Двоичная система счисления

Содержание:

Вспомним материал по системам счисления. В нём говорилось, что наиболее удобной системой счисления для компьютерных систем является двоичная система. Дадим определение этой системе:

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления, у которой основанием является число 2.

Для записи любого числа в двоичной системе счисления используются всего лишь 2 цифры: 0 и 1.

Общая форма записи двоичных чисел

Для целых двоичных чисел можно записать:

Данная форма записи числа «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: требуется вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Правила сложения двоичных чисел

Основные правила сложения однобитовых чисел

Отсюда видно, что и, как и в десятичной системе счисления, числа, представленные в двоичной системе счисления, складывают поразрядно. Если разряд переполняется, единица переносится в следующий разряд.

Пример сложения двоичных чисел

Правила вычитания двоичных чисел

Но как быть с 0-1=? Вычитание двоичных чисел немного отличается от вычитания десятичных чисел. Для этого используется несколько способов.

Вычитание методом заимствования

Запишите двоичные числа друг под другом – меньшее число под большим. Если меньшее число имеет меньше цифр, выровняйте его по правому краю (так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании).
Некоторые задачи на вычитание двоичных чисел ничем не отличаются от вычитания десятичных чисел. Запишите числа друг под другом и, начиная справа, найдите результат вычитания каждой пары чисел.

Вот несколько простых примеров:

Вычтите цифры в оставшихся столбцах. Теперь это легко сделать (работайте со столбцами, двигаясь, справа налево):

Вычитание методом дополнения

Запишите двоичные числа друг под другом так, как вы записываете десятичные числа при их вычитании. Этот метод используется компьютерами для вычитания двоичных чисел, так как он основан на более эффективном алгоритме.

Однако простому человеку, привыкшему вычитать десятичные числа, этот метод может показаться более сложным (если вы программист, обязательно познакомьтесь с этим методом вычитания двоичных чисел).

Если значность чисел разная, к числу с меньшей значностью слева припишите соответствующее количество 0.

В вычитаемом числе поменяйте цифры: каждую 1 поменяйте на 0, а каждый 0 на 1.

011101₂ → 100010₂.

К полученному вычитаемому прибавьте единицу.

100010₂+ 1₂ = 100011₂

Теперь вместо вычитания сложите два двоичных числа.

Проверьте ответ. Быстрый способ – откройте двоичный онлайн калькулятор и введите в него вашу задачу. Два других метода подразумевают проверку ответа вручную.

1) Переведем числа в двоичную систему счисления:
Допустим, что из числа 101101₂ нужно вычесть 11011₂

2) Обозначим как A число 101101₂ и как B число 11011₂.

3) Запишем числа A и B столбиком, одно под другим, начиная с младших разрядов (нумерация разрядов начинается с нуля).

Источник

Двоичная система счисления

Двоичная система — это один из видов позиционных систем счисления. Основание данной системы равно двум, то есть используется только два символа для записи чисел.

Немного истории

Впервые о данной системе чисел заговорил основоположник математического анализа Г.В. Лейбниц еще в XVII веке. Он доказал, что для данного множества действуют все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и даже деление. Однако вплоть до 30-х годов XX века данную систему не рассматривали всерьез. Но с развитием электронных устройств и ЭВМ, ученые вновь принялись к изучению данной темы, так как двоичная система отлично подходила для программирования и организации хранения данных в памяти компьютеров.

Таблица и алфавит

Кроме того, двоичная система является самой удобной для быстрого перевода в другие системы счисления.

100110₂ = 1 ∙ 2 5 + 0 ∙ 2 4 + 0 ∙ 2 3 + 1 ∙ 2 2 + 1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 0 = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 0 = 38₁₀

Чтобы наоборот перевести число в двоичную из десятичной, необходимо выполнить его деление на 2 с остатком, а затем записать все остатки в обратном порядке, начиная с частного:

Для перевода в другие системы необходимо:

Однако можно воспользоваться и более быстрым и удобным способом: разделить знаки двоичного числа на условные группы слева на право (для восьмеричной — по 3 знака; для шестнадцатеричной — по 4 знака), а затем воспользоваться таблицей перевода:

11001001₂ = 11 001 001 = 011 001 001 = 311₈

11001001₂ = 1100 1001 = С9₁₆

Представление двоичных чисел

В двоичной системе также существует понятие «отрицательных» чисел. И для того, чтобы провести какую-либо операцию с ними в двоичном коде, необходимо представить его в виде дополнительного кода. Запись положительного числа при этом не меняется ни для одного из кодов.

Чтобы найти дополнительный код отрицательного числа, необходимо воспользоваться его прямым и дополнительным кодами.

Прямой код предполагает приписывание единицы в начале без изменений записи:

Для записи обратного кода цифры заменяют на противоположное значение, первую единицу от прямого кода оставляют без изменений:

Дополнительный код предполагает использование обратного кода, с той лишь разницей, что к отрицательному числу прибавляют единицу:

Применение двоичной системы в информатике

Двоичная система получила особое распространение в программировании цифровых устройств, так как она соответствует требованиям многих технических устройств, поддерживающих два состояния (есть ток, нет тока). Кроме того, является более простой и надежной для кодирования информации. Именно поэтому программный код большей части ЭВМ основан именно на двоичной системе счисления.

Источник

Двоичный код.

Кстати, на нашем сайте вы можете перевести любой текст в десятичный, шестнадцатеричный, двоичный код воспользовавшись Калькулятором кодов онлайн.

Видя что-то впервые, мы зачастую задаемся логичным вопросом о том, как это работает. Любая новая информация воспринимается нами, как что-то сложное или созданное исключительно для разглядываний издали, однако для людей, желающих узнать подробнее о двоичном коде, открывается незамысловатая истина – бинарный код вовсе не сложный для понимания, как нам кажется. К примеру, английская буква T в двоичной системе приобретет такой вид – 01010100, E – 01000101 и буква X – 01011000. Исходя из этого, понимаем, что английское слово TEXT в виде двоичного кода будет выглядеть таким вот образом: 01010100 01000101 01011000 01010100. Компьютер понимает именно такое изложение символов для данного слова, ну а мы предпочитаем видеть его в изложении букв алфавита.

На сегодняшний день двоичный код активно используется в программировании, поскольку работают вычислительные машины именно благодаря ему. Но программирование не свелось до бесконечного набора нулей и единиц. Поскольку это достаточно трудоемкий процесс, были приняты меры для упрощения понимания между компьютером и человеком. Решением проблемы послужило создание языков программирования (бейсик, си++ и т.п.). В итоге программист пишет программу на языке, который он понимает, а потом программа-компилятор переводит все в машинный код, запуская работу компьютера.

Перевод натурального числа десятичной системы счисления в двоичную систему.

Чтобы перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную пользуются «алгоритмом замещения», состоящим из такой последовательности действий:

1. Выбираем нужное число и делим его на 2. Если результат деления получился с остатком, то число двоичного кода будет 1, если остатка нет – 0.

2. Откидывая остаток, если он есть, снова делим число, полученное в результате первого деления, на 2. Устанавливаем число двоичной системы в зависимости от наличия остатка.

3. Продолжаем делить, вычисляя число двоичной системы из остатка, до тех пор, пока не дойдем до числа, которое делить нельзя – 0.

4. В этот момент считается, что двоичный код готов.

Для примера переведем в двоичную систему число 7:

1. 7 : 2 = 3.5. Поскольку остаток есть, записываем первым числом двоичного кода 1.

2. 3 : 2 = 1.5. Повторяем процедуру с выбором числа кода между 1 и 0 в зависимости от остатка.

3. 1 : 2 = 0.5. Снова выбираем 1 по тому же принципу.

4. В результате получаем, переведенный из десятичной системы счисления в двоичную, код – 111.

Таким образом можно переводить бесконечное множество чисел. Теперь попробуем сделать наоборот – перевести число из двоичной в десятичную.

Перевод числа двоичной системы в десятичную.

Для этого нам нужно пронумеровать наше двоичное число 111 с конца, начиная нулем. Для 111 это 1^2 1^1 1^0. Исходя из этого, номер для числа послужит его степенем. Далее выполняем действия по формуле: (x * 2^y) + (x * 2^y) + (x * 2^y), где x – порядковое число двоичного кода, а y – степень этого числа. Подставляем наше двоичное число под эту формулу и считаем результат. Получаем: (1 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 4 + 2 + 1 = 7.

Немного из истории двоичной системы счисления.

Источник

Системы счисления. Позиционная система счисления двоичная.

Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде

позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел

позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали

Позиционная система — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры, стандартная 10-я система счисления – это позиционная система. Допустим дано число 453.

Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50,

а 3 — единицы и значению 3. Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение.

Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Двоичная система счисления.

Во всех разрядах возможна лишь одна цифра — или нуль, или единица.

С помощью двоичной системы счисления возможно закодировать всякое натуральное число, представив

это число в виде последовательности нулей и единиц.

Пример: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Двоичную систему счисления, как и десятичную систему счисления, зачастую используют в вычислительной

технике. Текст и числа компьютер хранит в своей памяти в двоичном коде и программным способом преобразует

в изображение на экране.

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

Таблица сложения в двоичной системе счисления:

Таблица вычитания в двоичной системе счисления:

Таблица умножения в двоичной системе счисления:

Преобразование чисел в двоичной системе счисления.

Для преобразования из двоичной системы в десятичную пользуются следующей таблицей степеней

Начиная с цифры один каждая цифра умножается на 2. Точка, стоящая после 1, называют двоичной точкой.

Преобразование двоичных чисел в десятичные.

Пусть, есть двоичное число 110001₂. Для перевода в десятичное записываем его в виде суммы по

разрядам следующим образом:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Немного по другому:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Также хорошо записывать расчет как таблицу:

Двигаемся справа налево. Под всеми двоичными единицами записываем её эквивалент строчкой ниже.

Далее складываем десятичные числа, которые мы получили. Т.о., двоичное число 110001₂ = десятичному 49₁₀.

Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные.

Задание: перевести число 1011010, 101₂ в десятичную систему.

Записываем заданное число в таком виде:

Другой вариант записи:

Либо в виде таблицы:

Преобразование десятичных чисел в двоичные.

Пусть, необходимо перевести число 19 в двоичное. Можем сдеать это таким образом:

То есть, каждое частное делится на 2 и записывается остаток в конец двоичной записи. Деление

продолжается до того момента, когда в частном не будет нуля. Итог пишем справа налево. Т.е. нижняя

цифра (1) будет крайней левой и так далее. Итак, у нас получилось число 19 в двоичной записи: 10011.

Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные.

Когда в заданном числе присутствует целая часть, то ее преобразуют отдельно от дробной. Перевод

дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную происходит следующим образом:

разряда числа в двоичной системе счисления;

достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над

дробной частью произведения.

Пример: Нужно перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.

Переведя целую часть, получаем 206₁₀=11001110₂. Дробная часть 0,116 умножается на основание 2,

заносим целые части произведения в разряды после запятой:

Источник

Двоичное счисление на пальцах

Все знают, что компьютеры состоят из единиц и нулей. Но что это значит на самом деле?

Если у вас в школе была информатика, не исключено, что там было упражнение на перевод обычных чисел в двоичную систему и обратно. Маловероятно, что кто-то вам объяснял практический смысл этой процедуры и откуда вообще берётся двоичное счисление. Давайте закроем этот разрыв.

Эта статья не имеет практической ценности — читайте её просто ради интереса к окружающему миру. Если нужны практические статьи, заходите в наш раздел «Где-то баг», там каждая статья — это практически применимый проект.

Отличный план

Чтобы объяснить всё это, нам понадобится несколько тезисов:

Система записи — это шифр

Если у нас есть девять коров, мы можем записать их как 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 или как 9 × 🐄.

Почему 9 означает «девять»? И почему вообще есть такое слово? Почему такое количество мы называем этим словом? Вопрос философский, и короткий ответ — нам нужно одинаково называть числа, чтобы друг друга понимать. Слово «девять», цифра 9, а также остальные слова — это шифр, который мы выучили в школе, чтобы друг с другом общаться.

Допустим, к нашему стаду прибиваются еще 🐄🐄🐄. Теперь у нас 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄 — двенадцать коров, 12. Почему мы знаем, что 12 — это «двенадцать»? Потому что мы договорились так шифровать числа.

Нам очень легко расшифровывать записи типа 12, 1920, 100 500 и т. д. — мы к ним привыкли, мы учили это в школе. Но это шифр. 12 × 🐄 — это не то же самое, что 🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄🐄. Это некая абстракция, которой мы пользуемся, чтобы упростить себе счёт.

Мы привыкли шифровать десятью знаками

У нас есть знаки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 — всего десять знаков. Этим числом знаков мы шифруем количество единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее.

Мы договорились, что нам важен порядок записи числа. Мы знаем, что самый правый знак в записи означает число единиц, следующий знак (влево) означает число десятков, потом сотен и далее.

Например, перед нами число 19 547. Мы знаем, что в нём есть:

Если приглядеться, то каждый следующий разряд числа показывает следующую степень десятки:

Нам удобно считать степенями десятки, потому что у нас по десять пальцев и мы с раннего детства научились считать до десяти.

Система записи — это условность

Представим бредовую ситуацию: у нас не 10 пальцев, а 6. И в школе нас учили считать не десятками, а шестёрками. И вместо привычных цифр мы бы использовали знаки ØABCDE. Ø — это по-нашему ноль, A — 1, B — 2, E — 5.

Вот как выглядели бы привычные нам цифры в этой бредовой системе счисления:

В этой системе мы считаем степенями шестёрки. Число ABADØ можно было бы перевести в привычную нам десятичную запись вот так:

A × 6 4 = 1 × 1296 = 1296

B × 6 3 = 2 × 216 = 432

1296 + 432 + 36 + 24 + 0 = 1788. В нашей десятичной системе это 1788, а у людей из параллельной вселенной это ABADØ, и это равноценно.

Выглядит бредово, но попробуйте вообразить, что у нас в сумме всего шесть пальцев. Каждый столбик — как раз шесть чисел. Очень легко считать в уме. Если бы нас с детства учили считать шестёрками, мы бы спокойно выучили этот способ и без проблем всё считали. А счёт десятками вызывал бы у нас искреннее недоумение: «Что за бред, считать числом AD? Гораздо удобнее считать от Ø до E!»

То, как мы шифруем и записываем числа, — это следствие многовековой традиции и физиологии. Вселенной, космосу, природе и стадам коров глубоко безразлично, что мы считаем степенями десятки. Природа не укладывается в эту нашу систему счёта.

Двоичная система (тоже нормальная)

Внутри компьютера работают транзисторы. У них нет знаков 0, 1, 2, 3… 9. Транзисторы могут быть только включёнными и выключенными — обозначим их 💡 и ⚫.

Мы можем научить компьютер шифровать наши числа этими транзисторами так же, как шестипалые люди шифровали наши числа буквами. Только у нас будет не 6 букв, а всего две: 💡 и ⚫. И выходит, что в каждом разряде будет стоять не число десяток в разной степени, не число шестёрок в разной степени, а число… двоек в разной степени. И так как у нас всего два знака, то получается, что мы можем обозначить либо наличие двойки в какой-то степени, либо отсутствие:

8 — 💡 ⚫⚫⚫
9 — 💡 ⚫⚫ 💡
10 — 💡 ⚫ 💡 ⚫
11 — 💡 ⚫ 💡 💡
12 — 💡 💡 ⚫⚫
13 — 💡 💡 ⚫ 💡
14 — 💡 💡 💡 ⚫
15 — 💡 💡 💡 💡16 — 💡 ⚫⚫⚫⚫
17 — 💡 ⚫⚫⚫ 💡
18 — 💡 ⚫⚫ 💡 ⚫
19 — 💡 ⚫⚫ 💡 💡
20 — 💡 ⚫ 💡 ⚫⚫
21 — 💡 ⚫ 💡 ⚫ 💡
21 — 💡 ⚫ 💡 💡 ⚫
23 — 💡 ⚫ 💡 💡 💡
24 — 💡 💡 ⚫⚫⚫
25 — 💡 💡 ⚫⚫ 💡
26 — 💡 💡 ⚫ 💡 ⚫
27 — 💡 💡 ⚫ 💡 💡
28 — 💡 💡 💡 ⚫⚫
29 — 💡 💡 💡 ⚫ 💡
30 — 💡 💡 💡 💡 ⚫
31 — 💡 💡 💡 💡 💡32 — 💡 ⚫⚫⚫⚫⚫
33 — 💡 ⚫⚫⚫⚫ 💡
34 — 💡 ⚫⚫⚫ 💡 ⚫
35 — 💡 ⚫⚫⚫ 💡 💡
36 — 💡 ⚫⚫ 💡 ⚫⚫
37 — 💡 ⚫⚫ 💡 ⚫ 💡
38 — 💡 ⚫⚫ 💡 💡 ⚫
39 — 💡 ⚫⚫ 💡 💡 💡
40 — 💡 ⚫ 💡 ⚫⚫⚫
41 — 💡 ⚫ 💡 ⚫⚫ 💡
42 — 💡 ⚫ 💡 ⚫ 💡 ⚫
43 — 💡 ⚫ 💡 ⚫ 💡 💡
44 — 💡 ⚫ 💡 💡 ⚫⚫
45 — 💡⚫💡💡⚫💡
46 — 💡⚫💡💡💡⚫
47 — 💡⚫💡💡💡💡
48 — 💡💡⚫⚫⚫⚫
49 — 💡💡⚫⚫⚫💡
50 — 💡💡⚫⚫💡⚫
51 — 💡💡⚫⚫💡💡
52 — 💡💡⚫💡⚫⚫
53 — 💡💡⚫💡⚫💡
54 — 💡💡⚫💡💡⚫
55 — 💡💡⚫💡💡💡
56 — 💡💡💡⚫⚫⚫
57 — 💡💡💡⚫⚫💡
58 — 💡💡💡⚫💡⚫
59 — 💡💡💡⚫💡💡
60 — 💡💡💡💡⚫⚫
61 — 💡💡💡💡⚫💡
62 — 💡💡💡💡💡⚫
63 — 💡💡💡💡💡💡

Если перед нами число 💡 ⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫, мы можем разложить его на разряды, как в предыдущих примерах:

256 + 0 + 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 332

Получается, что десятипалые люди могут записать это число с помощью цифр 332, а компьютер с транзисторами — последовательностью транзисторов 💡⚫💡⚫⚫ 💡💡⚫⚫.

Если теперь заменить включённые транзисторы на единицы, а выключенные на нули, получится запись 1 0100 1100. Это и есть наша двоичная запись того же самого числа.

Почему говорят, что компьютер состоит из единиц и нулей (и всё тлен)

Инженеры научились шифровать привычные для нас числа в последовательность включённых и выключенных транзисторов.

Дальше эти транзисторы научились соединять таким образом, чтобы они умели складывать зашифрованные числа. Например, если сложить 💡⚫⚫ и ⚫⚫💡, получится 💡⚫💡. Мы писали об этом подробнее в статье о сложении через транзисторы.

Дальше эти суммы научились получать супербыстро. Потом научились получать разницу. Потом умножать. Потом делить. Потом всё это тоже научились делать супербыстро. Потом научились шифровать не только числа, но и буквы. Научились их хранить и считывать. Научились шифровать цвета и координаты. Научились хранить картинки. Последовательности картинок. Видео. Инструкции для компьютера. Программы. Операционные системы. Игры. Нейросети. Дипфейки.

И всё это основано на том, что компьютер умеет быстро-быстро складывать числа, зашифрованные как последовательности включённых и выключенных транзисторов.

При этом компьютер не понимает, что он делает. Он просто гоняет ток по транзисторам. Транзисторы не понимают, что они делают. По ним просто бежит ток. Лишь люди придают всему этому смысл.

Когда человека не станет, скорость света будет по-прежнему 299 792 458 метров в секунду. Но уже не будет тех, кто примется считать метры и секунды. Такие дела.

Источник