описаны при рассмотрении тригонометрических функций.

Тригонометрический угол по своим свойствам аналогичен расстоянию между двумя точками, угол вращения аналогичен пройденному пути между этими же точками. Если движение осуществляется по прямой линии, тогда пройденный путь равен расстоянию между начальной и конечной точками пути. Если вращение осуществляется на угол до 90° градусов, тогда угол вращения равен тригонометрическому углу. Угол вращения не может быть меньше тригонометрического угла, пройденный путь не может быть меньше расстояния между точками начала и конца этого пути. Расстояние между двумя точками может быть в числовом диапазоне от нуля до бесконечности. Соответствие между углами от 0° до 90° и числами от нуля до бесконечности устанавливается тригонометрической функцией тангенса этих углов.

Пройденный путь так же выражается в числовом диапазоне от нуля до бесконечности, даже если расстояние между начальной и конечной точкой пройденного пути равно нулю. Точно так же угол вращения может достигать бесконечно больших значений, при этом тригонометрический угол между началом и окончанием вращения может быть равным нулю. В этом случае можно установить прямую аналогию между числом и величиной угла, как это принято в математическом анализе.

Для вычисления расстояния между начальной и конечной точками пройденного пути применяются различные математические инструменты, например, теорема Пифагора. Для определения угла между началом и окончанием вращения применяются формулы приведения углов.

Заключение: плоские углы по своим свойствам аналогичны расстояниям на плоскости.

1. Забелышинская М.Я. «Математика. Учебно-практический справочник» Харьков, Ранок, 2010 г.
2. Хижняк Н.Г. «Основы математики», Доклады Независимых Авторов, вып. 19, 2011 г.

Источник

Секунда (единица измерения плоских углов)

Градус, минута, секунда — общепринятые единицы измерения плоских углов и земного шара.

Содержание

Градус

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один оборот равен 360°. В прямом углу, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Деление окружности на 360° придумали аккады (вавилоняне) — соответственно делению года в вавилонском календаре на 360 дней.

Минуты и секунды

В измерении углов традиционно используется шестидесятеричная система счисления. По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (′), а минуту — на 60 секунд (″).

Угловая секунда

Использование

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается с ). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1 c = 15″. [3]

Дольные единицы

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд. [6]

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой (VLBI), астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP). [7] [8]

Источник