Чем музыка связана с математикой
Чем музыка связана с математикой
Чем поможет математика музыканту?
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Я задал себе вопрос: «Какая связь может быть между математикой, мудрой царицей всех наук, и музыкой? Как могут взаимодействовать такие совершенно несовместимые, но мои самые любимые предметы?» и решил найти ответы на эти вопросы и доказать, что связь между музыкой и математикой существует.
На этот же вопрос я попросила ответить и своих одноклассников. Результаты опроса показали:
40% считают, что существует;
50% считают, что не существует;
10% не знают ответа на этот вопрос.
Гипотеза: Если связь между музыкой и математикой существует, то занятия музыкой помогают изучению математики.
Цель исследования: доказать, что связь между музыкой и математикой существует.
Для достижения цели определил задачи:
Проанализировать литературу по теме исследования;
Выяснить, были ли в истории попытки связать математику с музыкой;
Провести сравнительный анализ между музыкой и математикой;
Провести исследование связи цифр и музыки;
Переложить числа (даты рождения одноклассников) на музыку и установить связь между звуками и способностями личности
Актуальность исследования состоит в том, что музыка помогает изучению математики и, наоборот, математика помогает изучать музыку. Эти две науки тесным образом связаны друг с другом. Мои одноклассники, изучая музыку, невольно преуспевают в математике в том числе и я.
Объект исследования: музыка и математика.
Методы исследования: наблюдения, вычисления.
2.1. Обзор литературы.
Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков, а решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел.
Подбирая информацию и интересные факты по этому вопросу, я узнала, что оказывается, люди уже очень давно задумывались о связи музыки и математики.
Древнегреческий математик-философ Пифагор (Приложение 1), живший в VI веке до н. э., был первым, кто изучил и установил связь между музыкой и математикой:
создал учение о звуке,
используя особый инструмент – монохорд-однострун, (Приложение 2) Пифагор изучал интервалы, открывал математические соотношения
между отдельными звуками. Монохорд – один из первых шагов на пути к рождению фортепиано. Ему было суждено сыграть в истории музыки огромную роль. Именно он является предком нынешнего фортепиано. Сначала к его единственной струне добавили еще одну, а затем стали натягивать все большее число струн. Позднее играли на нескольких струнах. Появился инструмент цилибалы, на Руси – гусли. В средние века (XIV в.) знали и пользовались органом. Вот и пришла к кому-то в голову замечательная мысль: приспособить клавиатуру к многострунному монохорду. Так появились клавикорд, клавесин, а затем фортепиано.
Музыка для Пифагора стала даже не средством вдохновения, а предметом научных изысканий, и именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: «Все есть число».
Уже тогда, в древнем мире, они считали, что музыка без математики не существует. Путем долгих, сложных исследований, с помощью математических правил и законов древним ученым все-таки удалось доказать связь музыки с математикой.
Прошло почти две с половиной тысячи лет со дня смерти Пифагора, но и сейчас время от времени в газетах и журналах появляются сообщения об открытии новых числовых чудес и их связи с музыкой.
Из изученной литературы, я убедилась, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом. Исходя из этого, я попытался найти общие точки соприкосновения (совпадения) точной науки математики и прекрасного, изящного искусства – музы.
2.2. Связь музыки и математики
Математика (греч.-знание, наука). Математика – царица всех наук, символ мудрости. Красота математики является одним из связующих звеньев науки и искусства.
Музыка (греч.-искусство муз), значит искусство, отражающее действительность в звуковых, художественных образах.
Из знаний, полученных на уроках по математике и занятий по музыке, я выявила следующие совпадения:
Второе совпадение – это ритм. Ритм важнейший элемент в музыке. У каждого музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.
Например, числа кратные 3 (трём) обладают следующим ритмом: Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8…. и т.д. Получается красивый, правильный, равномерный ритм, звучащий как музыкальный размер 3/4, который соответствует вальсу.
Если посчитать числа, кратные двум 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д. то увидим, что мы пришли к ритму, звучащему, как музыкальный размер 2/4. Таким образом, числа обладают ритмом.
Третье совпадение – наличие в музыке и математике противоположностей.
Музыка и математика
Музыканты прекрасно понимают какая связь существует между музыкой и математикой. Но человеку непосвященному, может показаться, что это совсем разные вещи. Музыка – творчество, а математика – наука.
Тем не менее, общего у них довольно много. Наша задача — разобраться в этом и выявить все точки соприкосновения музыки и математики.
Звук — музыка или физика
Музыка — это в первую очередь звук. У звука есть ряд свойств, которые мы сейчас рассмотрим:
В музыкальном мире, все эти свойства называются иначе:
Вы уже могли догадаться, что три составляющие относятся больше к физике, а одно — к математике. Давайте рассмотрим эти свойства по очереди.
Частота звука или звуковысотность
Представим себе гитару: самая толстая струна натянута не сильно, щипая ее звук получается низким, похожим на жужжание шмеля. А если мы щипнем самую тонкую струну, которая натянута гораздо сильнее, звук получится высоким, похожим на писк комара. Чем чаще колеблется тело издающее звук, тем выше будет этот звук. В данном случае телом можно назвать любой предмет, издающий звук – будь то струна балалайки или мембрана барабана.
Высота звука в физике называется частотой и измеряется в герцах (количество колебаний в секунду). Частота звука в музыке называется звуковысотностью. Ни один музыкант на свете не поймет, какую высоту звука передает нота, если она не располагается на нотном стане. Подробнее о том, как на пяти линейках нотного стана уживаются звуки самой разной высоты, читайте здесь .
Любопытно: нас всегда заставляют думать, будто звук плоский, а его диаграмма выглядит вот так:
Однако науке уже давно известно, что звук — это волна. А это значит, что звук объёмен и представляет собой спираль, но не совсем такую, какой вы ее представили.
Английский ученый Роберт Гук еще в 17 веке доказал, что что высота звука определяется частотой колебаний, а также он был первым кто сделал интересный опыт:
Гук взял металлическую пластину, насыпал на нее муку и начал возбуждать пластину скрипичным смычком. Мука на пластине приняла форму напоминающую снежинку или орнамент.
В наше время проделать этот опыт гораздо проще: под пластину ставят мощный динамик, после чего меняют частоту звука. Результатом опыта являются кружевные узоры на песке, который находится на пластине:
Обертон или тембр
Очень интересным свойством звука является обертон.
Обертоны – призвуки, входящие в спектр музыкального звука. В переводе с немецкого языка, обертон означает «высокий тон» или «высокий звук». А откуда берется этот высокий звук, сейчас и узнаем.
Струна колеблется целиком, вы сами это видели на видео про гитару. Но оказывается, каждая часть струны тоже вибрирует и издает звук. Не такой громкий как основной тон, но вполне ощутимый.
Еще Пифагор определил принцип, по которому возникают обертоны. Он заключается в следующем:
Первый обертон возникает от вибрации половины звучащего тела – в нашем случае струны. То есть, если мы зажмем струну в том месте, где она делится пополам, то звук получится в два раза выше, чем звук полной струны. Это и есть звучание первого обертона. Но чтобы услышать его в чистом виде, нужно использовать специальный прием – флажолет.
Теперь поделим струну на 3 равные части. Одна треть струны даст нам второй обертон. Затем делим струну на 4 части, получаем третий обертон и так далее.
Вот как выглядит колебание струны: 1 – Целая струна; 2 — ее половина – первый обертон; 3 — третья часть – второй обертон и т.д.
Посмотрите, как с помощью флажолетов можно извлечь обертона:
Пифагор установил, что первый обертон звучит выше основного тона на одну октаву. Второй обертон звучит выше первого на квинту; третий – выше второго на кварту; четвертый выше третьего на большую терцию. Потом пойдут малые терции, затем большие и малые секунды. Вот как выглядит обертоновый ряд от ноты до:
Именно от набора и относительной громкости обертонов зависит тембр инструмента, голоса. Именно благодаря тембру, мы можем отличать звук флейты от звука арфы, звук рояля от звука трубы.
Еще обертоны называют гармониками. Гитаристы в своей игре часто используют гармоники как художественный элемент.
Есть и такие мастера, которые вплетают в свою игру флажолеты так умело, что не сразу понятно сколько инструментов звучит. Послушайте как искусно использует гармоники Jaco Pastorius играя на бас-гитаре:
Громкость – динамика
Громкость звука в физике зависит от амплитуды колебания тела. Вернемся к нашей гитаре.
Если мы ущипнем струну аккуратно, ее колебания будут слабыми, их мы почти не заметим, а звучать она будет тихо. Если же ущипнуть струну как следует или даже дернуть, то она начнет колебаться сильно, звучать громко и эти колебания вы можете увидеть невооруженным глазом. Однако, если воспользоваться стробоскопом, колебание струн наблюдать станет куда удобнее:
С помощью диаграммы можно увидеть участки где звук был тихим, а где громким:
Продолжительность звука – длительность
Физические свойства звука мы рассмотрели, теперь дело за математической составляющей.
Тут все просто. Звук или есть, или его нет. Похоже на двоичную систему счисления. Но в музыке все несколько иначе – одни ноты звучат долго, другие имеют среднюю продолжительность, а третьи звучат совсем коротко.
Звук передается не только по воздуху, но в воде и твердых веществах. Удивительно, но в твердых веществах звук распространяется быстрее, чем по воздуху.
Люди и сухопутные животные, слышат звук с помощью ушей. Барабанная перепонка в нашем ухе очень тонкая, она колеблется с частотой воздуха в окружающей среде. Перепонка передает вибрацию через мельчайшие косточки в орган, называемый средним ухом. Полученный из внешнего мира механический сигнал, в среднем ухе преобразуется в электрические импульсы и передается в мозг. Человек способен воспринимать звуки от 20 Гц до 16000 Гц, но с возрастом этот диапазон сужается. А вот рыбы, например, воспринимают звук боковой линией, которая передает сигналы во внутреннее ухо.
Что же общего у музыки и математики
Теперь мы знаем, что такое звук, знаем его природу и свойства. Так давайте порассуждаем, что общего у музыки (организованных по высоте и времени звуков) и математики.
Вклад Пифагора
Еще в Древней Греции математика и музыка шли бок о бок и считались сестрами. Со времен Пифагора (570-490 гг. до н.э.) наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, вместе с арифметикой, геометрией и астрономией.
С помощью математической формулы, Пифагор выяснил, какие пропорции существуют между звуками и какие из них лучше сочетаются между собой. Также, он создал свой музыкальный строй – Пифагорейский строй.
Также, пифогорейцы вычислили «золотую пропорцию» — конкретное место в музыкальном произведении, где должна быть кульминация.
Вклад Баха
Иоганн Себастьян Бах (1685-1750) популяризировал Темперированный музыкальный строй .
До Баха музыканты использовали разные строи, но они были не совершенны. Некоторые интервалы звучали как диссонансы, а [urlspan]тональности
[/urlspan] с большим количеством знаков давали фальшивое звучание. И.С. Бах был первым, кто начал использовать Темперированный строй в своих произведениях. Этим музыкальным строем мы пользуемся до сих пор. Вся современная музыка написана именно в нем. Каждый интервал в этом строе имеет формулу. Однако в те времена не было такой техники, которая могла бы помочь настроить инструмент так точно. Но Баху это было и не нужно. Он обладал великолепным слухом и легко настраивал инструмент без формул и вспомогательных устройств.
Темп и длительности
Как в математике существует понятие скорости, так и в музыке темп, обозначает скорость музыкального движения. А длительности нот можно сравнить с математическим понятием целых чисел и дробей.
Композиторы математики
Множество композиторов в основе музыкальных произведений используют заранее математические формулы. Основоположником додекафонии Додекафо́ния — техника музыкальной композиции, использующей серии из двенадцати лишь между собой соотнесённых тонов Содержимое подсказки является Арнольд Шенберг. Также он считается основателем Нововенской школы устоявшееся название приверженцев Арнольда Шенберга Содержимое подсказки .
А сейчас, предлагаю послушать финал второго струнного квартета Шенберга. Начало атональной музыки связывают именно с ним.
Еще одним замечательным музыкантом-математиком является Том Лерер. Он занимался точными науками, но прославила его музыка. Большинство его песен связаны с наукой, преимущественно с математикой. В целом, песни Лерера носят сатирический характер, отличаются оригинальными и остроумными рифмами.
Одним из самых популярных произведений Тома Лерера является песня (речитатив) под названием «New Math». В ней автор, под музыку собственного сочинения занимается вычитанием 173 из 342 в десятичной и восьмеричной системах счисления.
Были и другие замечательные музыканты, которые плотно связаны с математикой. Среди них Филип Гласс, Ла Монте Янг, Стив Райх и Терри Райли.
Среди наших соотечественников хочется выделить Сергея Прокофьева. Он запомнился многим не только как выдающийся композитор, но и как отличный шахматист.
Прокофьев — автор музыки к фильму «Александр Невский». Режиссер фильма Сергей Эйзенштейн, обращался к композитору с просьбой, написать музыку ровно 2 минуты и 11 секунд. Прокофьев с легкостью выполнял требование.
Мне нравится статья 6
Заключение
Музыка и математика действительно тесно связаны. В этой статье я раскрыл только часть из них. Но и эта часть, надеюсь, была убедительной.
Еще больше интересного о музыке вы можете узнать из других статей. Буду рад видеть вас в моей группе вконтакте и на youTube канале.
Музыкальная математика за 13,5 минут (Алексей Савватеев)
Любопытное объяснение математических закономерностей в музыке популяризатором математики, доктором физико-математических наук, профессором МФТИ Алексеем Савватеевым. Для тех, кто любит текст — публикуем расшифровку с картинками.
Что такое музыка с точки зрения математики? Что такое «ля» или «ми»? То, как именно звуки образуются, хорошо понятно на гитаре.
Звук «ми» (свободное звучание 1-й струны), звук «ля» (1-я струна зажатая на 5 ладу). «Ля» — это 440 Гц. Что значит 440 Гц? Это 440 раз колеблется струна в секунду. Звук «ми» на 5 полутонов ниже, чем звук «ля» (зажатый на 5 ладу).
Еще на 7 полутонов ниже я получу снова «ми», т.е. октаву. Почему и свободное звучание первой струны и звучание струны, зажатой на 12 ладу, называется одинаковым словом «ми»?
Нам кажется, что играется одна и также нота. Дело в том, что длина струны этой точкой («ми» на 12 ладу) делится ровно пополам:
Это означает, что колебания этого остатка струны, по законам физики, будут в два раза более частые, чем колебания полной струны.
Каждый раз, когда я отступаю по струне, и зажимаю ее на следующем ладу (деление, обозначенное на грифе перпендикулярной чертой), звук поднимается на один полутон, как говорят музыканты.
Заметьте, что лады на грифе разной ширины. Они постепенно сужаются.Потому, что чтобы поднять частоту на один полутон, надо уменьшить длину струны в некоторое количество раз.
На что я намекаю, акцентируя внимание на том, что что-то «на» переводится во что-то «в»? Математики сказали бы, что есть единственная (в некоторых условиях) функция, где + переходит в х (умножить). И функция эта называется логарифм.
Это означает, что наши уши, укорачивание струны и поднятие звука в какое-то количество раз, воспринимают, как поднятие на один полутон. То есть каждый лад укорачивает струну в одно и тоже количество раз, а наши уши говорят, что мы поднимаемся на один полутон, доходя до ноты «ми» и получая октаву. Наши органы слуха устроены логарифмически.
Мы говорим, что «ми» и «ми» отличаются в два раза, это видно по звучанию. Верхняя дуга — колебание полное. Когда мы зажимаем ее посередине, струна начинает колебаться, как на графике посередине.
Почему звуки похожи? Дело в том, что вместе с основным колебанием струны, на самом деле происходит колебание той же самой струны, во всех частотах, где длина колебательного участка обратно пропорциональная частоте.
Соответственно, если длина уменьшается в целое количество раз, то можно услышать соответствующую обертонику. Соответствующий обертон реализуем данной струной. Если данная струна колеблется частично зафиксировавшись в этих двух точках (нижний график), то ее тон будет в три раза более высокий.
Увеличение частоты в два раза воспринимается слухом, как та же самая нота. Все обертоны, которые мы делим в несколько раз, т.е. любое деление половинного отрезка, является и автоматическим делением и большого отрезка. И только некоторые деления большого отрезка не укладываются в схеме деления половинного.
Если мы берем четные верхние звучания для длинной струны, то они будут верхними звучаниями и для струны, укороченной в два раза. И абсолютно любое укороченное звучание короткой струны, будет звучанием и для длинной. Потому мы и чувствуем, что все, что мы слышим совпадает в этих точках, и воспринимаем как одну ноту.
Еще интереснее, что есть ноты, идущие через несколько полутонов, и они воспринимаются ушами как созвучие, аккорд, что-то приятное для слуха, не режущее наш слух. Что это за ноты?
Если взять 7 полутонов, взять ноту «ля» и поднять звучание на 7 полутонов, до следующей «ми», то такие две ноты будут звучать хорошо.
Если отступить еще на 5 полутонов вверх, то будет уже более высокая «ля» следующей октавы. Почему-то этот интервал тоже звучит для нас приятно. Давайте в этом всем разберемся.
Поэтому увеличение на 1 полутон означает сокращение струны в х= 12 √2, или, что тоже самое, поднятие частоты звука, в 12 √2.
А при чем тут «ля» и «ми»? Почему 7 полутонов звучит мелодично? Давайте возведем степень:
Что в этом числе такого приятного, хорошего?
Когда-то в древности изобрели темперированные клавиры, точную запись музыки. На гитаре это очень хорошо видно, у фортепиано это тоже можно найти, оно внутри прячется, если заглянуть, можно увидеть струны.
Так вот, это число — очень близко к числу 3/2. Если вычислять на калькуляторе, буде очень большая точность. Это значит, что «ми» приблизительно выше, чем предыдущая «ля» в 1,5 раза. Т.е. подъем на 7 тонов эквивалентен тому, что мы поднимаемся на 3/2 раза, из этого получается, что у нас очень много верхних обертонов совпадает.
Потому что любое деление на целое число малого отрезка, будет делением на целое число всего отрезка. И, соответственно, деление исходного отреза на количество кусков, кратное трем, будет и делением малого отрезка (⅓), и ⅔ тоже. Когда мы оставили ⅔ от длины, т.е. подняли частоту в 3/2, это мы примерно поднялись на 7 полутонов, у нас будет много общих обертонов, это будет приятное созвучие.
Оставшиеся 4/3 — это как раз 5 оставшихся полутонов, 3/2 х 4/3 =2, как раз октава. Чему соответствует формула х71243. Значение очень близкое к 4/3, но не 100%, т.к. Это число является иррациональным, не записывается никакой дробью, его нельзя записать как целое число делить на целое число.
Я слушал, что в Индии есть инструмент (ситар), в котором на 19 частей делится октава, т.е. у них полутон = 1/19 октавы, 19х2.
И уже с огромной точностью х121932что означает, если на таком индийском инструменте отступить на 12 из 19 отрезков, то в этом созвучии будет больше совпадающих обертонов, и этом интервале звучит как бальзам на уши.
Про музыку и математику много чего интересного можно сказать. В частности, мажорным аккорд воспринимается, если к любой начальной ноте прибавить сначала 4 полутона, а потом 3, т.е. 0 — 4 — 3. А минорным, если в начале прибавлять 3, а потом 4, т.е. 0 — 3 — 4. Первая и последняя из трех нот аккорда, будет «одинаковая», она как раз отличается на 7 полутонов, а вот средний звук будет создавать наше восприятие созвучия, и настраивать на минорным или мажорный лад.
Казалось бы, музыка и математика, что может быть общего? А общего так много, что математики и музыканты часто общаются, более того математики легко понимают музыкантов, так сказать, схватывают с полутона.
Чем музыка связана с математикой
Музыка и математика
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Всем известен тот факт, что любое музыкальное произведение записывается по нотам. Если попробовать определенным образом переложить ноты на числа, будет ли наблюдаться в этом числовом ряду какая либо закономерность? Если такая связь есть, то можно предположить обратное: ряд чисел имеет свое музыкальное звучание. На сегодняшний день музыка и математика – родные сёстры, они созданы и помогают друг другу. Приучают к дисциплине, развивают эрудицию, творческие способности, внимание.
На данный момент мы выдвинули гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить как некую математическую модель. Предполагаю, что математическая модель музыки будет иметь определенные числовые закономерности.
Целью нашей работы является, доказательства того, что математика и
музыка тесно связаны.
Для достижения цели, мы поставили себе задачи:
Выяснить, были ли в истории попытки связать математику с музыкой.
Провести наши исследования по установлению связи между музыкой и математикой, рассмотрев несколько музыкальных произведений, взятых из разных направлений
Переложить числа (даты рождения друзей) на музыку и установить связь между звуками и способностями личности.
В ходе работы мы использовали следующие методы исследования: поисковый, сравнение, анализ, обобщение.
1.История исследования математики и музыки.
Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.
При знакомстве с музыкальной эстетикой средневековья необходимо иметь в виду, что в то время музыка понималась не как искусство, a как наука.
Известно, что музыка входила в состав семи «свободных искусств»,
делившихся на «trivium» (грамматика, риторика, логика) и «quadrivium»
(арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Характерно, что музыка
относилась именно к сфере математических знаний. Тем самым она
признавалась одной из математических дисциплин, одной из отраслей
математики. И как таковая она понималась, прежде всего, как наука о числах.
Одним из достижений Пифагора и его последователей математической теории музыки был разработанный ими «Пифагоров строй». Новая технология использовалась для настройки популярного в то время инструмента – лиры. Тем не менее, «Пифагоров строй» был несовершенен, как и древнегреческая арифметика. Расстояние между соседними звуками «Пифагорова строя» неодинаковые. Он – неравномерный. Чтобы сыграть мелодию, от какой- либо другой ноты, лиру каждый раз нужно было перенастраивать.
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
3. Если в качестве цены деления шкалы монохорда взять отрезок l, равный 1/12 длины струны монохорда l1, то вместе со всей струной монохорда длины 11 = 12l будут созвучны ее части длины l2 = 6l — звук на октаву выше (l2/l1 = 1/2), 13 = 91 — звук на квинту выше (l3/l1=2/3) и l4= 81 — звук на кварту выше (l4/l1=3/4). Это созвучие и определяющие его числа 6, 8, 9, 12 назывались тетрада (четверка).
Так же Архит пришёл к нескольким важнейшим математическим выводам, которые стали основой древнегреческой музыки:
квинта есть среднее гармоническое длин струн основного тона l1 и октавы l2, а кварта — среднее арифметическое l1 и l2. Интервал, дополняющий данный интервал до октавы, называется его обращением. Тон-интервал равен отношению квинты к кварте.
На уроках математики мы изучали обыкновенные дроби и действия над дробями. В музыкальной школе на уроках теории музыки мы тоже изучали дроби, но применительно к музыке.
При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.
Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.
В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть, никогда не пересекаются. Кроме того, с понятием последовательность в математике мы встречаемся очень часто. Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число или символ. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.
Музыка и интервалы
Поэтому, интервал имеет ступеневую (музыкальную) и тоновую (математическую) характеристику.
Определение тоновой (математической) величины интервала необходимо потому, что ступеневая (музыкальная) величина определяет его лишь приблизительно. Уже однородные интервалы между основными ступенями звукоряда не все одинаковы по числу заключенных в них тонов. Например, секунды до—ре, ре—ми, фа—соль, соль—ля, ля—си заключают в себе 1 целый тон; секунды же ми—фа и си—до—полутон (Приложение 2). Тоновая величина и зависящее от нее качество интервала определяются прилагательными: чистая, большая, малая, увеличенная, уменьшенная, дважды увеличенная и дважды уменьшенная. Эти прилагательные пишутся и произносятся перед числительным, обозначающим ступеневую величину (например, чистая прима, но не прима чистая).
Музыкальная и математическая одаренности
Изучая литературу по теме, мы обнаружили еще один интересный факт: совпадение музыкальной и математической одаренности, что сделало эту тему предметом внимания психологов. Сущность психологических связей между музыкальными и математическими способностями в том, что, привыкнув замечать пропорционально-симметричные отношения внутри музыкальной формы, привыкнув охватывать в своем сознании разнообразные иерархически соподчиненные структуры, не имеющие явных предметных аналогов, музыканты переносят навыки пространственно-геометрического восприятия на реальную действительность. Данные современной нейропсихологии подчеркивают повышенную аналитичность восприятия и высокое качество пространственных операций «музыкального мозга». Это объясняет частое совпадение музыкальной и математической одаренности у одних и тех же людей.
1.Исследование музыкальных произведений
Мы рассмотрели классическое произведение Ф. Шопена (1810 – 1829) «Мазурка ля минор». (Приложение 3)
Попробуем сделать математическую модель этого произведения. С этим задание мне помог мой учитель по музыке. Давайте посмотрим, что у нас получилось.
Каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2- II, 3–III, 4– IV, 5 – V, 6 – VI, 7– VII, 8– I, 9(Ре) – II, 0(Ми) – III.
Переложили ноты на цифры, получив при этом такой ряд чисел.
Черта между цифрами служит тактовой чертой, то есть делит их на такты так, как сделано в произведении. В музыке есть понятие об устойчивых ступенях – ступенях, на которых строится тоника: 1, 3, 5. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.
Получили ряд чисел: 10, 8, 6, 4, 4, 6, 8… и т.д. Следовательно, наблюдаем закономерность, что в произведении повторяется группа цифр 10 8 6 4 и наоборот.
Теперь, попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.
Получили числа в соответствии с номерами тактов: 600(5∙6∙5∙4), 120(5∙2∙3∙4), 72(3∙4∙3∙2), 42(3∙7∙1∙2), 42(1∙2∙3∙7), 840(1∙4∙5∙7∙6), 120(5∙4∙2∙3).
То есть имеем следующий ряд 600,120,72,42,42,840,120….
Мы рассмотрела произведение В.А.Моцарта «Турецкий марш»
Затем мы переложили ноты на цифры и получили следующее:
Потом мы сложили номера устойчивых ступеней и получили:
| 5 | 3 | 9 | 10 | 2 | 5 | 5 | 5 | 3 | 21 | 3 |21 | 1 | 10 | 11 | 1 | 10 | 5 | 3 | 9 | 10 | 1 | 6 | 3 | 1 ||
Числовой ряд не имеет каких-либо закономерностей
Рассмотрим современное классическое произведение Яна Тирсена «La Valse D’amelie» (2001 год). (Приложение 5)
Переложим ноты на цифры.
Ещё мы рассмотрели произведение Э.Грига «Утро» из симфонической сюиты «Пер Гюнт» (Приложение 6)
Выписав устойчивые ступени, мы получили следующий числовой ряд:
13 | 18 | 12 | 8 | 13 | 18 | 11 | 5 | 5 ||
Числовой ряд не имеет каких-либо закономерностей
Кроме классических произведений, мы рассмотрели музыкальное произведение, относящееся к другому направлению. Например рок. Рассмотрим музыкальную команду Rammstien с песней «Du hast». (Приложение 7)
Далее рассмотрим фрагмент классического произведения более раннего периода: «Жига» Ж. Обера (1689 – 1753) (Приложение 8)
Получили следующий числовой ряд.
14 | 7 | 6 | 4 | 10 | 5 | 0 | 17 | 6 | 8 | 0 | 17 | 18 | 14 | 13 | 10 | 1 | 9 | 2 | 6 | 8 | 15 | 3 | 7 | 7 | 7 | 6 | 10 | 10 ||
Из это видно, что ряд, составленный из суммы устойчивых ступеней не имеет каких либо закономерностей.
И ещё мы рассмотрели произведение И.С.Баха «Токката и Фуга» ре-минор(Приложение 9)
Так же мы выписали все устойчивые ступени и получили следующее:
13 | 1 | 9 | 13 | 1 | 1 | 8 | 1 | 14 | 29 | 15 | 2 | 15 | 29 | 15 ||
Числовой ряд не имеет каких-либо закономерностей.
Исследование дат рождений
Согласно теории Пифагора, числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, что числа правят музыкой. Он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону (математике) и вследствие этого восстанавливает в организме человека гармонию.
Нумерология – это паранаука о числах. Нумерология имеет еще одно распространенное название – Магия Чисел. В нумерологии все слова, имена, числа можно свести к единичным разрядам (однозначным числам), которые соответствуют различным характеристикам, влияющим на жизнь человека. Это значит, что каждому однозначному числу, согласно нумерологии, соответствуют определенные свойства, образы и понятия.
Нумерологию в основном используют для определения характера человека, его природных способностей, для выявления сильных и слабых сторон его личности, предсказания будущего, для выбора наилучшего времени для принятия серьезных решений и начала действий, а также для определения подходящей профессии, места проживания и многих других факторов.
Даты рождения – это ряд чисел. Попробуем установить связь между числами и музыкой.
Нами были исследованы даты рождения наших друзей.
Как известно, дата – набор цифр. Мы переложили даты на ноты. У каждого человека получилось по одному аккорду: (см. приложения с аккордами учащихся.)
Были аккорды звучащие гармонично и режущие слух. После того как были переложены даты рождения на аккорды, мы попробовали установить связь между звучанием даты рождения и способностями человека. Таким образом, получили следующее:
Екатерина Малевич 09.12.2000
Михаил Пономорёв 16.05.2003
Альбина Киселёва 24.12.1999
Анастасия Зараменских 29.08.2004
Алина Сафонова 07.02.2005
Яна Бугорская 11.07.2004
Николай Усков 22.12.2004
Иван Усынин 31.08.2000
Татьяна Шевцова 20.01.2003
Екатерина Королёва 22.06.2004
Матвей Баранчиков 24.03.2003
Анатолий Литюк 22.12.2003
Софья Тараканова 13.11.2004
Таким образом, все по звучанию дат рождения, разделился на две группы.
В первой группе, где аккорды звучали мелодично, оказалась большинство детей с творческими наклонностями: некоторые из них закончили музыкальную или художественную школу, занимаются танцами. Даная группа детей обладает творческими способностями, косвенно или напрямую связана с музыкой.
Во второй группе, где аккорды звучали «резко», учащиеся занимаются различными видами спорта.
Следует отметить, что в первой группе оказался учащийся, который занимается в спортивных секциях, но не занимается музыкой и танцами. Предполагаем, что возможно, он имеет эти склонности, но ещё не реализовал их.
В нашей исследовательской работе мы выдвинули гипотезу о том, что любое музыкальное произведение можно представить как математическую модель, которая будет иметь числовые закономерности. Многие музыкальные произведения это подтверждают.
По изложенному в работе способу перевода из нот в числовой ряд следует, что первая часть гипотезы верна. Мы можем перевести любое музыкальное произведение в числовой ряд. Способов перевода может быть несколько. В работе рассмотрены два: сложение устойчивых ступеней, произведение устойчивых ступеней. Однако, в ходе выполнения исследований музыкальных произведений выше перечисленными способами нами выявлено, что не каждый числовой ряд имеет какую либо математическую закономерность. Яркий пример тому произведение «Жига».
Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет определенный тип способностей человека, необходимо большее количество исследуемых. Если в последующем при более глубоких и многочисленных исследованиях, наши предположение будет доказано, это даст человеку еще один способ открыть себя, определить род занятий, выбрать профессию, где наиболее полно раскроется потенциал личности.
Список литературных источников
1.Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005
2.Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего “Я”. Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.
3. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.
4. В.П. Ковалев “Математика в музыке”. Выступление на семинаре в Московском физико-техническом институте в секции математических основ жизнеустройства, 2007
5. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.
6. Хорошо темперированный клавир: Ноты произведений на International Music Score Library Project
7. Шарапкина Е. П. Гармония математики и музыки/П.Е.Шарапкина.//Университетские чтения 2006г.
8. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. – Э68-е изд., испр./Глав. Ред. М.Д. Аксенова. – М..6 Аванта +, 2006 – 688 с.: ил.
9. Энциклопедический словарь юного музыканта Э68/сост. В.В. Медушевский, О.О. Очаковская. – М.: Педагогика, 2007. – 352с., ил.
10. Энциклопедический словарь юного математика. М.; «Педагог»