Что нужно сделать чтобы найти периметр и площадь
Как найти периметр фигуры
Определение периметра
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
Какой буквой обозначается периметр? Заглавной латинской P. Под обозначением P удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах по ходу решения.
В чем измеряется периметр? В тех же единицах измерения, что и длина — например, миллиметр, сантиметр, метр, фут, дюйм, локоть и др.
Если в условиях задачки длины сторон переданы в разных единицах длины, мы не сможем узнать периметр фигуры. Для правильного решения нужно перевести все данные в одну единицу измерения.
Формулы нахождения периметра
Как мы только что узнали, периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника. А значит, чтобы его найти, нам надо знать длины этих сторон. Давайте посмотрим, как найти периметр, на примерах нескольких фигур.
Равносторонний многоугольник
У равностороннего треугольника все стороны равны. А значит, периметр равностороннего треугольника можно найти как произведение длины стороны на их количество, т. е. на 3.
P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.
Периметр любого другого равностороннего многоугольника можно найти тем же способом: умножив длину его стороны на их количество. Например, у квадрата и ромба все стороны равны, а значит, их периметр можно найти по формуле P = 4 ⋅ a, где a — длина стороны.
А формула для любого равностороннего n-угольника будет такая: P = n ⋅ a, где a — длина стороны, n — количество сторон.
Прямоугольник и параллелограмм
У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны.
P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.
Окружность
У окружности нет периметра, потому что это не многоугольник. Но у нее есть длина, которую можно найти, зная радиус. Длина окружности — это произведение пи на два радиуса или произведение пи на диаметр.
L = d ⋅ π = 2 ⋅ r ⋅ π, где d — диаметр, r — радиус, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она приблизительно равна 3,14.
Можно выучить все формулы, а можно, запомнив определение о сумме всех сторон, каждый раз проявлять смекалку и вычислять самостоятельно. Давайте потренируемся, как определять периметр фигур!
Решение задач
Равнобедренный треугольник имеет периметр 40 см, длина его основания составляет 6 см. Какую длину будут иметь две другие стороны?
Ответ: две другие стороны равны по 17 см.
Радиус окружности равен периметру равностороннего пятиугольника со стороной 4 см. Найдите длину окружности.
Еще больше практических заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!
Периметр и площадь прямоугольника
Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
Отличительные особенности прямоугольника
Как вычислить периметр прямоугольника
Существует 2 способа его нахождения:
«a» — длина прямоугольника, более длинная пара его сторон.
«b» — ширина прямоугольника, более короткая пара его сторон.
Пример задачи на подсчет периметра прямоугольника:
Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина — 6.
Запомни формулы вычисления периметра прямоугольника!
Полупериметр — это сумма одной длины и одной ширины.
Как найти площадь прямоугольника
Формула площади прямоугольника S= a*b
Если в условии известна длина одной стороны и длина диагонали, то площадь найти можно, используя в таких задачах, теорему Пифагора, она позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника если известны длины двух других сторон.
Помни!
Что нужно сделать чтобы найти периметр и площадь
Найди периметр квадрата со стороной 8 см.
Решение:
8 · 4 = 32 (см)
Ответ: периметр квадрата 32 см.
Задача №2
Найди периметр квадрата со стороной 16 см.
Решение:
16 · 4 = 64 (см)
Ответ: периметр квадрата 64 см.
Задача №3
Периметр квадрата 16 см. Найди его сторону.
Решение:
16 : 4 = 4 (см)
Ответ: сторона квадрата 4 см.
Задача №4
Найди периметр прямоугольника со сторонами 9 и 6 см.
Решение:
(9 + 6) · 2 = 30 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 30 см.
Задача №5
Найди периметр прямоугольника со сторонами 7 и 8 см.
Решение:
(7 + 8) · 2 = 30 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 30 см.
Задача №6
Найди длину прямоугольника, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.
Решение:
Ответ: длина прямоугольника 13 см.
Вариант Ⅱ
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
Ответ: длина прямоугольника 13 см.
Задача №7
Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.
Решение:
Ответ: ширина прямоугольника 5 см.
Вариант Ⅱ
P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
Ответ: ширина прямоугольника 5 см.
Задача №8
Ширина прямоугольника 14 см. Длина на 5 см больше. Найди его периметр и площадь.
Решение:
14 + 5 = 19 (см)
(19 + 14) · 2 = 66 (см)
19 · 14 = 266 (см²)
Ответ: периметр прямоугольника 66 см; площадь прямоугольника 266 см².
Задача №9
Длина прямоугольника 7 см. Ширина на 3 см меньше. Найди его периметр и площадь.
Ответ: периметр прямоугольника 22 см; площадь прямоугольника 28 см².
Задача №10
Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.
Решение:
24 : 4 = 6 (см)
6 · 6 = 36 (см²)
Ответ: площадь квадрата 36 см².
Задача №11
Периметр квадрата 36 см. Найди его площадь.
Решение:
36 : 4 = 9 (см)
9 · 9 = 81 (см²)
Ответ: площадь квадрата 81 см².
Задача №12
Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см.
На сколько см² он ошибся?
Ответ: он ошибся на 3 см².
Задача №13
Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см, а он начертил его со сторонами 8 см и 6.
На сколько см² он ошибся?
Ответ: он ошибся на 32 см².
Задача №14
Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.
Ответ: площадь прямоугольника 56 см².
Задача №15
Сторона квадрата 6 см. Найди ширину прямоугольника с таким же периметром и длиной 3 см.
Ответ: ширина прямоугольника 9 см.
Задача №16
Сторона квадрата 18 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 14 см.
Ответ: длина прямоугольника 22 см.
Задача №17
Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см.
Чему равен периметр прямоугольника?
Решение:
40 : 4 = 10 (см)
(10 + 4) · 2 = 28 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 28 см.
Задача №18
Площадь прямоугольника 40 см². Длина его 8 см.
Чему равен периметр прямоугольника?
Решение:
40 : 8 = 5 (см)
(8 + 5) · 2 = 26 (см)
Ответ: периметр прямоугольника 26 см.
Задача №19
Ширина прямоугольника 15 см, длина 20 см.
Найди длину другого прямоугольника с той же площадью, если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника.
Решение:
в первом действии узнаём площадь по формуле a · b = S
15 · 20 = 300 (см²) — S одного и другого прямоугольника
теперь ширину второго
15 : 3 = 5 (см) — ширина другого прямоугольника
и отвечаем на вопрос задачи применив формулу S : a = b
300 : 5 = 60 (см)
Ответ: длина другого прямоугольника 60 см.
Задача №20
Длина прямоугольника b = 32 см. Ширина a = 4 см.
Найди длину другого прямоугольника с такой же площадью, если его ширина в 2 раза больше ширины первого прямоугольника.
Решение:
узнаем площадь прямоугольников по формуле a · b = S
32 · 4 = 128 (см²) — S первого прямоугольника
теперь ширину второго прямоугольника
4 · 2 = 8 (см) — ширина другого прямоугольника
применив формулу S : a = b узнаем длину другого
128 : 8 = 16 (см)
Ответ: длина другого прямоугольника 16 см.
Задача №21
Какой участок земли потребует большую ограду: прямоугольный размерами 32 м и 2 м или квадратный, имеющий ту же площадь?
Решение:
Ⅰ. Прямоугольный участок
32 · 2 = 64 (м²) — S прямоугольного участка = 64 (м²)
(32 + 2) · 2 = 68 (см) — P прямоугольного участка = 68 (см)
Ⅱ. Квадратный участок (имеющий площадь прямоугольного = 64 м²)
Если S квадрата = a · a, тогда, из формулы, узнаем сторону квадратного участка S : a = a
(у квадрата все стороны равны, тогда a · a = S — таблицу умножения мы знаем, подберём значения a и заменим их — 8 · 8 = S или 8 · 8 = 64 или 64 = 8 · 8 или 64 : 8 = 8)
64 : 8 = 8 (м) — любая сторона квадратного участка = 8 (м)
8 · 4 = 32 (м) — периметр квадратного участка = 32 (м)
Ответ: потребует большую ограду прямоугольный на 36 м.
Задача №22
Какая комната потребует больше плинтуса: прямоугольная размерами 4 м и 9 м или квадратная, имеющая ту же площадь?
Ответ: потребует больше плинтуса прямоугольная на 2 м.
Задача №23
Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.
Решение:
Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.
У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).
Если S = a · a — площадь квадрата, тогда
S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6
2 · 2 · 6 = 24 (см²)
Ответ: площадь всех граней куба равна 24 см².
Задача №24
Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
Решение:
Для решения потребуются формулы:
S = a · a; S = a² — площадь квадрата (у квадрата все стороны равны)
S = a · b — площадь прямоугольника (у прямоугольника противоположные стороны равны)
Далее всё очень просто:
Ответ: площадь получившейся фигуры равна 60.
Ответ: площадь получившейся фигуры равна 41.
Ответ: площадь получившейся фигуры равна 44.
Задача №25
(!) Фигуры расположены на листе в клетку, где каждая клетка – квадрат со стороной равной 1см.
Определение:
Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.
Решение:
разобьём неправильные четырехугольники A, B, D на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, а неправильные четырехугольники C, E на два прямоугольных треугольника и квадрат.
Фигура A.
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника
½ ·2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры A
12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²
Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²
Фигура B.
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
5 · 1 = 5 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 6 · 5 = 15 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 1 = 0,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры B
5 + 15 + 0,5 = 18,5 см²
Ответ: площадь фигуры B 20,5 см²
Фигура C.
S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда
5 · 5 = 25 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 6 = 3 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры C
25 + 3 + 2,5 = 30,5 см²
Ответ: площадь фигуры C 30,5 см²
Фигура D.
S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда
3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры D
12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²
Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²
Фигура E.
S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда
2 · 2 = 4 см² — площадь квадрата a
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 3 · 4 = 6 см² — площадь прямоугольного треугольника b
S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда
½ · 2 · 2 = 2 см² — площадь прямоугольного треугольника c
теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры E
4 + 6 + 2 = 12 см²
Ответ: площадь фигуры E 12 см².
Задача №26
Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.
Определение:
Периметр – сумма длин всех сторон фигуры выраженый в милиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.
Площадь фигуры – геометрическое понятие, размер плоской фигуры выраженый в мм², см², дм², м² и т.д.
Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда
применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²
Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура A имеет четыре стороны, тогда
1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.
Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура B имеет четыре стороны, тогда
2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.
Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура C имеет шесть сторон, тогда
3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.
Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура D имеет восемь сторон, тогда
1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.
Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда
1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;
фигура E имеет восемь сторон, тогда
1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.
Вывод:
Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат.
У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат.
Задача №27
Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²
Решение:
6² + 8² = c²
6 · 6 + 8 · 8 = c²
36 + 64 = с²
с² = 36+64
с² = 100
с = 10
Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c
p = 6 + 8 + 10 = 24
Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.
Задача №28
Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (гипотенуза) с = 10 см
Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²
Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.
Задача №29
В треугольной пластине abc у которой один из углов 90°, сторона a равна 20 сантиметрам, а сторона b равна 10 сантиметрам просверлили отверстие диаметром 3 сантиметра. Какую оставшуюся площадь пластины нужно покрасить?
Ответ: нужно покрасить 92,935 см².
Задача №30
На садовом участке Петя построил для цыплят круглый вольер радиусом 5 метров. Участок имеет прямоугольную форму с длинной 120 метров и шириной равной 8 диаметрам вольера. Сколько потребуется метров металлической сетки чтобы огородить участок и вольер?
Решение:
Для решения задачи нам потребуются вычислить периметры участка и вольера.
1) В первом действии узнаем диаметр вольера, нам известен радиус 5 метров, тогда по формуле диаметр равен двум радиусам D = 2R
5 · 2 = 10 (м) — диаметр вольера
2) Если ширина участка равна 8 диаметрам вольера, тогда
10 · 8 = 80 м — ширина участка
3) Далее по формуле P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника
120 + 80 · 2 = 400 (м)
4) Теперь по формуле P = 2πR — длина окружности (периметр) вольера
2 · 3,14 · 5 = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 (м)
5) В последнем действии сложим периметры участка и вольера ответим на вопрос задачи
400 + 31,4 = 431,4 (м)
Ответ: потребуется 431,4 метров металлической сетки.
Периметр и площадь прямоугольника
Прямоугольники и квадраты обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D
Определения:
Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Квадрат – это прямоугольник, у которого стороны равны. Его называют правильным четырёхугольником.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы
Дан прямоугольник ABCD.
Периметр равен сумме длин сторон.
PABCD = AB + BC + CD + AD
Противоположные стороны прямоугольника равны.
PABCD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)
Следовательно, для того, чтобы высчитать периметр прямоугольника, нужно сложить длины двух сторон и умножить результат на 2.
У квадрата все стороны равны.
Поэтому, периметр квадрата равен:
Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.
Определить площадь, периметр, объем, длину, диаметр, высоту и остальные геометрические величины поможет онлайн-калькулятор https://max-calc.ru.
На сайте вы сможете не только получить готовое решение, но и посмотреть всю необходимую справочную информацию.
Задачи:
1. Хозяин дачи решил построить забор вокруг участка. Какой длины получится забор, если участок имеет вид прямоугольника с шириной 15 метров и длиной 33 метра?
Для нахождения длины забора нужно посчитать периметр участка.
Воспользуемся формулай Ручастка = 2 * (длина + ширина).
Р участка = 2 * (15 м + 33 м) = 96 м
Ответ: длина забора 96 метров.
2. Мама решила пришить на скатерть красивую тесьму. Сколько нужно купить тесьмы, если скатерть квадратная со стороной 150 сантиметров?
Так как скатерть квадратная, для определения длины тесьмы нужно найти периметр квадрата.
Р = 4 * 150 см = 600 см = 6 м
Ответ: нужно купить 6 метров тесьмы.
3. Известно, что банки краски хватает, чтобы покрасить 30 м 2 поверхности. Хватит ли одной банки краски, чтобы покрасить забор длиной 15 метров и высотой 2 метра?
Для решения необходимо найти площадь поверхности забора. Для этого длину умножаем на ширину.
Sзабора = 15 м * 2 м = 30 м2.
Ответ: да, 1 банки краски хватит.
Задачи для самостоятельной работы:
1. Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.
2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.
Уважаемые читатели!
Все материалы с сайта можно скачивать абсолютно бесплатно. Все материалы проверены антивирусом и не содержат скрытых скриптов.
Материалы в архиве не помечены водяными знаками!
Если материал нарушает чьи-то авторские права, просьба написать нам по обратной связи, указав авторство материала. Мы обязуемся либо убрать материал, либо указать прямую ссылку на автора.
Сайт пополняется материалами на основе бесплатной работы авторов. Eсли вы хотите отблагодарить их за работу и поддержать наш проект, вы можете перевести любую, не обременительную для вас сумму на счет сайта.
Заранее Вам спасибо.