Что означает дифференцируемая функция

Дифференцируемые функции в точке – определение и свойства

Определение дифференцируемой функции

Как мы увидим ниже, определение дифференцируемой функции одной переменной эквивалентно существованию ее производной. Тогда возникает вопрос – почему нельзя сразу дать определение, что дифференцируемая функция – это функция, имеющая производную?

Ответ на этот вопрос раскрывается при рассмотрении функций нескольких переменных. Дело в том, что производные вычисляются только от функций, зависящих от одной переменной. Для функций двух и более переменных, вначале выбирают направление приближения к заданной точке (например, ось x или ось y ), а затем по этому направлению вычисляют производную. Поэтому в любой точке имеется бесконечное множество производных по различным направлением. Из-за этого производные не фигурируют в определении дифференцируемой функции.

Свойства дифференцируемой функции

Таким образом, в случае функции от одной переменной, дифференцируемость функции в точке эквивалентно существованию производной в этой точке. Забегая вперед укажем, что в случае функций многих переменных, для того чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо, чтобы она имела в этой точке частные производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке непрерывные частные производные.

Доказательства теорем

Связь дифференцируемости функции с существованием производной

В нашем случае это означает, что
.
Отсюда
.

Связь дифференцируемости функции с ее непрерывностью

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник

Дифференцируемая функция

Из Википедии — свободной энциклопедии

Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.

Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется её дифференциалом (в данной точке).

Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке. [1]

В случае функции комплексной переменной дифференцируемость в точке часто называется моногенностью и существенно отличается от понятия дифференцируемости в вещественном случае. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки, называется голоморфной в этой точке. [2] [3]

В функциональном анализе существует обобщение понятия дифференцирования на случай отображений бесконечномерных пространств — производные Гато и Фреше.

Обобщением понятия дифференцируемой функции являются понятия субдифференцируемых, супердифференцируемых и квазидифференцируемых функций.

Источник

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в некоторой точке x₀, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Если , то ,

где α бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0. Но тогда

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0). В точке A графика нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к₁ и к₂. Такой тип точек называют угловыми точками. В точке b при Δx→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет вертикальную касательную. Тип точки – «точка перегиба» c вертикальной касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиеся вертикальные касательные. Тип – «точка возврата» с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Пример.

Покажем, что она не имеет производной в этой точке.

Т.о., отношение при Δx→ 0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически это значит, что в точке x= 0 данная «кривая» не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

Источник

Что означает дифференцируемая функция

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Производной функции y = f ( x ) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y =| x | в точке x =0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x = φ ( y ) также дифференцируема на этом интервале, при этом:

По определению производной можно записать:

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табли чных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:

где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:

Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:

Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Источник

Дифференцируемость

Оглавление

Действительные функции действительной переменной

Определения

Пояснения

Дифференцируемость следует за непрерывностью : каждая функция, которую можно дифференцировать в одной точке, также непрерывна там. Каждая функция, которую можно дифференцировать в своей области определения, непрерывна. Обратное неверно. Все перечисленные ниже недифференцируемые функции являются непрерывными.

Примеры дифференцируемых функций

Примеры недифференцируемых функций

Поскольку каждая дифференцируемая функция является непрерывной, наоборот, каждая разрывная функция (например, ступенчатая функция или функция Дирихле ) является примером недифференцируемой функции. Но есть также функции, которые непрерывны, но дифференцируемы не везде или не везде.

Корневая функция

Функция суммы

и левая производная

Это типичное поведение для функций, определенных в разделах, где значения функций совпадают на интерфейсах, но не производные. Напротив, графики дифференцируемых функций не имеют изломов.

Третий пример

непрерывна в точке 0, но не дифференцируема (но везде). Следующее относится к коэффициенту разницы в точке 0.

Функция Вейерштрасса

Функция Вейерштрассе названа в честь первооткрывателя

везде постоянна, но нигде не дифференцируема.

Винеровский процесс

Постоянная дифференцируемость и высшие производные

но не является непрерывным в 0.

Сложные функции

Действительные функции нескольких переменных

Частичная дифференцируемость

существует. Итак, вы рассматриваете все переменные, кроме как постоянные, и рассматриваете функцию переменной, полученную таким образом. Икс я <\ displaystyle x_ >

Частичная дифференцируемость не приводит к непрерывности, а только в направлении осей координат.

Производная по направлению

Полная дифференцируемость

Полностью дифференцируемая функция также непрерывна.

В новейшей математической литературе в основном говорят просто о дифференцируемости, а не о полной дифференцируемости. Полная производная также называется дифференциалом.

Связь между различными концепциями дифференцируемости

Инверсии не применяются:

Другое дело, если допустить не только существование, но и непрерывность частных производных.

Поэтому непрерывно частично дифференцируемые функции называют просто непрерывно дифференцируемыми. Здесь тоже не действует обратное:

В целом применимо следующее:

непрерывная частичная дифференцируемость ⇒ полная дифференцируемость ⇒ дифференцируемость по каждому направлению ⇒ частичная дифференцируемость,

однако все обратное неверно.

Примеры

Контрпримеры

Частично дифференцируемые, но не непрерывные и не все производные по направлениям

частично дифференцируема и непрерывна в точке (0,0). Существуют все односторонние производные по направлениям, но кроме координатных направлений, а не двусторонних.

Односторонние, но не двусторонние направленные деривации

Предельное значение существует только с одной стороны, поэтому производные по направлению с обеих сторон не существуют. В частности, функция также не является частично дифференцируемой.

Все производные направления существуют, но не определяют линейное отображение

Здесь существуют все производные по направлениям, для которых применяются частные производные.

Все производные по направлениям существуют и определяют линейное отображение, но не полностью дифференцируемое.

— нулевое отображение, поэтому тривиально линейно.

Полностью дифференцируемый, но не непрерывно частично дифференцируемый

Эта функция моделируется на основе соответствующего примера функции переменной, проверка в основном такая же, как и там.

Отображения между конечномерными векторными пространствами

Функции и отображения в бесконечномерных векторных пространствах

Дифференцируемость по Гато

если предел существует.

Существует несколько несовместимых соглашений для термина дифференцируемость по Гато :

Дифференцируемость по Фреше

Подключения

Дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями

Дифференцируемость образов между дифференцируемыми многообразиями объясняется дифференцируемостью их отображений. Здесь следует исходить из согласованности.

Аналогичным образом определяется комплексная дифференцируемость комплекснозначных функций на комплексных многообразиях и отображений между комплексными многообразиями.

Продление срока

Следующие понятия являются обобщениями дифференцируемости:

Источник