Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
Таблица числовых промежутков
Неравенство
Графическое решение
Форма записи ответа
x c
Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств:
№1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
− 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 )
№2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14.
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14
6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4
x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).
Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).
№1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ).
Решение:
Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.
x + 6 − 9 x > − 8 x + 48
Квадратные неравенства
Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.
Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Примеры решения квадратных неравенств:
№1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12.
Решение:
Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0.
D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№5. Решить неравенство x 2 4.
Решение:
Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.
( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2
x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
№6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0.
Решение:
Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0.
x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1
x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ )
Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.
Дробно рациональные неравенства
Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).
Примеры дробно рациональных неравенств:
x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3
Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Примеры решения дробно рациональных неравенств:
№1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
№2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0
3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0
3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
− 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ )
№3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0.
Решение:
Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +.
Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.
Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
Системы неравенств
Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы неравенств:
Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств:
№1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный.
Графическая интерпретация решения:
Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
№2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Графическая интерпретация решения:
№3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.
№4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2
Решение:
Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов.
D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16
Именная карта банка для детей с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Сравнение чисел
Если выбрать любые два различных числа, то одно из них обязательно окажется больше другого. Например, 15 больше, чем 12. Для записи этого факта используются специальные знаки. Символ « », означает «больше». Помимо них для сравнения чисел используются символы «⩾» (больше или равно) и «⩽» (меньше или равно).
Выражения, содержащие знаки сравнения, называются неравенствами. Иногда в учебной литературе может использоваться сокращение: нер-во.
Сравнивать натуральные числа очень легко, однако при сравнении отрицательных, дробных, иррациональных чисел могут возникнуть проблемы. Существует универсальный способ сравнивать числа между собой, основанный на использовании координатной прямой.
Можно заметить, что чем больше число, тем правее оно располагается на координатной прямой. Это правило действует для всех действительных чисел.
Отметим на прямой два числа, а и b, а также расстояние между ними (буква c):
b располагается правее а, а потому
Расстояние между ними равно c, причем с – положительное число. Очевидно, что
Перенося слагаемые через знак равенства, можно получить
Получается, что при вычитании из большего меньшего получается положительное число. Если же уменьшаемое меньше вычитаемого, то их разность – отрицательное число. На этом факте основан один из способов сравнения чисел. Чтобы узнать, какое из двух чисел больше, надо лишь вычесть их друг из друга и проанализировать знак получившейся разности.
Пример. Сравните дроби 29/35 и 33/40
Получили положительное число. Значит, уменьшаемое больше вычитаемого.
Свойства неравенств
Рассмотрим основные свойства числовых неравенств, которые в дальнейшем помогут нам решать некоторые задачи.
Докажем это. Если а >b, то тогда и разность (a –b) является положительным числом:
умножив части равенства на (– 1), получим:
Так как разность (b– a)оказалась равна отрицательному числу (– с), тоb
Для доказательства этого очевидного факта используем координатную прямую:
Ясно, что если b>a, то оно располагается правее. Аналогично и с располагается правее b, так как с >b. Видно, что тогда сбудет находиться правее а, то есть оно больше.
Свойство транзитивности позволяет использовать так называемые двойные неравенства. Например, нам надо указать, что 25 меньше 48, а 48 меньше 94. Это можно записать в виде одного неравенства:
Следующее свойство неравенств позволяет их складывать:
Докажем эту теорему. Найдем разность чисел (а + c) и (b + d):
(а + c) – (b + d) = а + с – b – d = (a– b) + (b– d)
Получили сумму двух слагаемых, (a– b) и (b– d). Каждое из них является отрицательным числом, так как a 25
В одном стоит знак «меньше», а в другом «больше», поэтому сразу их складывать нельзя. Сначала «перевернем» второе неравенство
Пример. Пете надо купить 2 килограмма бананов и пакет молока. Он точно знает, что пакет молока стоит в разных магазинах от 65 до 80 рублей, а стоимость килограмма бананов колеблется от 54 до 69 рублей. Помогите Пете оценить, сколько денег он потратит в магазине.
Решение. Обозначим буквой h стоимость килограмма бананов, а через k – цену пакета молока. Затраты Пети составят 2h + k, при этом можно написать следующие оценки:
Решение. Запишем очевидно верное неравенство
Добавим к нему число 11:
Число 11 больше 5, поэтому можно записать:
Пример. Докажите, что неравенство
n 2 – 8n + 19> 0
справедливо для любогоn.
В левой части стоит квадратный трехчлен, попытаемся преобразовать его с помощью формулы квадрата суммы:
n 2 – 8n + 19 = n 2 – 2•4n + 19 = n 2 – 2•4n +16 – 16 + 19 =
= (n 2 – 2•4n + 4 2 ) – 16 + 19 = (n– 4) 2 + 3
Величина (n – 4) 2 является неотрицательным числом, поэтому сумма (n – 4) 2 + 3 никак не меньше трех, то есть положительна.
Иногда для доказательства числового неравенства можно определить знак разности выражений, стоящих в правой и левой части.
Пример. Докажите, что при любом значении переменных выполняется условие
Решение. Запишем разность выражений, стоящих в неравенстве, а потом преобразуем ее:
2ut – (u 2 + t 2 ) = 2ut – u 2 – t 2 = – (u 2 – 2ut + t 2 ) = – (u – t) 2
Разность получилась неположительной. Значит, между уменьшаемым и вычитаемым можно поставить знак «⩽»:
Полученное выражение означает, что удвоенное произведение двух чисел не превосходит сумму их квадратов. Этот факт мы используем при решении следующего задания.
Пример. Докажите, что
d 2 +s 2 +m 2⩾ds +dm +sm
Решение. В предыдущем примере мы установили, что сумма квадратов чисел больше или равна их двойному произведению, поэтому можно записать:
Сложим полученные неравенства:
(d 2 + s 2 ) + (s 2 + m 2 ) + (d 2 + m 2 ) ⩾2ds + 2sm + 2dm
2d 2 + 2s 2 + 2m 2 ⩾2ds + 2sm + 2dm
Осталось поделить на два это неравенство:
d 2 + s 2 + 2m 2 ⩾ds + sm + dm
Решение неравенств с одной переменной
Очевидно, что не все неравенства справедливы при любом значении входящих в них переменных. Так, нер-во
справедливо для х = 3 (так как 3 – 2 > 0), но несправедливо при х = 1. Такие выражения называют неравенствами с одной переменной. Его решением называют значение переменной, при подстановке которого получается справедливое числовое неравенство.
Так, 3 – это одно из решений для нер-ва
ведь при его подстановке получается справедливое числовое нер-во
Чтобы решить нер-во, надо указать сразу ВСЕ решения для него. Однако стоит заметить, что почти всегда нер-во, в отличие от уравнения, имеет бесконечное количество решений. Так, решением для нер-ва
является не только число 3, но также числа 4, 5, 6, 7, 8, и т.д. Более того, подойдут и дробные числа, например, 2,5; 2,6; 2,61 и т.д. Поэтому для указания решения нер-в используются особые математические объекты – числовые промежутки.
Отметим на координатной прямой числа а и b, а также точку с, лежащую между ними. Все числа, расположенные между ними, образуют множество, которое называют числовым промежутком:
Числовой промежуток обозначается скобками, в которых указаны его граничные точки: (а;b). В данном случае скобки круглые, это означает, что сами числа a и b НЕ входят в это множество. По этой причине концы промежутка на рисунке показаны незакрашенными точками, которые ещё называют «выколотыми».
Если некоторое число c располагается между числами a и b, то говорят, что с принадлежит промежутку (а; b). Записывается это так:
Естественно, что с принадлежит промежутку в том случае, если выполняется неравенство
Отметим на числовой прямой число 20 и всё множество решений этого нер-ва:
Решением нер-ва будет промежуток (20; + ∞)
Введем понятие равносильных неравенств:
Более сложные нер-ва можно свести к более простым, но равносильным им, с помощью нескольких приемов:
Эти способы основаны на свойствах нер-в и очень сильно напоминают способы преобразований уравнений. Рассмотрим их использование на примере.
Пример. Найдите решение неравенства с одной переменной
х + 10 > 18
Перенесем слагаемое 10 вправо, изменив его знак на противоположный:
Получили нер-во, решением которого является интервал (8; + ∞):
Пример. Решите нер-во
5у⩾ 20
Решение. Поделим обе части на число 5. Оно положительное, а потому знак нер-ва не меняется:
Решением этого нер-ва будет интервал [4; + ∞)
Пример. Найдите значения переменной, при которых верна запись
–6z > 42
Решение. Поделим нер-во на (– 6). Так как это число отрицательное, то знак неравенства изменится на противоположный:
Решение. Перенесем слагаемое 26 вправо:
Теперь поделим на 12 правую и левую часть:
Для нер-ваk> 10 решением является промежуток
Пример. Решите нер-во
9(h + 2) + 21 10 (штриховка сверху) и х 0
Первый шаг – заменим знак «>» на «=»:
Получили уравнение. Вспомним правило: произведение множителей равно нулю, если хоть один из них равен нулю. Поэтому
х – 5 = 0 или х – 7 = 0 или 4 – 2х = 0
Решим каждое из трех полученных линейных уравнений:
Получили корни 2, 5 и 7. Отметим их на координатной прямой:
Эти точки разбивают числовую прямую на 4 промежутка:
В исходном неравенстве слева стоит произведение (х – 5)(х – 7)(4 – 2х). Определим его знак на каждом из этих 4 интервалов. Для этого достаточно взять одно число из интервала и подставить его в выражение:
Теперь поставим на числовой прямой знаки, соответствующие каждому интервалу:
Так как в исходном неравенстве стоял знак «>», то в ответ надо записать объединение тех интервалов, на которых левая часть принимает положительные значения.
В этом примере можно заметить, что знаки в интервалах чередовались. Так и должно происходить в том случае, если каждый из множителей в левой части является многочленом первой степени. Напомним, что многочлен 1-ой степени – это выражение вида ах + с, например:
Пример. Определите, при каких значениях переменной полином
х 2 – 8х + 12
принимает отрицательные значения.
Решение. По сути, нам надо решить нер-во
х 2 – 8х + 12 2 – 8х + 12 = 0
D = (– 8) 2 – 4•1•12 = 64 – 48 = 16
Зная х1 и х2, можем записать, что
х 2 – 8х + 12 = (х – х1)(х – х2) = (х – 2)(х – 6)
Перепишем исходное нер-во:
К нему уже можно применить метод интервалов (так как в левой части стоит произведение):
х – 2 = 0 или х – 6 = 0
Естественно, что мы получили те же корни, что и при решении квадратного уравнения выше. Отметим корни на прямой и определим значение трехчлена на каждом из полученных интервалов:
На промежутке (– ∞; 2) при х = 1 имеем (1 – 2)(1 – 6) = (– 1)•(– 5) = 5
Промежуток (2; 6): при х = 3 получаем (3 – 2)(3 – 6) = 1• (– 3) = – 3
На промежутке (6; + ∞) при х = 7 получается (7 – 2)(7 – 6) = 5•1 = 5
В итоге трехчлен отрицателен тогда, когда х принадлежит интервалу (2; 6).
· Листки с тестами для КОД (контрольно-оценочной деятельности);
Этапы урока, содержание (задания)
Деятельность учителя (описание, прямая речь)
Деятельность учащихся (описание, предполагаемые ответы)
Формы, методы и приемы обучения
1. Организационный момент.
Приветствует учащихся. Проверяет готовность к уроку.
Проверьте, чтобы у вас на партах был учебник и рабочая тетрадь.
Начинается урок, Он пойдет ребятам впрок. Постарайтесь все понять, Учитесь тайны открывать, Ответы полные давать, Чтоб за работу получать Только лишь отметку «пять»!
Приветствуют учителя. Проверяет свою готовность к уроку.
КУУД – вступать в диалог с учителем
2. Актуализация знаний.
Давайте проверим ваши знания с прошлых уроков.
Что такое неравенство?
Что мы называем множеством решений неравенства?
Давайте вспомним, какие виды решений неравенства существуют. Множество решений, бесконечное множество решений и пустое множество решений.
— Что значит пустое множество?
Теперь я вам представлю три неравенства, скажите в каком неравенстве множество решений, в каком бесконечное множество решений, а в каком пустое множество решений?
Я буду говорить неравенства словами, а вы будете записывать его цифрами.
а) 15 меньше или равно 34
б) 72 больше или равно 27
Какие знаки используются при решении неравенств?
Внимательно слушают учителя.
Отвечают на вопросы.
— выражение, показывающее, что одна величина больше или меньше другой
Во множестве нет элементов.
— пустое множество решений
— бесконечное множество решений
Слушают учителя. Выполняют задание.
Выходят к доске желающие и записывают неравенства под диктовку.
— Используются знаки « », «=» и «≤», и «≥».
Словесный (беседа, рассказ), наглядный (доска, рабочая тетрадь), практический (работа у доски, в тетради; ответы на вопросы)
КУУД – формулировать собственное мнение, вступать в диалог с учителем, учитывать мнение других;
РУУД – принимать и сохранять учебную задачу, планировать свои действия;
ЛУУД – интерес к новому содержанию;
Давайте запишем число и классная работа.
Обратите внимание, сейчас я запишу на доске выражение :
Ребята, а что я записала?
А что в нем не так?
Правильно, ребята! Как вы думаете, как называются такие неравенства, в которых два знака?
Кто сможет назвать тему нашего урока?
Правильно. Мы будем говорить о двойном неравенстве.
Ознакомляет с новым материалом с помощью практической работы.
Откройте учебник на странице 10. Давайте прочитаем 1 задание. Я читаю, слушайте внимательно.
О чем говорится в задании?
Отметьте на числовом луче эти числа.
Какие это числа? Назовите их.
Правильно. Напишите карандашиком в учебнике эти числа. Как вы думаете, как можно записать это множество с помощью знаков неравенства? Числа 4, 5, 6 можно заменить буквой х, то есть она будет обозначать числа от 4 до 6. Это будет выглядеть так:
Запишите себе это неравенство в тетрадь.
Теперь давайте, ознакомимся с правилом в учебнике в рамочке.
Я читаю, вы слушаете. Прочитайте каждый про себя данное правило.
— Кто может объяснить: Что такое двойное неравенство?
Почему неравенство называется двойным?
Как читают двойное неравенство, например, из нашего правила.
Какие числа будут являться решением неравенства?
Почему именно эти числа?
Правильно. Обратите внимание на линейку, мы видим, что нам нужны числа больше 5, но меньше 10. Еще раз назовите эти числа.
А что происходит, если в записи двойного неравенства используется, к примеру, знак «больше или равно»? Да, конечно. Обратите внимание на двойные неравенства, что мы видим?
Открывают учебник на нужной странице и внимательно слушают чтение задания учителя.
— Нам нужно отметить на числовом луче множество чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 7.
Слушают учителя и записывают выражение в тетрадь.
Учащиеся смотрят на страницу 10 и слушают правило, прочтенное учителем. Далее читают каждый про себя данное правило.
— Например, арбуз. В правиле сказано, что он тяжелее одной 5-килограммовой гири, но легче двух таких гирь. Как показано на картинке. Значит масса арбуза заключена в промежутке от 5 кг до 10 кг. И чтобы не писать два неравенства, пишут одно двойное неравенство.
— Потому что в нем объединили два неравенства.
— х больше пяти и меньше десяти.
Потому что они входят в промежуток между числами 5 и 10.
Смотрят на линейку в правиле и отвечают: 6, 7, 8, 9.
— Множество решений расширяется.
— Что когда появляется знак «меньше или равно», то число, которое меньше, тоже входит во множество решений данного неравенства.
Словесный (беседа, рассказ, рассуждение), наглядный (учебник, доска, презентация), практический (выполнение заданий по новому материалу
КУУД – вступать в диалог с учителем и одноклассниками, формулировать собственное мнение, учитывать мнение других;
РУУД – принимать и сохранять учебную задачу, планировать этапы решения задачи;
— устанавливать зависимости, соотношения между объектами в процессе наблюдения и сравнения;
— находить сходства, различия, закономерности;
ЛУУД – интерес к новому содержанию.
Учитель показывает движения со словами:
Поворот, наклон, прыжок,
Улыбнись давай, дружок.
Еще попрыгай: раз, два, три!
На соседа посмотри,
Руки вверх и тут же вниз
И за парту вновь садись.
Организует выполнение гимнастики для глаз
Повторяют движения за учителем под стихотворение.
Выполняют гимнастику для глаз по упражнениям презентации
Давайте выполним задание на странице 10, №2. Прочитай неравенства. Первый ряд начинает читать, остальные слушают.
Молодцы! Справились с заданием. Следующее задание №3. Прочитайте задание про себя.
Что от нас требуют в задании?
Хорошо. Два человека идут к доске, остальные решают у себя в тетради и позже мы проверим, что у вас получилось. Итак, что получилось у ребят? Проверяем.
Молодцы! Присаживайтесь. Справились с трудным заданием. Впереди ждет еще одно задание под номером 5. Прочитайте задание.
Что нужно сделать в задании?
Хорошо. Два человека выходят к доске и записывают неравенства. Один под буквами а и б, другой – под буквами – в и г. Каждый выполняет задание в тетради, и потом мы проверим, что у вас получилось. Приступайте. Смотрим на доску и проверяем.
У всех такие равенства получились?
Молодцы! Мы справились с еще одним трудным и интересным заданием.
Открывают учебник на странице 10. Читают неравенства по цепочке.
— а больше 7 и меньше 12;
— b больше 15 и меньше или равно 96 и т.д.
— Замени двойное неравенство двумя неравенствами.
— Заменить двойные неравенства двумя неравенствами.
Двое идут к доске и пишут неравенства.
— Первое неравенство делится на: х больше или равно 9, а второе: х меньше 18.
— у больше 3 и второе: у меньше или равно 11.
Смотрят и читают задание №5.
— Записать двойные неравенства.
Выходят к доске и работают, остальные выполняют задание в тетради.
— 5 “больше или равно» k
— 10 m “меньше или равно» 25 и т.д.
Словесный (беседа, рассказ), наглядный (учебник, доска, дидактический материал), практический (выполнение заданий в учебнике и в тетради)
КУУД – формулировать собственное мнение;
РУУД – принимать и сохранять учебную задачу, планировать этапы решения задачи;
ЛУУД – интерес к новому содержанию.
7. Самостоятельная работа.
Теперь я проверю, как вы усвоили наш сегодняшний материал, самостоятельно задание 5.
Получают карточки, подписывают их и решают задания.
КУУД – формулировать собственное мнение, учитывать другие мнения; ЛУУД – интерес к новому содержанию.
Мне хочется узнать, как вы оцените свою работу. В этом мне помогут смайлики разного цвета.
На партах лежат смайлики разных цветов.
Я рада, что вы честно оценили свою работу.
Дети оценивают свою работу на уроке.
Словесный (беседа), наглядный (дидактический материал), практический (работа с карточками)
КУУД – вступать в диалог с учителем; РУУД – адекватно воспринимать оценку учителя и сверстников, принимать и сохранять учебную задачу
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА «РАБОЧАЯ ПРОГРАММА для индивидуальных занятий по математике с одарёнными учащимися для 7-8 классов»
Презентация на тему «Особенности работы с учащимися ОВЗ при обучении математике в 5-6 классах»
Презентация » Приемы развивающего обучения на уроках математики»
Рабочая программа «Математика» (1, 2 курс)
Исследовательская работа по теме: «Лабиринты»
Презентация по математике на тему «Натурал сонларни туб кўпайтувчиларга ажратиш» (5 класс)
«Общеразвивающая программа дополнительного образования
Презентация по математике на тему «Решение уравнений» (6 класс)
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из 5411625 материалов.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Дума проведет расследование отклонения закона о школьных онлайн-ресурсах
Время чтения: 2 минуты
Петербургский Политех перевел студентов на дистанционку
Время чтения: 1 минута
В Хабаровском крае введут уроки по вакцинации в некоторых школах и колледжах
Время чтения: 1 минута
ЕГЭ в 2022 году пройдет в доковидном формате
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
