Что означает если дискриминант равен 0

Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^<2>-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если \(D\) равен нулю – только один корень;
— если \(D\) отрицателен – корней нет.

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_<1>\) и \(x_<2>\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt\)

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt<-11>\), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Источник

Дискриминант
квадратного уравнения

Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

I случай
D > 0
(дискриминант больше нуля)

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: x₁ = 1; x₂ = −3

II случай
D = 0
(дискриминант равен нулю)

D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0

x_1;2 =

x_1;2 =

x_1;2 =

x =

x =

Ответ: x =

III случай
D
(дискриминант меньше нуля)

D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D

x_1;2 =

x_1;2 =

Ответ: нет действительных корней

Источник

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Квадратный многочлен, как искать его корни

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

Варианты расчётов для закрепления материала

Использование дискриминанта в вычислении корней

Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:

Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:

Некоторые частные случаи

В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

Если свободный член нулевой, то корни будут

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени

Важно отметить, что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на «i». Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.

Чётный второй множитель

Более высокий порядок дискриминанта

Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

Источник

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Ответ: корень уравнения 3.

Разобраться в решении квадратных уравнений на практике с классным преподавателем можно на курсах по математике в Skysmart.

Источник

Почему мы приравниваем квадратные уравнения к нулю?

Простой ответ на ваш вопрос: чтобы ты мог найти корни. Очень часто нужно знать, когда уравнение (квадратное или другое) равно нулю. Вот почему вы устанавливаете его на ноль и решаете.

В связи с этим, что это значит, если дискриминант равен 0?

Если дискриминант равен 0, квадратное уравнение имеет 1 действительное решение. Если дискриминант меньше 0, квадратное уравнение имеет 0 вещественных решений. (Вместо реальных решений квадратное уравнение имеет 2 мнимых решения.)

В связи с этим, почему мы решаем квадратные уравнения?

Уравнение используется для поиска фигур, кругов, эллипсов, парабол и т. Д. … Он также используется для проектирования любого объекта, имеющего кривые и любую конкретную изогнутую форму, необходимую для проекта. Военные используют квадратное уравнение, когда они хотят предсказать, где артиллерийские снаряды поражают землю или цель при выстреле из пушек.

Кроме того, может ли ноль быть решением квадратного уравнения?

Вы можете использовать принцип нулевого произведения для решения квадратных уравнений в форме ax 2 + bx + c = 0.

Что делать, если дискриминант равен 0? Если дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных одинаковых корня. Следовательно, есть два действительных, одинаковых корня квадратного уравнения x 2 + 2x + 1. D> 0 означает два действительных различных корня.

Что, если дискриминант есть?

Он определяет количество и тип решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, есть 2 реальных решения. Если он равен 0, существует 1 реальное повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, есть 2 комплексных решения (но нет реальных решений).

Что лучше всего объясняет или оправдывает первый шаг?

При выводе квадратной формулы из уравнения 0 = ax ^ 2 + bx + c, где первым шагом является -c = ax ^ 2 + bx, свойство равенства вычитания наилучшим образом оправдывает первый шаг. В нем говорится, что когда вы вычитаете одно и то же число в обеих частях уравнения, выражения на обеих сторонах остаются равными.

Каковы реальные примеры квадратных уравнений?

Есть много реальных ситуаций, связанных с квадратиками и параболами. Бросок мяча, стрельба из пушки, ныряние с платформы и удары по мячу для гольфа. все это примеры ситуаций, которые можно моделировать квадратичными функциями.

Какие 5 методов решения квадратного уравнения?

Есть несколько методов, которые вы можете использовать для решения квадратного уравнения:


Факторинг


Завершение площади


Квадратичная формула


Графического

В каких вакансиях используется квадратичная формула?

Некоторые примеры работ, в которых используются квадратные уравнения: актуарии, математики, статистики, экономисты, физики и астрономы. В математике квадратное уравнение определяется как полиномиальное уравнение, которое имеет один или несколько членов, а переменные возводятся не выше второй степени.

Действительные числа могут быть положительными или отрицательными и включать число ноль. Их называют действительными числами, потому что они не являются мнимыми, а это другая система чисел.

0 считается реальным решением?

Сколько мнимых решений, если дискриминант отрицательный?

Он определяет количество и тип решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, есть 2 реальных решения. Если он равен 0, существует 1 реальное повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, есть 2 комплексных решения (но реальных решений нет).

Что происходит, когда B 2 4ac 0?

Что лучше всего описывает квадратное уравнение с нулевым дискриминантом?

Дискриминант равен нулю если существует только одно действительное решение квадратного уравнения. Положительный дискриминант указывает на 2 различных реальных решения; отрицательный дискриминант указывает на 2 различных комплексных решения.

Что будет, если дискриминант отрицательный?

Если дискриминант отрицательный, это означает, что под квадратным корнем в квадратной формуле стоит отрицательное число. … Это означает, что если у вас отрицательный дискриминант, вы получит два комплексных решения. Если оба решения сложные, вы не увидите их на графике.

Что делает дискриминант отрицательным?

Пояснение: наличие отрицательного дискриминанта означает, что b2−4ac Какое уравнение показывает, что квадратная формула используется правильно?

Что лучше всего объясняет, почему выражение нельзя переписать, как на следующем шаге?

Утверждение, которое лучше всего объясняет, почему выражение нельзя переписать, как на следующем шаге, заключается в том, что квадратный корень из членов, разделенных сложением и вычитанием, не может быть вычислен по отдельности.

Каковы значения a B и c в квадратном уравнении 0 5x 4 × 2 2?

Что такое квадратичная функция и пример?

Что делает задачу квадратичной?

Полезно ли квадратичное неравенство в реальных жизненных ситуациях?

Ответ проверен экспертом

Источник