Что обозначает к в графике функций

Как найти k и b по графику линейной функции?

В статье я расскажу про два простых способа найти \(k\) и \(b\), если известен график линейной функции.

Способ 1

Первый способ основывается на трех фактах:

Линейная функция пересекает ось \(y\) в точке \(b\).
Примеры:

Но не советую определять так \(b\), если прямая пересекает ось не в целом значении или если точка пересечения вообще не видна на графике. Для таких случаев пользуйтесь вторым способом.

Если функция возрастает, то знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус, а если постоянна, то \(k=0\).

Чтоб конкретнее определить \(k\) надо построить на прямой прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Далее, чтоб определить \(k\) нужно вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную и поставить знак согласно возрастанию/убыванию функции.

Давайте пока что не будем искать формулу иррациональной функции, сосредоточимся только на линейной функции.

\(b=3\) – это сразу видно. Функция идет вниз, значит \(k 0\). \(k=+\frac=\frac<4><4>=1,b=1\). \(f(x)=x+1\).

Теперь перейдем к функции \(g(x)\). Найдем координаты точек \(D\) и \(E\): \(D(-2;4)\), \(E(-4;1)\). Можно составить систему:

Вычтем второе уравнение из первого, чтоб убрать \(b\):

\(g(x)=1,5x+7\). Обе функции найдены, теперь можно найти абсциссу (икс) точки пересечения. Приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\).

Картинку в хорошем качестве, можно скачать нажав на кнопку «скачать статью».

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

Запишем полученные результаты в таблицу.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1

−

−2 = 1

(неверно)

Как найти точки пересечения графика с осями

Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.

Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:

Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:

Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Источник

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник