Что означает измерить длину отрезка

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие длины отрезка;

— равные отрезки на чертежах;

— определение длины отрезков.

Длина отрезка – число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единичный отрезок.

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята за единицу измерения.

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др.– М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. –М.: Просвещение, 2009. – 142с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Каждому человеку неоднократно приходилось что-то измерять: свой рост, длину прыжка, высоту потолка и многое другое. Все эти действия означают вычисление величины какого-нибудь отрезка. Каким же образом можно измерить длину отрезка? На этот вопрос ответим в ходе урока.

За свою историю человечество придумало много разных единиц длины. Позже появились меры, заимствованные из природы:

— пядь – расстояние между растянутыми большим и указательным пальцами;

— вершок – длина основной фаланги указательного пальца;

— локоть – расстояние от локтевого сустава до конца вытянутого среднего пальца руки.

Некоторые названия сохранились до сих пор: ярд, фут, пядь, дюйм.

Ну, а герои одного известного мультфильма измеряли длину удава в попугаях. В зависимости от того, в ком измеряли удава, он становился то длиннее, то короче.

Два слонёнка, пять мартышек или тридцать восемь попугаев.

«А в попугаях я гораздо длиннее!» – воскликнул удав.

На самом деле мы с вами понимаем, что его размеры не менялись. Тогда возникает вопрос: в чём измерять? Что брать за единицу длины? Слонёнка, попугая или мартышку.

Измерить длину какого-нибудь отрезка в заданных единицах измерения – значит найти число, показывающее, сколько единичных отрезков поместится в данном отрезке.

Длиной отрезка называют число, которое показывает, сколько раз в отрезке содержится единица измерения.

Отрезок, длина которого принята за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Чем же можно измерить длину отрезка?

Наиболее древними геометрическими инструментами являются линейка и циркуль, последний был изобретён в первом веке в Древней Греции.

Для более точных измерений используют миллиметровую линейку и штангенциркуль.

Далее построим отрезок ВК заданной длины –например, 8см. Для этого отметим точку В и приложим к ней линейку, совместив точку В с нулём. Затем отмеряем с помощью линейки 8 см, отмечаем точку К и соединяем обе точки линией.

Такой отрезок можно построить и с помощью циркуля. Для этого отметим точку В. Приложим к линейке циркуль, выставив его ножки на восемь сантиметров. Перенесём циркуль к точке В, поместив на неё одну ножку, а другой ножкой поставим точку К. Соединив обе точки линией, получим отрезок с длиной 8 см.

Отрезки можно сравнить с помощью измерителя –например, циркуля. Для этого попеременно подставляем ножки циркуля ко всем предложенным для сравнения отрезкам. При этом они должны быть выставлены по одному из отрезков. Если длины отрезков одинаковы, то отрезки считают равными и пишут CD = КМ.

Если один из отрезков является частью другого, следовательно, он короче. Например, ЕН короче EF, так как отрезок EH является частью EF.

Рассмотрим ещё одно свойство длин.

Если на отрезке АВ отметить точку С, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Пишут: АВ = АС + СВ.

Наши органы чувств – это один из способов получения информации об окружающем нас мире, но информация полученная таким образом, бывает искажена.

Посмотрите на рисунки и ответьте на вопрос, равны ли отрезки?

На первый взгляд покажется, что правый отрезок больше, чем левый, но при сравнении с помощью линейки окажется, что отрезки равны.

Такая же ситуация, складывается и со следующей картинкой. Кажется, что нижний отрезок больше, чем верхний, но при наложении линейки окажется, что отрезки равны.

В другом же случае на тот же вопрос о равенстве отрезков ответ очевиден.

Таким образом, можно сделать вывод, что глазомерные оценки геометрических реальных величин неточны.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: выбор элемента из выпадающего списка.

Сравните длины горизонтального и вертикального отрезков?

Правильный ответ: при выполнении данного задания нужно использовать линейку, нужно измерить длину каждого отрезка и сравнить их. В результате измерений мы увидим, что отрезки равны.

№2. Тип задания: выделение цветом.

Точка К расположена на прямой между точками А и В. Длина отрезка АК = 8 см, длина отрезка КВ на 2 см больше длины отрезка АК. Какова длина отрезка АВ?

Выберите правильный ответ: 6 см; 10 см; 12 см; 18 см.

Решение: изобразим условие задачи на рисунке.

Источник

Мерзляк 5 класс — § 3. Отрезок. Длина отрезка

Вопросы к параграфу

Решаем устно

1. Реши:

2. Назовите все двузначные числа, сумма цифр которых равна 6.

3. Назовите все двузначные числа, разность цифр которых равна 7.

4. Назовите три последовательных натуральных числа, наименьшим из которых является наибольшее четырёхзначное число.

9 999, 10 000, 10 001

5. Назовите три последовательных натуральных числа, наибольшим из которых является наименьшее четырёхзначное число.

6. Выразите в сантиметрах:

7. Выразите в дециметрах и сантиметрах:

Упражнения

44. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 15.

б) OP, PR, RT, PT, TO, OR

в) AE, AC, AD, EC, ED, CD

г) MN, NE, NP, EP, PQ, QE, QM, EM

45. Запишите все отрезки, изображённые на рисунке 16.

а) BO, BD, OD, CO, CA, OA, AD

б) FK, FE, KE, EN, ES, NS, MK, MN, MP, KN, KP, NP

46. Отметьте в тетради точки А, В, С, D и соедините их попарно отрезками. Сколько отрезков образовалось? Сколько образовалось отрезков с концом в точке A?

Комментарий: новую точку на чертеже, образованную пересечением отрезков AC и BD мы не учитываем, поскольку о ней не говорится в задании.

Для того, чтобы образование 6 отрезков выглядело более наглядно, можно расположить заданные точки в следующем порядке:

Такое решение задания также является правильным.

47. Начертите отрезки MN и АС так, чтобы MN = 6 см 3 мм, АС = 5 см 4 мм.

48. Начертите отрезки EF и ВК так, чтобы EF = 9 см 2 мм, ВК = 7 см 6 мм.

49. Начертите отрезок АВ, длина которого равна 8 см 9 мм. Отметьте на нём точку С так, чтобы СВ = 3 см 4 мм. Какова длина отрезка АС?

50. Начертите отрезок ТР, длина которого равна 7 см 8 мм. Отметьте на нём точку Е так, чтобы ТЕ = 2 см 6 мм. Какова длина отрезка ЕР?

TP — TE = 7 см 8 мм — 2 см 6 мм = 5 см 2 мм

51. Сравните на глаз отрезки АВ и CD (рис. 17). Проверьте свой вывод измерением.

Глядя на рисунок 17 кажется, что отрезок CD > AB.

Проверим вывод измерением:

Ответ: эти отрезки равны.

52. Назовите все ломаные, изображённые на рисунке 11. Какая из них имеет наибольшее количество звеньев?

На рисунке 11 можно выделить 5 ломаных:

Значит наибольшее количество звеньев имеют ломанные BADE и CADE.

53. Назовите звенья ломаной, изображённой на рисунке 18, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Назовём звенья ломанной и измерим их длину:

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

AB + BE + EK + KP + PR = 19 + 18 + 16 + 11 + 12 = 76 (мм) — длина ломаной ABEKPR

Ответ: длина ломаной 76 мм.

54. Запишите звенья ломаной, изображённой на рисунке 19, и измерьте их длины (в миллиметрах). Вычислите длину ломаной.

Назовём звенья ломанной и измерим их длину:

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

ST + TK + KM + MD + DO + OF = 27 + 13 + 11 + 11 + 12 + 13= 87 (мм) — длина ломаной STKMDOF

55. Отметьте в узле клеток тетради точку А; точку В разместите на 4 клетки левее и на 5 клеток выше точки А; точку С — на 3 клетки правее и на 1 клетку выше точки В; точку D — на 3 клетки правее и на 3 клетки ниже точки С; точку Е — на 1 клетку правее и на 2 клетки ниже точки D. Соедините последовательно отрезками точки А, В, С, D и Е. Какая фигура образовалась? Запишите её название и укажите количество звеньев.

Образовалась фигура ломаная ABCDE. Она состоит из 4 звеньев.

56. Вычислите длину ломаной ABCDE, если АВ = 8 см, ВС = 14 см, CD = 23 см, DE = 10 см.

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

AB + BC + CD + DE = 8 + 14 + 23 + 10 = 55 (см) — длина ломаной ABCDE.

Ответ: длина ломаной 55 см.

57. Вычислите длину ломаной MNKPEF, если MN= 42 мм, NK = 38 мм, КР = 19 мм, РЕ = 12 мм, ЕF = 29 мм.

Для того, чтобы вычислить длину ломаной надо сложить длины всех звеньев:

MN + NK + KP + PE + EF = 42 + 38 + 19 + 12 + 29 = 140 (мм) — длина ломаной MNKPEF.

Ответ: длина ломаной 55 см.

58. Начертите в тетради ломаную, изображённую на рисунке 20. Измерьте длины звеньев (в миллиметрах) и найдите длину ломаной.

Измерим длины звеньев ломаной:

AB + BC + CD = 18 + 30 + 36 = 84 (мм) — длина ломаной ABCD

Ответ: длина ломаной 84 мм.

59. Известно, что отрезок SK в 3 раза больше отрезка RS (рис. 21). Найдите длину отрезка RK, если RS = 34 см.

34 • 3 = 102 (см) — длина отрезка SK.

34 + 102 = 136 (см) — длина отрезка RK.

Ответ: длина отрезка RK 136 см.

60. Известно, что отрезок DB в 5 раз меньше отрезка AD (рис. 22). Найдите длину отрезка АВ, если AD = 135 см.

135 : 5 = 27 (см) — длина отрезка DB.

135 + 27 = 162 (см) — длина отрезка АВ.

Ответ: длина отрезка АВ 162 см.

61. Известно, что АС = 32 см, ВС = 9 см, CD = 12 см (рис. 23). Найдите длины отрезков АВ и BD.

32 — 9 = 23 (см) — длина отрезка AB.

9 + 12 = 21 (см) — длина отрезка BD.

Ответ: AB = 23 см, BD = 21 см.

62. Известно, что MF= 43 см, ME = 26 см, КЕ = 18 см (рис. 24). Найдите длины отрезков МК и EF.

26 — 18 = 8 (см) — длина отрезка MK.

43 — 26 = 17 (см) — длина отрезка EF.

Ответ: MK = 8 см, EF = 17 см.

63. Даны две точки А и В. Сколько можно провести отрезков, соединяющих эти точки? Сколько можно провести ломаных, соединяющих эти точки?

64. Начертите отрезок МК и отметьте на нём точки А и С. Запишите все образовавшиеся отрезки.

На рисунке образовались отрезки: MA, MC, MK, AC, AK, CK. Всего 6 отрезков.

65. Длина отрезка АВ равна 28 см. Точки М и К принадлежат этому отрезку, причём точка К лежит между точками М и В, AM = 12 см, ВК = 9 см. Найдите длину отрезка МК.

28 — (12 + 9) = 28 — 21 = 7 (см) — длина отрезка MK.

66. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина отрезка АС равна 15 см, а отрезок АВ на 5 см больше отрезка АС. Чему равна длина отрезка ВС? Есть ли в условии задачи лишние данные?

Так как по условию задачи АВ на 5 см больше отрезка АС, то есть AB — AC = 5 см, то BC = 5 см.

Фраза «длина отрезка АС равна 15 см» является лишней в условии задачи, поскольку длина отрезка BC будет равна 5 см независимо от значения длины отрезка АС.

Ответ: 5 см, да «длина отрезка АС равна 15 см» — лишние данные.

67. Отрезки MT и FK равны (рис. 25). Сравните отрезки MF и ТК.

По условию MT = FK. Значит можно записать уравнение:

68. Постройте ломаную ACDM так, чтобы АС = 15 мм, CD = 24 мм, DM = 32 мм. Вычислите длину ломаной.

15 + 24 + 32 = 71 (мм) — длина ломаной ACDM.

69. Постройте ломаную CEFK так, чтобы звено СЕ было равно 8 мм, звено EF было на 14 мм больше звена СЕ, а звено FK — на 7 мм меньше звена EF. Вычислите длину ломаной.

8 + 22 + 15 = 45 (мм) — длина ломаной CEFK.

70. Вычислите длину ломаной, изображённой на рисунке 26.

Разделим ломаные на единичные отрезки равные заданному и посчитаем их количество.

Ответ: 125 мм, 84 мм и 248 мм.

71. Известно, что АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 2 см (рис. 27). Найдите длину отрезка AD.

8 — 2 = 6 (см) — длина отрезка AB.

6 + 6 = 12 (см) — длина отрезка AD.

72. Известно, что MF= 30 см, ME = 18 см, KF = 22 см (рис. 28). Найдите длину отрезка КЕ.

30 — 18 = 12 (см) — длина отрезка EF.

22 — 12 = 10 (см) — длина отрезка KE.

73. Известно, что KP = PE = EF= FT = 2 см (рис. 29). Какие ещё равные отрезки есть на этом рисунке? Найдите их длины.

На рисунке 29 можно найти следующие равные отрезки:

74. На первом отрезке отметили семь точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 3 см, а на втором — десять точек так, что расстояние между любыми соседними точками равно 2 см. Расстояние между какими крайними точками больше: лежащими на первом отрезке или лежащими на втором отрезке?

Это значит, что расстояние между крайними точками у первого и второго отрезка будет одинаковым.

Проверим вывод графически:

75. Известно, что АЕ = 12 см, AQ = QB, ВМ = MС, СК = KD, DR = RE, МК = 4 см (рис. 30). Найдите длину отрезка QR.

Для удобства обозначим равные отрезки отдельными цветами.

1) Известно, что МК = 4 см.

ВМ + KD = MС + СК = 4 см

3) ВD = ВМ + MС + KD + СК = ( ВМ + KD) + ( MС + СК) = 4 + 4 = 8 см

4) Мы знаем, что АЕ = 12 см, ВD = 8 см.

AQ + QB + DR + RE = АЕ — ВD = 12 — 8 = 4 см

AQ + RE = QB + DR = 4 : 2 = 2 см

6) QR = АЕ — ( AQ + RE ) = 12 — 2 = 10 см

76. Какое наименьшее количество точек надо отметить на отрезках, изображённых на рисунке 31, чтобы на каждом из них были две отмеченные точки, не считая концов отрезков?

а) Надо отметить 4 точки: две на отрезке AB (например E и F) и две на отрезке CD (например H и G).

б) Надо отметить 3 точки: точку пересечения отрезков CD и AB (точка O) и по одной точке на отрезке CD (например точку S) и на отрезке AB (например P).

в) Надо отметить 4 точки: точку пересечения отрезков EF, AB и CD (точка M), а также по одной точке на отрезке EF (например G), отрезке AB (например точку L) и отрезке CD (например K).

г) Надо отметить 3 точки: точку пересечения отрезков DC и FE (точка W), точку пересечения отрезков AB и FE (точка V) и точку пересечения отрезков AB и DC (точка Z).

77. У Миши есть линейка, на которой отмечены только 0 см, 5 см и 13 см (рис. 32). Как, пользуясь этой линейкой, он может построить отрезок длиной:

1) 3 см — Миша должен начертить отрезок 13 см, а потом от одной из конечных точек два раза отмерить по 5 см:

13 — 5 • 2 = 13 — 10 = 3 (см)

2) 2 см — Миша должен три раза отмерить отрезки по 5 см, а потом вычесть из полученного большого отрезка отрезок 13 см:

5 • 3 — 13 = 15 — 13 = 2 (см)

3) 1 см — Миша должен два раза отмерить отрезки по 13 см, а потом из полученного большого отрезка вычесть пять раз по 5 см:

13 • 2 — 5 • 5 = 26 — 25 = 1 (см)

Упражнения для повторения

78. Вычислите:

79. Выполните действия:

80. Детскому саду подарили четыре ящика конфет по 5 кг в каждом и шесть ящиков печенья по 3 кг в каждом. На сколько килограммов больше подарили конфет, чем печенья?

1) 5 • 4 = 20 (кг) — конфет подарили.

2) 3 • 6 = 18 (кг) — печенья подарили.

3) 20 — 18 = 2 (кг) — конфет больше, чем печенья.

Ответ: конфет подарили больше на 2 кг.

81. Медведица Настасья Петровна заготовила на зиму 7 бочонков мёда по 12 кг в каждом и 8 бочонков мёда по 10 кг в каждом. Сколько всего килограммов мёда заготовила Настасья Петровна?

1) 12 • 7 = 84 (кг) — мёда в 12-ти килограммовых бочонках.

2) 10 • 8 = 80 (кг) — мёда в 10-ти килограммовых бочонках.

3) 84 + 80 = 164 (кг) — мёда заготовила Настасья Петровна.

82. В магазин привезли 240 кг бананов и 156 кг апельсинов. Треть привезённых фруктов продали в первый день, а остальные — во второй день. Сколько килограммов фруктов продали во второй день?

1) 240 + 156 = 396 (кг) — фруктов завезли.

2) 396 : 3 = 132 (кг) — фруктов продали в 1 день.

3) 396 — 132 = 264 (кг) — фруктов продали во 2 день.

83. Кот Матроскин вырастил в своём саду 246 кг яблок и 354 кг груш. Шестую часть всех фруктов он отдал своим друзьям из детского сада, пятую часть всех фруктов — друзьям из школы, а остальное — в больницу. Сколько килограммов фруктов Матроскин отдал в больницу?

1) 246 + 354 = 600 (кг) — фруктов вырастил Кот Матроскин.

2) 600 : 6 = 100 (кг) — фруктов отдал в детский сад.

3) 600 : 5 = 120 (кг) — фруктов отдал в школу.

4) 600 — (100 + 120) = 600 — 220 = 380 (кг) — фруктов отдал в больницу.

Задача от мудрой совы

84. Укажите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 101.

Для того, чтобы в искомом натуральном числе было наименьшее количество цифр найдём максимальное количество цифр 9 (самая большая цифра), которые мы сможем использовать:

99 : 9 = 11 — девяток можно использовать.

Далее найдём оставшуюся цифру, необходимую для того, чтобы сумма цифр искомого числа равнялась 101:

101 — 9 • 11 = 101 — 99 = 2 — оставшаяся цифра искомого числа.

Это значит, что в искомом натуральном числе одна цифра 2 и одиннадцать цифр 9. Теперь расположим цифры так, чтобы натуральное число было наименьшим.

299 999 999 999 — на место сотен миллиардов поставим самую маленькую цифру.

Источник

Длина отрезка

Определение длины отрезка

Измерение отрезков — процесс нахождения длины отрезков.

Измерение отрезков происходит с помощью сравнения их с некоторым отрезком,
принятым за единицу измерения. Обычно, за единицу измерения принимают
сантиметр, и для того, чтобы определить длину отрезка узнают, сколько раз в
этом отрезке укладывается сантиметр.

На рисунке 1 в отрезке AC сантиметр укладывается ровно два раза, так как отрезки
AB и BC равны сантиметру. Значит, отрезок AC равен двум сантиметрам, но может
оказаться так, что отрезок, принимаемый за единицу измерения, не укладывается
целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. В таком случае за
единицу измерения принимают не только сантиметр, но и миллиметр.

За единицу измерения принимают не только сантиметр, но и любой
другой отрезок (например миллиметр).

Выбрав единицу измерения, измеряют любой отрезок, т.е выражают его длину
некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица
измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

Равные отрезки имеют равные длины.
Меньший отрезок имеет меньшую длину.

Точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух
отрезков. Длина отрезка называется расстоянием, между концами этого отрезка.

Источник