Что нужно сделать чтобы поменять знаки в числителе или знаменателе дроби
Что нужно сделать чтобы поменять знаки в числителе или знаменателе дроби
Из основного свойства дроби вытекает, что величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на —1, например:
Но умножение любого числа на —1 только меняет его знак на противоположный. Итак:
Значение дроби не изменится, если изменить знаки числителя и знаменателя на противоположные:
К такому преобразованию дробей приходится иногда прибегать, например, при их сложении.
Посмотрим, что получится с дробью, если переменить знак только у одного из членов дроби:
Мы видим, что когда переменили знак только у числителя или только у знаменателя, то получили число, противоположное прежнему, то есть знак у дроби переменился на противоположный.
Пусть мы изменили знак у одного из членов дроби; согласно предыдущему получили число, противоположное прежнему. Значит, если у этой новой дроби переменим знак на противоположный, то получим прежнюю дробь.
Пример. Пусть дана дробь 
Изменив знак у числителя, получим 
Изменив знак перед этой дробью, получим 
, то есть прежнее значение дроби.
Значение дроби не изменится, если переменить знак у одного из членов дроби и перед самой дробью:
Это правило применяется и при действиях с дробями. Так, решение предыдущего примера можно было выполнить и таким образом:
Переменив знак у знаменателя второй дроби, мы переменили знак и перед самой дробью.
Приведём ещё пример:
В первом случае мы переменили знак у обоих членов второй дроби, оставив тот же знак перед дробью.
Во втором случае мы переменили знак только у знаменателя, но одновременно переменили знак и перед дробью.
В обоих случаях получили один и тот же результат, как и должно быть.
Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры
Виды выражений из алгебры могут принимать вид рациональных дробей, которые характерны тождественным преобразованиям этих дробей. Чаще всего можно встретить еще одно название алгебраические дроби. Таким образом, понятия рациональных и алгебраических дробей равнозначны.
Рассмотрим приведение рациональной дроби к новому знаменателю, смене знаков, сокращению. Подробно остановимся на преобразовании дробей в виде суммы с несколькими показателями. В заключении приведем несколько примеров, в которых подробно рассмотрим решения.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональная дробь – это дробь,в числителе и знаменателе которой, имеются многочлены с натуральными, целыми и рациональными коэффициентами.
Многочлены могут быть приведены в нестандартном виде, что говорит о том, что необходимы дополнительные преобразования.
Рассмотрим примеры рациональных дробей.
Преобразования числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель считаются самодостаточными числовыми выражениями. Отсюда следует, что с ними можно производить различные преобразования, то есть в числителе или знаменателе разрешено заменять на тождественное равное ему выражение.
Чтобы провести тождественные преобразования, необходимо группировать и приводить подобные слагаемые, причем знаменатель заменять на более простое подобное ему выражение. Числители и знаменатели содержат многочлены, значит, что с ними можно производить преобразования, подобные для многочленов. Это могут быть и приведения к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для начала необходимо привести к стандартному виду. Применим свойство степени, получим выражение вида
Необходимо выполнить преобразования знаменателя. Представляем его в виде произведения, то есть раскладываем на многочлены. Для этого производим группировку первого и третьего слагаемых, а второго с четвертым. Общий множитель выносим за скобки и получаем выражение вида
Видно, что полученное выражение имеет общий множитель, который и необходимо вынести за скобки, чтобы получить
Теперь подходим к произведению многочленов.
Данные преобразования необходимы для их использования в преобразованиях.
Приведение к новому знаменателю
При изучении обыкновенных дробей знакомимся с основным свойством дроби, которое говорит о том, что при умножении числителя и знаменателя на любое натуральное число, получаем равную предыдущей дробь. Данное свойство распространяется и на рациональные дроби: при умножении на ненулевой многочлен числитель и знаменатель, получим дробь, равную предыдущей.
Отсюда следует то, что при решении необходимо воспользоваться приведением рациональной дроби к новому знаменателю. То есть ее умножение и числителя и знаменателя на ненулевой многочлен. В результате получим дробь, равную заданной.
Изменение знаков перед дробью, в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби применяется для того, чтобы можно было сменить знаки у членов дроби. Эти преобразования характерны для рациональных дробей.
При работе с дробями можно менять знак только в числителе или только в знаменателе. При замене знака дроби, получаем тождественно равную дробь. Запишем это утверждение так:
Чаще всего такие преобразования подходят для дробно рациональных выражений и их преобразований.
Сокращение рациональных дробей
Не всегда виден общий знаменатель при сокращении. Это и есть небольшая проблема. Не всегда это возможно увидеть сразу. Возможно, необходимо будет выполнить разложение числителя и знаменателя на множители. Это упростит решение. Подробно нюансы рассмотрены в теме сокращения алгебраических дробей.
При сокращении важно обратить внимание на то, что чаще всего необходимо раскладывать и числитель и знаменатель на множители.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Если имеется несколько дробей, то преобразование производится особым образом. Такую рациональную дробь необходимо представить в виде выражения, где имеются одночлены.
Это основано на правиле сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
В особую группу выделяют представления рациональных дробей с одной переменной. Когда показатель такой дроби больше или равен степени показателя знаменателя, тогда переходим к преобразованию суммы рационального выражения. То есть выполняется деления многочлена на многочлен.
Алгебра. Перемена знаков дроби.
14 Nov 2018 в 15:16
14 Nov 2018 в 15:16 #1
Парни, выручайте! Я что-то совсем запутался со знаками в дробях.
4) (3x+x^2)/(2-x)*(x-2)/(x-3) и вот тут я не понимаю.
Разложим на множители x*(3+x)/(2-x)*(x-2)/(x-3). Сократить не можем, но можно заменить знаки в числителе и знаменателе. Но как?
14 Nov 2018 в 15:18 #2
Парни, выручайте! Я что-то совсем запутался со знаками в дробях.
4) (3x+x^2)/(2-x)*(x-2)/(x-3) и вот тут я не понимаю.
Разложим на множители x*(3+x)/(2-x)*(x-2)/(x-3). Сократить не можем, но можно заменить знаки в числителе и знаменателе. Но как?
тебе нужно вынести минус из знаменателя первой дроби и сократить множитель (х-2)
14 Nov 2018 в 15:20 #3
тебе нужно вынести минус из знаменателя первой дроби
Поменять знак в знаменателе первой дроби проще, но ведь можно же менять и в числителе. И я хочу поменять его именно в числителе.
14 Nov 2018 в 15:23 #4
Поменять знак в знаменателе первой дроби проще, но ведь можно же менять и в числителе. И я хочу поменять его именно в числителе.
ты-то его поменяешь, только решению это никак не поможет, потому что из 3+х не получить х-3, как ты не ставь знаки
14 Nov 2018 в 15:29 #5
ты-то его поменяешь, только решению это никак не поможет, потому что из 3+х не получить х-3, как ты не ставь знаки
Т.е. я не могу менять знак в скобках, а только у x?
14 Nov 2018 в 15:33 #6
Т.е. я не могу менять знак в скобках, а только у x?
14 Nov 2018 в 15:36 #7
Парни, выручайте! Я что-то совсем запутался со знаками в дробях.
4) (3x+x^2)/(2-x)*(x-2)/(x-3) и вот тут я не понимаю.
Разложим на множители x*(3+x)/(2-x)*(x-2)/(x-3). Сократить не можем, но можно заменить знаки в числителе и знаменателе. Но как?
Ты бы хоть написал какая из палок деления главнее, а то не ясно, то ли эта дробь в знаменателе, то ли это умножение 2ух разных дробей
14 Nov 2018 в 15:41 #8
14 Nov 2018 в 15:46 #9
Нет. Меняя знак в скобке ты меняешь знак у всех, кто живет в этих скобках.
14 Nov 2018 в 15:53 #10
сокращаем,получаем вот что:
Нет. Меняя знак в скобке ты меняешь знак у всех, кто живет в этих скобках.
14 Nov 2018 в 15:59 #11
сокращаем,получаем вот что:
Нет. Меняя знак в скобке ты меняешь знак у всех, кто живет в этих скобках.
14 Nov 2018 в 16:17 #12
Парни, выручайте! Я что-то совсем запутался со знаками в дробях.
4) (3x+x^2)/(2-x)*(x-2)/(x-3) и вот тут я не понимаю.
Разложим на множители x*(3+x)/(2-x)*(x-2)/(x-3). Сократить не можем, но можно заменить знаки в числителе и знаменателе. Но как?
14 Nov 2018 в 16:31 #13
С чего тут вообще знак менять? Знаки меняются при раскрытии скобок когда перед скобками минус. В любом уравнении всегда в первую очередь решается то что в скобках (вроде как). Ещё я помню чёт про модули в 8м классе, но к тому моменту я уже в школе редко появлялся.
14 Nov 2018 в 16:31 #14
Парни, выручайте! Я что-то совсем запутался со знаками в дробях.
4) (3x+x^2)/(2-x)*(x-2)/(x-3) и вот тут я не понимаю.
Разложим на множители x*(3+x)/(2-x)*(x-2)/(x-3). Сократить не можем, но можно заменить знаки в числителе и знаменателе. Но как?
не понимаю откуда у тебя х*(3+х). Если в 3х+х^2 вынесем х, то разве не будет х(3+1^2)?
14 Nov 2018 в 17:34 #15
С чего тут вообще знак менять? Знаки меняются при раскрытии скобок когда перед скобками минус. В любом уравнении всегда в первую очередь решается то что в скобках (вроде как). Ещё я помню чёт про модули в 8м классе, но к тому моменту я уже в школе редко появлялся.
Если мы меняем знак у числителя или знаменателя, то мы меняем и знак, стоящий перед дробью.
не понимаю откуда у тебя х*(3+х). Если в 3х+х^2 вынесем х, то разве не будет х(3+1^2)?
Нет, не будет. Откуда у тебя вообще 1^2? x*x=x^2
14 Nov 2018 в 18:11 #16
Если мы меняем знак у числителя или знаменателя, то мы меняем и знак, стоящий перед дробью.
Нет, не будет. Откуда у тебя вообще 1^2? x*x=x^2
14 Nov 2018 в 18:14 #17
Как-как, взял и сократил. При перемножении дробей мы имеем право сокращать одинкавоые скобки в числителе и знаменателе.
Первый вариант. Во втором у тебя просто выносится из скобки минус и уничтожается минусом перед скобкой, т.е.
Но не забывай, что ты не можешь менять знак просто так. Только при переносе в другую часть равенства
Как сократить дробь
Как сократить алгебраическую (рациональную) дробь, числитель и знаменатель которой содержат выражения, которые отличаются только знаками?
Например, как сократить дробь
Для начала вспомним, как от выражения (a-b) перейти к выражению (b-a). Для этого нужно вынести «минус» за скобки (при этом все знаки слагаемых в скобках изменятся на противоположные):
В дроби вынести «минус» за скобки можно или в числителе, или в знаменателе. По свойству алгебраических дробей, знак «минус» можно вынести перед дробью:
В данном примере числитель и знаменатель дроби сокращаем на (a-b):
Рассмотрим другие примеры сокращения алгебраических дробей такого вида.
Сокращать можно только множители!
В числителе и знаменателе дроби — многочлены. Чтобы сократить дробь, надо разложить многочлены на множители. В числителе есть общий множитель 2b, в знаменателе — a. Вынесем их за скобки:
Выражения, стоящие в скобках в числителе и в знаменателе, отличаются только знаками. Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя (при этом все знаки слагаемых, стоящих в скобках, изменятся на противоположные):
После чего сокращаем дробь на общий делитель (2a-b).
В числителе выносим общий множитель 2 за скобки, знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов:
Вынесем «минус» перед дробью, например, из числителя:
Сокращаем дробь на (m-7).
В числителе — 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым. В знаменателе выносим общий множитель 6 за скобки:
Сокращаем дробь на (x-3):
То есть, чтобы сменить знаки слагаемых в квадрате разности, «минус» за скобки (и перед дробью) выносить не нужно. Это верно не только для квадрата разности, но и для любой другой четной степени:
В случае возведения разности в нечетную степень при смене знаков слагаемых знак «минус» за скобки выносить нужно:
В числителе — полный квадрат разности, в знаменателе — разность квадратов. Раскладываем на множители:
Удобнее изменить знаки слагаемых вверху, поскольку при этом не нужно изменять знак перед дробью:
Сокращаем дробь на (10y-9x):
Вынесем знак «минус» перед дробью, например, из знаменателя:
Сокращение дробей в алгебре — важная составляющая часть сложения, вычитания, умножения и деления алгебраических дробей. Упрощать рациональные выражения приходится при решении уравнений, неравенств, задач и т.д.
Далее мы будем рассматривать действия над алгебраическими дробями.
Как поменять местами числитель и знаменатель дроби?
Как перенести из знаменателя в числитель?
5 — знаменатель. Для того чтобы обратить смешанное число в дробь, необходимо умножить целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавить числитель дробной части. Полученный результат будет числителем обыкновенной дроби, а знаменатель останется прежним.
Можно ли поменять местами числитель и знаменатель?
Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя. … 1) если числитель и знаменатель в правильной дроби поменять местами, то дробь увеличится и станет неправильной.
Как называется дробь по другому?
Дробью или обыкновенной дробью называется число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы. Обыкновенные дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной (называется винкулум) или наклонной (солидус) черты, которую называют чертой дроби.
Как поменять местами в дроби?
Дроби переворачиваются когда их делят. Переворачивается то, на что делят, и потом на неё умножают.
…
Как вынести число из знаменателя?
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.
Как перенести числитель?
Слово «числитель» может переноситься одним из следующих способов:
Как поставить минус перед дробью?
Вынесение минуса за знак дроби
Сделать это очень просто, если вспомнить правила: «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе — положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью; «Минус на минус дает плюс».
Как называется дробь с числителем и знаменателем?
Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.
Как по другому называют обыкновенные дроби?
Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы называется обыкновенной дробью или дробью. Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби.
Какие виды дробей бывают?
Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа. 2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби.
Как называется дробь с целым числом?
Смешанной дробью называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби и понимается как сумма этого числа и дроби.
Как поменять местами цифры в знаменателе?
Перемена знаков в числителе или в знаменателе дроби или перед дробью