Что обозначают индексы hkl

Кристаллографические индексы узлов, плоскостей и направлений

Прямые и плоскости, проходящие через узлы пространственной решетки, называют соответственно узловыми прямыми и плоскостями. Все узловые прямые или плоскости, одинаково ориентированные в пространстве, составляют семейство прямых или плоскостей. Они кристаллографически идентичны и обладают одинаковыми периодами идентичности или соответственно межплоскостным расстоянием.

Индексы узлов. Положение любого узла решетки относительно выбранного начала координат определяется заданием 3-х координат: x, y, z. Эти координаты можно выразить так:

где a, b, c – параметры решетки; m, n, p – целые числа. Если за единицы измерения длин принять параметры решетки, то координатами узла будут просто числа m, n, p. Эти числа называются индексами узла и записываются следующим образом: .

В сложных решетках для всех узлов, не лежащих в вершинах элементарных ячеек, числа m, n, p будут дробными. Например, узел, находящийся в центре объема ячейки и ближайший к началу координат, имеет символ [[1/2 1/2 1/2]].

Индексы плоскостей. Положение плоскости определяется заданием трех отрезков А, В, С, которые она отсекает на осях решетки. Индексы такой плоскости отыскиваются следующим образом.

Выражают отрезки А, В, С в осевых единицах и записывают величины, обратные этим отрезкам: 1/А, 1/В, 1/С. Полученные дроби приводят к общему знаменателю. Пусть таковым будет число D. Целые числа

(2.3)

и являются индексами плоскости. Они записываются так: (hkl).

Для плоскостей, параллельных какой-либо координатной оси, соответствующий индекс равен нулю (отсекаемый отрезок равен ¥).

В случае, если плоскость пересекает кристаллографическую ось в отрицательном направлении, над соответствующим индексом следует ставить знак «минус», например, .

Плоскости, отсекающие на каждой по равному числу осевых единиц, обозначают символом (111). В кубической решетке их называют плоскостями октаэдра, так как система подобных плоскостей, равноотстоящих от начала координат, образует октаэдр.

Плоскости, отсекающие на двух осях по равному числу осевых единиц и параллельные третьей оси (например оси z), обозначают (110). В кубической сингонии их называют плоскостями ромбического додекаэдра, так как система подобных плоскостей образует двенадцатигранник, каждая грань которого – ромб.

Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум другим (например, осям y и z), обозначают (100) и называют в кубической решетке плоскостям куба, так как система подобных плоскостей образует куб. Основные индексы Миллера для кубической решетки приведены на рис.2.3.

Рис.2.3. Расположение различных плоскостей в кубической элементарной ячейке.

Для обозначения плоскостей гексагональных кристаллов пользуются 4-осной системой координат: три оси (а₁, а₂, а₃), расположенные под углом 120 о друг к другу, лежат в плоскости базиса, четвертая ось (с) перпендикулярна ей.

Рис.2.4. Индексы важнейших направлений.

Каждая плоскость обозначается 4 индексами (hkil). Дополнительный индекс ставится на третьем месте и вычисляется через индекс h и k: i=-(h+k). Часто им пренебрегают, так как этот индекс не является независимым. Тогда вместо него в индексе плоскости ставят точку (hk.l). Так, плоскость базиса, параллельная осям а₁, а₂, а₃, имеет индексы (0001). Плоскости, параллельные боковым граням призмы имеют индексы типа (1010). Таких плоскостей (непараллельных) три. Они называются плоскостями первого рода.

Индексы важнейших направлений в кубической решетке приведены на рис.2.4.

Для кубической сингонии индексы направления [uvw], перпендикулярного к плоскостям (hkl), численно равны индексам этой плоскости. Так, индексы по оси х равны [100], а индексы плоскости, перпендикулярной оси х, равны (100).

Индексы направления, связывающего две частицы в решетке, равны разности координат этих узлов, приведенных к целому виду.

Индексы направления [uvw], по которому пересекаются две плоскости, связаны с индексами этих плоскостей (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂) следующей системой уравнений:

Аналогично индексы плоскости (hkl), в которой лежат два направления [u₁v₁w₁] и [u₂v₂w₂], определяются из симметричной системы:

Описанные уравнения позволяют определить индексы плоскости, проходящей через три узла с известным базисом. Определение начинают с установления индексов двух направлений (одну из точек принимают за начало координат, по отношению к которому записывают направления) и заканчивают определением плоскости по направлениям.

Угол между двумя направлениями в кубической сингонии с индексами [u₁v₁w₁] и [u₂v₂w₂] может быть найден из уравнения

. (2.6)

Уравнение (2.7) определяет, таким образом, условие зональности.

Каждое семейство плоскостей с индексами (hkl) характеризуется также своим межплоскостным расстоянием d, т.е. расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

В случае сложной решетки, состоящей как бы из нескольких простых, межплоскостное расстояние равно расстоянию между соседними параллельными кристаллографически идентичными плоскостями, принадлежащими одной простой решетке. Так, в случае о.ц.к. решетки межплоскостное расстояние для плоскостей (100) равно периоду а, но не а/2. Чем больше индексы плоскости, тем меньше межплоскостное расстояние этого семейства плоскостей (рис.3.6). Чем больше межплоскостное расстояние, тем плотнее заполнена элементами структуры соответствующая плоскость.

Между индексами (hkl), величиной d и периодами решетки a, b, c существует математическая зависимость, различная для каждой сингонии. Формулы для межплоскостного расстояния имеют следующий вид:

, (2.8)

, (2.9)

, (2.10)

. (2.11)

Все кристаллографически идентичные семейства плоскостей, т.е. семейства плоскостей с одинаковым межплоскостным расстоянием, образуют совокупность плоскостей, обозначаемую фигурными скобками .

Источник

Индекс Миллера

Есть также несколько связанных обозначений: [1]

В контексте направлений кристалла (не плоскостей) соответствующие обозначения:

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

СОДЕРЖАНИЕ

Определение [ править ]

Тогда, учитывая три индекса Миллера, h, k, ℓ, (hkℓ) обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

То есть (hkℓ) просто указывает нормаль к плоскостям в основе векторов примитивной обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль всегда является вектором обратной решетки. Требование наименьших членов означает, что это кратчайший вектор обратной решетки в заданном направлении.

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление :

То есть вместо обратной решетки используется базис прямой решетки. Обратите внимание, что [hkℓ] обычно не нормально к плоскостям (hkℓ), за исключением кубической решетки, как описано ниже.

Случай кубических структур [ править ]

Для кубических кристаллов с постоянной решетки a расстояние d между соседними (hkℓ) плоскостями решетки равно (сверху)

d h k ℓ = a h 2 + k 2 + ℓ 2 <\displaystyle d_=<\frac <\sqrt +k^<2>+\ell ^<2>>>>> .

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

Для гранецентрированной кубической и объемноцентрированной кубической решеток векторы примитивной решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера обычно определяются относительно векторов решетки кубической сверхъячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональной и ромбоэдрической структур [ править ]

Эта четырехиндексная схема для маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, сходство между (110) ≡ (11 2 0) и (120) ≡ (1 1 20) более очевидно, когда показан избыточный индекс.

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии ) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) с четырьмя индексами. Однако они не работают, подобным образом добавляя избыточный индекс к обычному трехиндексному набору.

И обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они принимают вид

d h k ℓ = a 4 3 ( h 2 + k 2 + h k ) + a 2 c 2 ℓ 2 <\displaystyle d_=<\frac <\sqrt <<\tfrac <4><3>>\left(h^<2>+k^<2>+hk\right)+<\tfrac >>>\ell ^<2>>>>>

Кристаллографические плоскости и направления [ править ]

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы [ править ]

Источник

Индексы Миллера сформировать систему обозначений в кристаллография для самолетов в кристаллические (Браве) решетки.

В частности, семья плоскости решетки определяется тремя целые числа час, k, иℓ, то Индексы Миллера. Они записываются (hkℓ) и обозначают семейство плоскостей, ортогональных час б 1 + k б 2 + ℓ б 3 < Displaystyle ч mathbf > + к mathbf > + ell mathbf >> , куда б я < displaystyle mathbf >> являются основа из обратная решетка векторов (обратите внимание, что плоскость не всегда ортогональна линейной комбинации векторов прямой решетки час а 1 + k а 2 + ℓ а 3 < Displaystyle ч mathbf <а_ <1>> + к mathbf <а_ <2>> + ell mathbf <а_ <3>>> поскольку векторы решетки не обязательно должны быть взаимно ортогональными). Условно, отрицательные целые числа пишутся чертой, как в 3 для −3. Целые числа обычно записываются младшими членами, т. Е. Их наибольший общий делитель должно быть 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в Рентгеновская кристаллография. В этом случае целые числа не обязательно являются наименьшими, и их можно рассматривать как соответствующие плоскости, разнесенные таким образом, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно на одну длину волны (2π), независимо от того, есть ли атомы на всех эти самолеты или нет.

Есть также несколько связанных обозначений: [1]

В контексте хрусталя направления (не плоскости) соответствующие обозначения:

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

Содержание

Определение

Есть два эквивалентных способа определить значение индексов Миллера: [1] через точку в обратная решетка, или как обратное пересечение вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае нужно выбрать три вектора решетки а₁, а₂, и а₃ которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше, чем примитивная ячейка Решетка Браве, как примеры ниже иллюстрируют). По ним также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначенные б₁, б₂, и б₃).

Тогда, учитывая три индекса Миллера, h, k, ℓ, (hkℓ) обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

То есть (hkℓ) просто указывает на нормаль к плоскостям в основа векторов примитивной обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль всегда является вектором обратной решетки. Требование самых низких сроков означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в заданном направлении.

Эквивалентно (hkℓ) обозначает плоскость, которая пересекает три точки а₁/час, а₂/k, и а₃/ℓ, или несколько таковых. То есть индексы Миллера пропорциональны обратное пересечений плоскости в базисе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (точка пересечения находится «на бесконечности»).

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление:

Случай кубических структур

В частном случае простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаются а), как и обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера (hkℓ) и [hkℓ] просто обозначают нормали / направления в Декартовы координаты.

Для кубических кристаллов с постоянная решетки а, интервал d между соседними (hkℓ) плоскостями решетки (сверху)

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

За гранецентрированная кубическая и объемно-центрированная кубическая решетки, примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера обычно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейка и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональной и ромбоэдрической структур

С шестиугольник и ромбоэдрический решетчатые системы, можно использовать Браве-Миллер система, использующая четыре индекса (час k я ℓ), которые подчиняются ограничению

Здесь час, k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а я является избыточным индексом.

Эта четырехиндексная схема для маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, подобие (110) ≡ (11 2 0) и (120) ≡ (1 1 20) становится более очевидным, когда отображается избыточный индекс.

Это также для этого случая схемы (например, в просвечивающая электронная микроскопия литературу) для индексации гексагональной решетки векторов (а не вектора обратной решетки или плоскости) с четырьмя индексами. Однако они не работают, аналогичным образом добавляя избыточный индекс к обычному трехиндексному набору.

Например, вектор обратной решетки (hkℓ), как предложено выше, может быть записан в терминах векторов обратной решетки как час б 1 + k б 2 + ℓ б 3 < Displaystyle ч mathbf > + к mathbf > + ell mathbf >> . Для гексагональных кристаллов это можно выразить через базисные векторы прямой решетки а₁, а₂ и а₃ в качестве

Обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они имеют вид

Кристаллографические плоскости и направления

Кристаллографические направления: линии связывающие узлы (атомы, ионы или же молекулы) кристалла. Аналогичным образом кристаллографические самолеты находятся самолеты связывающие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение является физически значимым. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость (abc), на которой «индексы» Миллера а, б и c (как указано выше) не обязательно являются целыми числами.

Если а, б и c имеют рациональный отношений, то это же семейство плоскостей можно записать в терминах целочисленных индексов (hkℓ), масштабируя а, б и c соответственно: разделите на наибольшее из трех чисел, а затем умножьте на наименьший общий знаменатель. Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Особый интерес представляют плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные соотношения, заключается в том, что это плоскости решетки: это единственные плоскости, пересечение которых с кристаллом 2d-периодично.

Для плоскости (abc), где а, б и c имеют иррациональный отношений, с другой стороны, пересечение плоскости с кристаллом нет периодический. Он образует апериодический паттерн, известный как квазикристалл. Эта конструкция в точности соответствует стандартному методу определения квазикристалла «разрезать и спроектировать» с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как Плитка Пенроуза, образованы «разрезами» периодических решеток более чем в трех измерениях, включая пересечение более чем одного такого гиперплоскость.)

Источник

Индексы Миллера сформировать систему обозначений в кристаллография для самолетов в кристаллические (Браве) решетки.

В частности, семья плоскости решетки определяется тремя целые числа час, k, иℓ, то Индексы Миллера. Они записываются (hkℓ) и обозначают семейство плоскостей, ортогональных час б 1 + k б 2 + ℓ б 3 < Displaystyle ч mathbf > + к mathbf > + ell mathbf >> , куда б я < displaystyle mathbf >> являются основа из обратная решетка векторов (обратите внимание, что плоскость не всегда ортогональна линейной комбинации векторов прямой решетки час а 1 + k а 2 + ℓ а 3 < Displaystyle ч mathbf <а_ <1>> + к mathbf <а_ <2>> + ell mathbf <а_ <3>>> поскольку векторы решетки не обязательно должны быть взаимно ортогональными). Условно, отрицательные целые числа пишутся чертой, как в 3 для −3. Целые числа обычно записываются младшими членами, т. Е. Их наибольший общий делитель должно быть 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в Рентгеновская кристаллография. В этом случае целые числа не обязательно являются наименьшими, и их можно рассматривать как соответствующие плоскости, разнесенные таким образом, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно на одну длину волны (2π), независимо от того, есть ли атомы на всех эти самолеты или нет.

Есть также несколько связанных обозначений: [1]

В контексте хрусталя направления (не плоскости) соответствующие обозначения:

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждается.

Содержание

Определение

Есть два эквивалентных способа определить значение индексов Миллера: [1] через точку в обратная решетка, или как обратное пересечение вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае нужно выбрать три вектора решетки а₁, а₂, и а₃ которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше, чем примитивная ячейка Решетка Браве, как примеры ниже иллюстрируют). По ним также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначенные б₁, б₂, и б₃).

Тогда, учитывая три индекса Миллера, h, k, ℓ, (hkℓ) обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

То есть (hkℓ) просто указывает на нормаль к плоскостям в основа векторов примитивной обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль всегда является вектором обратной решетки. Требование самых низких сроков означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в заданном направлении.

Эквивалентно (hkℓ) обозначает плоскость, которая пересекает три точки а₁/час, а₂/k, и а₃/ℓ, или несколько таковых. То есть индексы Миллера пропорциональны обратное пересечений плоскости в базисе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (точка пересечения находится «на бесконечности»).

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление:

Случай кубических структур

В частном случае простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаются а), как и обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера (hkℓ) и [hkℓ] просто обозначают нормали / направления в Декартовы координаты.

Для кубических кристаллов с постоянная решетки а, интервал d между соседними (hkℓ) плоскостями решетки (сверху)

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

За гранецентрированная кубическая и объемно-центрированная кубическая решетки, примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера обычно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейка и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональной и ромбоэдрической структур

С шестиугольник и ромбоэдрический решетчатые системы, можно использовать Браве-Миллер система, использующая четыре индекса (час k я ℓ), которые подчиняются ограничению

Здесь час, k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а я является избыточным индексом.

Эта четырехиндексная схема для маркировки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, подобие (110) ≡ (11 2 0) и (120) ≡ (1 1 20) становится более очевидным, когда отображается избыточный индекс.

Это также для этого случая схемы (например, в просвечивающая электронная микроскопия литературу) для индексации гексагональной решетки векторов (а не вектора обратной решетки или плоскости) с четырьмя индексами. Однако они не работают, аналогичным образом добавляя избыточный индекс к обычному трехиндексному набору.

Например, вектор обратной решетки (hkℓ), как предложено выше, может быть записан в терминах векторов обратной решетки как час б 1 + k б 2 + ℓ б 3 < Displaystyle ч mathbf > + к mathbf > + ell mathbf >> . Для гексагональных кристаллов это можно выразить через базисные векторы прямой решетки а₁, а₂ и а₃ в качестве

Обратите внимание, что для гексагональных межплоскостных расстояний они имеют вид

Кристаллографические плоскости и направления

Кристаллографические направления: линии связывающие узлы (атомы, ионы или же молекулы) кристалла. Аналогичным образом кристаллографические самолеты находятся самолеты связывающие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

По всем этим причинам важно определить плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение является физически значимым. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость (abc), на которой «индексы» Миллера а, б и c (как указано выше) не обязательно являются целыми числами.

Если а, б и c имеют рациональный отношений, то это же семейство плоскостей можно записать в терминах целочисленных индексов (hkℓ), масштабируя а, б и c соответственно: разделите на наибольшее из трех чисел, а затем умножьте на наименьший общий знаменатель. Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Особый интерес представляют плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные соотношения, заключается в том, что это плоскости решетки: это единственные плоскости, пересечение которых с кристаллом 2d-периодично.

Для плоскости (abc), где а, б и c имеют иррациональный отношений, с другой стороны, пересечение плоскости с кристаллом нет периодический. Он образует апериодический паттерн, известный как квазикристалл. Эта конструкция в точности соответствует стандартному методу определения квазикристалла «разрезать и спроектировать» с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как Плитка Пенроуза, образованы «разрезами» периодических решеток более чем в трех измерениях, включая пересечение более чем одного такого гиперплоскость.)

Источник