Что означает d в арифметической прогрессии

Как вычислить арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия — основные понятия

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность, которая состоит из ряда чисел.

В этом ряду каждое последующее число есть результат добавления к предыдущему одного и того же числа d. В случае, если \(d\;>\;0,\) последовательность называется возрастающей, а если \(d\; — убывающей. В ситуации, если d = 0 последовательность стационарна.

Наиболее простым примером арифметической прогрессии будет являться бесконечная последовательность натуральных чисел.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Число d является разностью арифметической прогрессии или шагом, а числа последовательности — членами прогрессии.

Последовательность \(\) будет являться арифметической прогрессией исключительно в тех случаях, когда любой ее член, начиная со второго, будет равняться полусумме последующего и предыдущего членов:

Если говорить об арифметической прогрессии, то для всех n = 2, 3. справедливо:

Вычисление каждого следующего члена арифметической прогрессии возможно с использованием следующей формулы:

Формула общего члена для расчета любого из членов прогрессии выглядит следующим образом:

Общий вид арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, которая имеет следующий вид:

Каждую арифметическую прогрессию можно задать формулой вида:

Свойства и формулы арифметической прогрессии

Разность арифметической прогрессии вычисляется по следующей формуле:

Существует несколько формул для нахождения членов арифметической прогрессии с номером n:

В обоих случаях \(a_1\) будет обозначать первый член прогрессии, d здесь будет являться разностью прогрессии, а a_m обозначает член арифметической прогрессии с номером m.

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется с использованием следующих формул:

В данной формуле \(a_1\) является обозначением первого члена прогрессии, \(a_n\) — обозначением члена прогрессии с номером n, а n — обозначением суммируемых членов прогрессии.

Дополнительно к предыдущим обозначениям в этой формуле d — это шаг прогрессии, а n — число суммируемых членов прогрессии.

Вывод этой формулы выглядит следующим образом:

Предоставим объяснение того, что выражения, заключенные в скобки, равны как между собой, так и выражению \(a_1 + a_n\) :

Тогда мы можем записать:

Из этого выводится формула, дающая в результате сумму первых n членов арифметической прогрессии:

Еще одно свойство арифметической прогрессии — сходность. Арифметическая прогрессия будет являться расходящейся при \(d\;\neq0\) и сходящейся при d = 0.

Арифметическая прогрессия второго порядка

Последовательность чисел, при которой последовательность разностей образует арифметическую прогрессию, будет называться арифметической прогрессией второго порядка.

Сумма квадратов арифметической прогрессии

Источник

Арифметическая прогрессия (ЕГЭ 2022)

Знаменитый ученый Карл Гаусс однажды сказал:

«Ничего не сделано, если что-то осталось недоделанным.»

Поэтому давай сейчас разберем одну из важнейших тем алгебры – арифметическую прогрессию.

А если остались какие-то пробелы, заполним их.

Кстати, Гаусса мы вспомнили не просто так 🙂

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Определение арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна \( \displaystyle d\).

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (\( \displaystyle d>0\)) и убывающей (\( \displaystyle d Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:

Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:

Сумма членов арифметической прогрессии:

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: \( \displaystyle 4,\text< >7,\text< >-8,\text< >13,\text< >-5,\text< >-6,\text< >0,\text< >\ldots \)

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их \( \displaystyle 7\)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и \( \displaystyle n\)-ное число) всегда одно.

Число с номером \( \displaystyle n\) называется \( \displaystyle n\)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, \( \displaystyle a\)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: \( \displaystyle <_<1>>,\text< ><_<2>>,\text< >…,\text< ><_<10>>,\text< >…,\text< ><_>\).

Арифметическая прогрессия — определения

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (\( \displaystyle 3;\text< >7;\text< >11;\text< >15;\text< >19\ldots \)) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Способ I

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

Способ II

А что если нам нужно было бы найти значение \( \displaystyle 140\)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика!

Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка.

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа.

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение \( \displaystyle 4\)-го члена данной арифметической прогрессии:

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена \( \displaystyle n=6\) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли \( \displaystyle d\) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

Кстати, таким образом мы можем посчитать и \( \displaystyle 140\)-ой член данной арифметической прогрессии (да и \( \displaystyle 169\)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).

Попробуй посчитать значения \( \displaystyle 140\)-го и \( \displaystyle 169\)-го членов, применив полученную формулу.

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего.

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего.

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Проверим это на практике.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: \( \displaystyle 13;\text< >8;\text< >4;\text< >0;\text< >-4.\)

Проверим, какое получится \( \displaystyle 4\)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение \( \displaystyle d\) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти \( \displaystyle 140\)-ой и \( \displaystyle 169\)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

\( \displaystyle 4;\text< >x;\text< >12\ldots \) — арифметическая прогрессия, найти значение \( \displaystyle x\).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

Получается, мы сначала находим \( \displaystyle d\), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое \( \displaystyle x\).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа \( \displaystyle 4024;

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на \( 2\).

Попробуем посчитать значение \( x\), используя выведенную формулу:

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение \( x\) для прогрессии \( \displaystyle 4024;

x;6072\) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!

Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 40\) (по другим источникам до \( \displaystyle 100\)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из \( \displaystyle 6\)-ти членов: \( \displaystyle 6;\text< >8;\text< >10;\text< >12;\text< >14;\text< >16…\)

Нам необходимо найти сумму данных \( \displaystyle 6\) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму \( \displaystyle 100\) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть \( \frac<6><2>=3\).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна \( 22\), а подобных равных пар \( 3\), мы получаем, что общая сумма равна:

\( \displaystyle S\text< >=\text< >22\cdot 3\text< >=\text< >66\).

Таким образом, формула для суммы первых \( \displaystyle n\) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

В некоторых задачах нам неизвестен \( \displaystyle n\)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу \( \displaystyle n\)-го члена. \( <_>=<_<1>>+d\left( n-1 \right)\)

Что у тебя получилось?

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма \( \displaystyle 40\) чисел, начиная от \( \displaystyle 1\)-го, и сумма \( \displaystyle 100\) чисел начиная от \( \displaystyle 1\)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма \( \displaystyle 100 \) членов равна \( \displaystyle 5050\), а сумма \( \displaystyle 40 \) членов \( \displaystyle 820\).

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется \( \displaystyle 6\) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

\( \displaystyle 6;\text< >5;\text< >4;\text< >3;\text< >2;\ 1\).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии \( \displaystyle

Количество членов арифметической прогрессии \( \displaystyle=6\).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

Способ 2.

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Молодец, ты освоил сумму \( \displaystyle n\)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из \( \displaystyle 6\) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из \( \displaystyle 60\)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Верный ответ – \( \displaystyle 1830\) блоков:

Источник

Арифметическая прогрессия: что это такое?

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число.

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

Готово! Задача решена.

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

Однако эти равенства можно переписать иначе:

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

\[\begin & f\left( d \right)=11\left( <^<2>>+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11<^<2>>+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end\]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Далее распишем сумму первого, второго и последнего из вставленных чисел:

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

Осталось лишь найти остальные члены:

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

Источник