Что нужно сделать с неправильной дробью

12.04.202211.04.2022 admin 0 Comments

Изучение основных правил умножения: как из неправильной дроби сделать правильную

Огромный блок математики посвящен работе с дробями или нецелыми числами. С ними очень часто встречаются и в жизни, поэтому знать, как работать с такими цифрами важно для любого человека. Математика – это наука, в которой ученик начинает с познания простых вещей и действий, а затем переходит к более сложным….

Знание и умение работать с подобными цифрами облегчит ему в дальнейшем работу с логарифмами, рациональными показателями и интегралами. С такими числами можно делать все то же самое, что и с обыкновенными: складывать дроби, делить, вычитать и умножать. Кроме этого, их можно сокращать. Работать с дробями просто, главное – это знать основные правила и методы их вычисления.

Основные понятия

Для того, чтобы понять, что это за значение такое, необходимо представить некий целый предмет. Допустим, что есть торт, который порезали на несколько одинаковых или равных кусков. Каждый кусочек будет называться долей.

Важно! В случае с дробями, есть некое целое число, которое состоит из равных долей – отдельных меньших чисел.

Например, 10 состоит из 5 двоек, каждая двойка – это часть от десяти.

Доли имеют свои названия, в зависимости от их общего количества в целом числе: 10 может состоять из двух пятёрок или пяти двоек, в первом случае она будет называться (одна вторая) , а во втором (одна пятая). Следует помнить, что равняется половине числа, (одна третья) трети, а (одна четвертая) – четвертью. Их могут также изображать через черточку: ½, 1/3 или 1/5.

Цифру, написанную сверху горизонтальной линии или слева от наклонной, называют числителем – он показывает сколько долей взяли у целого числа, а цифра под линии или справа от нее – знаменатель, он показывает на сколько всего долей разделили. Например, торт разделили на 10 кусков и сразу отложили два из них для опоздавших гостей. Это будет 2/10 (две десятых), т.е. взяли 2 (числитель) куска от общих 10 (знаменатель).

Дроби

Какие бывают доли, что такое неправильная дробь, что такое обыкновенная дробь? На эти вопросы легко ответить:

Смешанная цифра всегда может трансформироваться в неправильную дробь и наоборот.

Главное свойство гласит: при умножении, а также деления делимого и делителя на одинаковый множитель, в целом величина дроби не изменится. Это свойство делает возможным все операции с дробями.

Как из неправильной дроби сделать правильную

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Как сократить?

Главное правило гласит, что долевую цифру можно сократить поделить ее числитель и знаменатель на одинаковый делитель (отличный от 0) так, чтобы получилась новая цифра с меньшими параметрами, но равная исходной по величине. Исходя из этого правила можно понять, что дроби бывают сократимые и несократимые.

Сокращать можно при умножении дробных выражений друг на друга: * . Сами по себе эти числа несократимые, но выполняя операцию умножения, можно сократить их по диагонали: * = = . Сокращать при умножении можно только крест-накрест: числитель первой со знаменателем второй, и наоборот.

Сокращать можно и смешанную цифру, т.е. целую часть и правильную дробь представить в виде неправильной. Для этого следует выполнить некоторые действия:

Справедливо и обратное действие: из неправильной дроби сделать смешанную. Для этого рассмотрим обратное действие с :

Таким способом сокращать дроби при любых операциях возможно. Можно сокращать значения ее делимого и делителя при умножении их на одинаковый множитель, и превращая из смешанного числа в долю, и наоборот.

Сокращение дробей

Возможные действия

Все основные виды вычислений доступны при счете долей, как и с целыми цифрами: сложение, вычитание и прочие. Рассмотрим каждое действие по отдельности с примерами:

Сложение и вычитание

Складывать доли можно двумя путями, в зависимости от их делителя. Они бывают одинаковыми и разными. Рассмотрим пример складывания долей с одинаковыми делителями.

Для решения + необходимо по отдельности сложить делимое долей, а делитель не трогать: 1+1. Результатом станет цифра , но поскольку она неправильная, то ее можно преобразовать в смешанную, разделив делимое на делитель: 2:2= 1. Неправильную долю всегда (!) следует приводить к правильной и несокращаемой, т. е. если ее делимое и делитель можно поделить на одинаковый множитель – это следует сделать в обязательно порядке.

В случае сложения долей с различными делителями, их необходимо изначально привести к одинаковому. Например, для решения : необходимо:

Вычитание осуществляется точно так же: в случае с одинаковыми делителями их не трогаем, а числители последовательно вычитаем: = = . Если же знаменатели различные, то следует поступить, как и при сложении: найти НОК, множители, умножить доли, а затем вычесть уже доли с одинаковыми делителями.

Сложение дробей

Умножение и деление

При умножении необходимо последовательно перемножить их верх и низ между собой: = поскольку есть возможность сокращения на 6. В случае деления все несколько сложнее.

Для деления следует:

Важно! Деление всегда можно заменить умножением, но только при соблюдении условия замены делителя на обратное ему число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Выделение целой части из неправильной дроби

Чтобы правильно решать подобные примеры, следует запомнить главное свойство и правила сокращения. Что касается операций, то важно знать, как правильно складывать и умножать при одинаковых и разных знаменателях, поскольку делятся и вычитаются они по одинаковому принципу.

Источник

Общие сведения

Знакомить с дробями начинают в начальной школе. Чтобы ребёнок смог непросто заучить, а понять, что обозначает этот термин, применяют наглядный пример. В качестве его лучше использовать какое-либо круглое тело.

Пусть есть торт. Он один, поэтому представляет собой некое целое. Его можно разрезать на несколько равных частей. Например, 8. Получается, что из чего-то общего возможно выделить части. Количественно каждый кусок будет занимать 1/8 от пирога. Аналогично можно рассмотреть отрезок длиной 10 см. Каждый его 1 см будет составлять от целой длины 1/10.

Из 8 отрезанных кусочков 3 съели. На блюде осталось 5 одинаковых частей. По-другому их называют долями. Это изменение количества в математике произносят, как пять восьмых, то есть из целого после какого-то действия осталась определённая часть.

Записывать такое отношение принято в виде двух чисел, разделённых чертой. Называется она дробной и обозначает деление. Для примера с тортом выражение будет выглядеть как 1/8 и 5/8. Верхняя часть называется числитель и обозначает делимое, а нижняя — знаменатель, то есть делитель. Другими словами, первое число показывает, сколько частей взято, а нижнее, на какое число долей было разделено целое.

Такая дробь считается обыкновенной. Она может быть двух видов:

Кроме обыкновенной дроби, выделяют ещё 2 типа выражений — десятичные и смешанные. Если первое есть не что иное, как запись рациональной дроби со знаменателем кратным десяти, то второе — число, состоящее из целой части и правильного выражения. Например, 3 8/9.

Понимается эта запись как сумма целого числа и дробного. То есть 3 + 8/9. Если выполнить операцию сложения, в ответе получится дробь, у которой числитель больше знаменателя. Любое смешанное выражение можно преобразовать в неправильное. Это утверждение справедливо и для обратного превращения. Например, запись 47/8 будет тождественной выражению 5 7/8.

Необходимость преобразования

С дробными числами можно выполнять различного вида математические действия: складывать, вычитать, перемножать и делить, возводить в степень и логарифмировать. Но при этом существует негласное правило, согласно которому все операции нужно выполнять только после приведения выражений к одному типу. Конечно, сложить или разделить смешанную дробь на неправильную возможно, но алгоритм действий будет нерациональным, что приведёт к появлению ошибок при вычислении.

Преобразовывать можно любую дробь. Из десятичной легко сделать правильную: 0,5 = 5/10. Из смешанной неправильную — 1 2/5 = 7 / 5. Эти операции выполняются и в обратную сторону. Единственным исключением является задача сделать из неправильной дроби правильную.

Запись, у которой делимое меньше делителя, нельзя представить как число с числителем меньше знаменателя. Но здесь на помощь и приходит смешанное выражение, то есть чтобы из неправильной дроби сделать правильную, нужно из первого числа выделить целую часть. В итоге получится выражение, состоящее из суммы двух чисел: неделимого и правильного.

Следует отметить ещё один важный момент. Перед тем как переводить дробь в неправильную или любую другую, нужно попробовать выполнить ряд упрощений. Это позволит в дальнейшем сложные вычисления заменить простыми. Выполнять упрощение возможно, основываясь на свойствах дробей:

Эти правила называют основным свойством дробного числа или операцией сокращения. Например, 18/6 = 3/1 = 3. Числитель и знаменатель был разделён на 3. Тот же результат будет получен, если делитель и делимое помножить на любое число: 18/6 = 18*2 /6*2 = 36 / 12 = 3. Действительно, правильность утверждения можно доказать простым анализом.

Пусть есть равенство: a/b = z. Нужно доказать, что a*n/b*n = z. Так как черта обозначает деление, используя связь между ним и умножением, исходное выражение можно переписать: a = b*n. Согласно свойствам числовых неравенств, обе части разрешается умножить на число, отличное от нуля. Тогда a*n = (b*z)*n. В соответствии с переместительным законом n и z можно поменять местами: a*n = (b*n)*z. Отсюда: z = a*n/(b*n). Что и нужно было доказать.

Алгоритм превращения

Переводить неправильную дробь в правильную или выполнять обратную операцию просто, если следовать алгоритму. Так как сделать это напрямую нельзя, то фактически получится преобразование в запись, содержащую целую и дробную часть.

Превратить неправильное выражение в смешанное можно по следующему алгоритму:

Это упрощённый способ, быстро позволяющий выполнить перевод числа из одной формы в другую. Математическое равенство, описывающее это правило, будет выглядеть так: n a/b = ((n * b) + a)/b.

Чтобы преобразовать дробь по всем правилам, нужно сделать следующее. Так как смешанное отношение, по сути, является суммой целого и части, понадобится просто выполнить сложение. Для этого первое слагаемое представляют как неправильную дробь. Сделать это можно, разделив целое на единицу. Затем действуют по правилу сложения дробей, то есть находят общий знаменатель, дополнительные множители, выполняют складывание в числителе: n a/b = n/1 + a/b = ((n *b) + a)/b.

Из неправильной формы записи получить обычную дробь можно также через смешанную. Другими словами, представить выражение как сумму натурального числа и правильного отношения. Для этого необходимо выполнить 3 шага:

На самом деле выполнять деление числителя на знаменатель часто довольно сложно, поэтому поступают следующим образом. Делимое представляют в виде суммы дробей, но таким образом, чтобы деление одной из них можно было выполнить без остатка, то есть, m / n = (k + c) / n = k / n + c / n. Где целое число k / n, а c / n правильная дробь.

Нужно отметить, что некоторые выражения можно превращать в другую форму, не записывая поочерёдно действия, а выполняя все преобразования в уме. Но на начальном этапе рекомендуется весь процесс расписывать пошагово, пока не будет получен необходимый опыт. А только уже после переходить к переводу в уме.

Примеры решения

Несмотря на то что операция по превращению довольно простая, для её успешного применения необходим опыт, поэтому следует потренироваться не только в простом преобразовании, но и увидеть полезность действий на практике. Вот некоторые примеры, рассчитанные на учащихся четвёртых классов, рекомендуемые к самостоятельному решению:

В интернете существуют сервисы, позволяющие в автоматическом режиме выполнять перевод из одной формы записи в другую. Чтобы воспользоваться услугами таких онлайн-калькуляторов, необязательно знать принцип преобразования. Доступ к услугам не требует регистрации или введения каких-либо персональных данных. Нужно просто иметь гаджет с подключённым интернетом и любой веб-браузер. Всё, что требуется от пользователя — ввести в предлагаемую форму исходную дробь и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд на экран будет выведен ответ.

Кроме расчёта результата, многие такие математические сервисы дают возможность ознакомиться с подробным решением. Это хорошая возможность для учащихся закрепить полученные знания. Ведь можно не только проверить самостоятельное решение, но и понять, как получается тот или иной ответ. Причём на страницах сайтов содержится в кратком виде и теоретический материал с подробным описанием решения примеров.

Источник

§ Смешанные числа. Целая часть дроби. Правильные и неправильные дроби

Основное свойство дроби

Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:

— числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.

Это очень важное свойство — запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.

Видео

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно

Пример 2. Найти значение выражения

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Вычитание дробей

Эта операция проводится аналогично сложению. Чтобы вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно найти разность их числителей, а знаменатель оставить тем же.

Пример:

Задание:

Выполни вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Для дробей с разными знаменателями также придется найти наименьшее общее кратное и дополнительные множители. Затем, по аналогии со сложением, произвести вычитание.

Пример:

6/7 — 8/10 = (6*10-8*7) / 70 = (60-56) / 70 = 4/70

Задание:

Выполни вычитание дробей с разными знаменателями:

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби это дробь

Выражение можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Пример 2. Найти значение выражение

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Как устроена обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.

Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.

Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.

Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.

Черта между числителем и знаменателем — символ деления.

Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.

Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.

Арифметические действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание дробей

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!

Общий случай сложения (вычитания) дробей.

Умножение дробей

Деление дробей

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.

При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.

При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).

Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

Полученные числа запишем справа сверху над числителем.

Ход решения одной строкой:

Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.