Что нужно сделать чтобы привести к общему знаменателю дроби
Приведение дробей к общему знаменателю
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.
Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:
Задача. Найдите значения выражений:
В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:
Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.
Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.
Метод общих делителей
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!
Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.
В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.
Метод наименьшего общего кратного
Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».
Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Задача. Найдите значения выражений:
Теперь приведем дроби к общим знаменателям:
Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.
Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!
Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.
Приведение дроби к наименьшему общему знаменателю: правило, примеры решений
В данной статье рассказывается, как привести дроби к общему знаменателю и как найти наименьший общий знаменатель. Приведены определения, дано правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены практические примеры.
Что такое приведение дроби к общему знаменателю?
Если же дроби имеют разные знаменатели, то их всегда можно привести к общему знаменателю при помощи нехитрых действий. Чтобы сделать это, нужно числитель и знаменатель умножить на определенные дополнительные множители.
Приведение дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель: определение, примеры
Что такое общий знаменатель?
Другими словами, общим знаменателем какого-то набора дробей будет такое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели этих дробей.
Ряд натуральных чисел бесконечен, и поэтому, согласно определению, каждый набор обыкновенных дробей имеет бесконечное множество общих знаменателей. Иначе говоря, существует бесконечно много общих кратных для всех знаменателей исходного набора дробей.
Пример 1. Общий знаменатель
Значит, 150 не является общим знаменателем указанных дробей.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшее натуральное число из множества общих знаменателей какого-то набора дробей называется наименьшим общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель
Как найти наименьший общий знаменатель? Его нахождение сводится к нахождению наименьшего общего кратного дробей. Обратимся к примеру:
Пример 2. Найти наименьший общий знаменатель
Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю
Существует правило, которое объясняет, как привести дроби к общему знаменателю. Правило состоит из трех пунктов.
Правило приведения дробей к общему знаменателю
Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере.
Пример 3. Приведение дробей к общему знаменателю
По правилу, сначала найдем НОК знаменателей дробей.
Умножаем числитель и знаменатель дробей на дополнительные множители и получаем:
Приведение нескольких дробей к наименьшему общему знаменателю
По рассмотренному правилу к общему знаменателю можно приводить не только пары дробей, но и большее их количество.
Приведем еще один пример.
Пример 4. Приведение дробей к общему знаменателю
Вычислим НОК знаменателей. Находим НОК трех и большего количества чисел:
Далее вычислим дополнительные множители для каждой дроби.
Умножаем дроби на дополнительные множители и переходим к наименьшему общему знаменателю:
3 2 · 36 = 108 72 5 6 · 12 = 60 72 3 8 · 9 = 27 72 17 18 · 4 = 68 72
Общий знаменатель, понятие и определение.
Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.
Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.
Формула основного свойства рациональных чисел.
Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.
Наименьший общий знаменатель.
Что такое наименьший общий знаменатель?
Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.
Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:
Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.
У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2
Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2
Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.
Как привести дробь к общему знаменателю?
Нужно первую дробь \(\frac<1><20>\) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.
Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.
Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:
Общий знаменатель для нескольких дробей.
Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?
Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac<2><11>, \frac<1><15>, \frac<3><22>\)
Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.
Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2
Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330
Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби \(\frac<2><11>, \frac<1><15>, \frac<3><22>\) к общему знаменатели равному 330.
Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей \(\bf \frac<2><25>\) и \(\bf \frac<1><14>\)?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.
Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.
Это мы нашли наименьший общий знаменатель:
Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей \(\frac<2><25>\) и \(\frac<1><14>\) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.
Приведение дробей к общему знаменателю.
Для приведения дробей к общему знаменателю надо:
Примеры приведения дробей к общему знаменателю
18/6 = 3 — дополнительный множитель первой дроби,
18/9 = 2 — дополнительный множитель второй дроби.
| 5 | = | 5·3 | = | 15 |
| 6 | 6·3 | 18 |
| 4 | = | 4·2 | = | 8 |
| 9 | 9·2 | 18 |
108/27 = 4 — дополнительный множитель первой дроби,
108/36 = 3 — дополнительный множитель второй дроби.
| 2 | = | 2·4 | = | 8 |
| 27 | 27·4 | 108 |
| 3 | = | 3·3 | = | 9 |
| 36 | 36·3 | 108 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Приведение дробей к общему знаменателю
Общий знаменатель обыкновенных дробей
Любые дроби с разными знаменателями в математике можно привести к одному и тому же общему знаменателю — заменить на равные им дроби с одинаковым знаменателем.
Есть два вида знаменателей:
Общий знаменатель — это число или выражение, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Наименьший общий знаменатель — наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.
Производить данную операцию необходимо в ряде случаев.
Как привести дроби к общему знаменателю, алгоритм
Чтобы осуществить операцию приведения, необходимо применить основное свойство дробей: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, дробь не изменится. То есть если подобрать правильные множители, то можно привести знаменатели к одному и тому же числу. Искомые множители называют дополнительными.
Это объяснение лежит в основе общего правила приведения дробей.
Существует несколько способов привести дроби к общему или наименьшему общему знаменателю.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой способ — умножение «крест-накрест». Применяется следующий пошаговый алгоритм:
Недостаток этого метода — в размерах вычислений. При умножении могут получиться большие числа, которыми тяжело оперировать.
Метод общих делителей
Иногда один из знаменателей дроби уже делится на другой без остатка. В таком случае нет нужды перемножать их, количество действий сокращается.
Этот метод хорош тем, что является более кратким вариантом умножения «крест-накрест». При этом его невозможно использовать при решении примеров, в которых числа в знаменателях не делятся друг на друга.
Метод наименьшего общего кратного
Суть приведения заключается в том, чтобы найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. К этому числу и необходимо привести знаменатели обеих дробей.
Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее число, на которое делится каждый из знаменателей. Обозначается он как НОК (a; b).
НОК (3; 4) = 12; НОК (8; 12) = 24.
Иногда найти НОК можно «на глаз», не выполняя дополнительных расчетов. К примеру, НОК (6; 9) = 18. Однако иногда на это может понадобиться больше времени. Описание примера таких вычислений приведено в примерах решения задач ниже.
Таким образом, основное преимущество это метода заключается в краткости вычислений. При этом его недостатком является сложность нахождения НОК в некоторых случаях.
Примеры задач с подробным решением
Задача
Решение
Для начала применим метод «крест-накрест». Тогда:
Получившуюся дробь можно сократить на 5:
Однако решение можно сократить, применив метод общих делителей. 15 делится на 5 без остатка. При таком делении дополнительным множителем для первой дроби будет число 3:
Задача
Решение
Решить эту задачу методом общих делителей невозможно, ведь 20 не делится без остатка на 15. При этом оба числа являются большими:
Вычисление методом «крест-накрест» будет слишком большим.
Оптимальным вариантом решения является метод наименьшего общего кратного.
\(НОК (15; 20) = 5\cdot3\cdot4=60\)
При делении 60 на знаменатели обеих дробей получаются дополнительные множители 4 и 3. Используем их для вычислений: