Что означает измерить угол
ВОПРОСЫ
1. Какой угол называют развернутым?
2. В каких единицах измеряют углы?
Углы измеряются в градусах.
3. Какова градусная мера развернутого угла?
Градусная мера развернутого угла равна 180º.
4. Что означает измерить угол?
5. Как называется прибор, который используют для измерения углов?
Прибор, который используют для измерения углов, называется транспортир.
6. Расскажите как пользоваться транспортиром.
7. Какие градусные меры имеют равные углы?
Равные углы имеют равные градусные меры.
8. Какой из двух неравных углов считают большим?
Из двух неравных углов большим считается тот, градусная мера которого больше.
9. Каким свойством обладает величина угла?
10. Какой угол называют острым?
11. Какой угол называют прямым?
12. Какой угол называют тупым?
13. На какие углы делит развернутый угол его биссектриса?
Биссектриса развернутого угла делит его на два угла, градусная мера каждого из которых равна 90º.
14. В каких случаях говорят, что от данного луча отложен данный угол?
РЕШАЕМ УСТНО
1. Назовите два числа, одно из которых: 1) на 27 больше другого; 3) в 7 раз меньше другого; 2) на 15 меньше другого; 4) в 3 раза больше другого.
2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?
На самом деле 9 ч 58 мин.
3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?
На самом деле 17 ч 2 мин.
4. Какие из следующих уравнений не имеют корней:
5. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из ее сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?
УПРАЖНЕНИЯ
296. Начертите: 1) острый угол ЕFC; 2) прямой угол ОRT; 3) тупой угол D. 4) развернутый угол КАР.
297. Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.
298. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развернутые:
299. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображенных на рисунке 94. Определите вид каждого угла.
300. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображенных на рисунке 95. Определите вид каждого угла.
301. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) 380; 2) 1240; 3) 920; 4) 900; 5) 870; 6) 540; 7) 1700; 8) 650. Определите вид каждого угла.
302. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна: 1) 400; 2) 1300; 3) 680; 4) 1640. Определите вид каждого из построенных углов.
305. Какой из углов, изображенных на рисунке 98, наибольший? Наименьший?
306. Начертите угол СDЕ, равный 1520. Лучом DА разделите этот угол на два угла так, чтобы СDА = 980. Вычислите величину угла АDE.
307. Начертите угол АВС, равный 1060. Лучом ВD разделите этот угол на два угла так, чтобы АВD = 340. Вычислите величину угла DВС.
308. Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 99) проведены два луча ОА и ОС так, что ВОС = 740, АОМ = 620. Вычислите величину угла АОС.
309. Из вершины развернутого угла АСР (рис. 100) проведены два луча СТ и СF так, что АСF = 1580, ТСР = 1340. Вычислите величину угла ТСF.
311. Найдите градусную меру угла между стрелками часов, если они показывают: 1) 3 ч; 2) 6 ч; 3) 4 ч; 4) 11 ч; 5) 7 ч.
312. Луч ВК является биссектрисой угла СВD, АВК = 1460 (рис. 101, ). Вычислите градусную меру угла СВD.
313. Луч ОА является биссектрисой угла СОМ, СОМ = 540 (рис. 101, б). Вычислите градусную меру угла ВОА.
314. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развернутые углы, образовавшиеся при этом.
315. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, градусная мера которого меньше 310?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
316. Заполните цепочку вычислений:
318. В четыре стакана помещается столько же молока, сколько и в банку. В стакан и банку помещается 1 кг 200 г молока. Сколько граммов молока помещается в стакан?
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
320. Улитка за день поднимается вверх по столбу на 3 м, а за ночь съезжает по нему на 2 м вниз. На какой день она доберется до вершины столба, высота которого равна 20 м?
Мерзляк 5 класс — § 12. Виды углов. Измерение углов
Вопросы к параграфу
1. Какой угол называют развёрнутым? Развёрнутый угол — это угол, лучи которого образуют прямую и их начала совпадают.
2. В каких единицах измеряют углы? Углы измеряют в градусах (например ∠45° — это угол величиной 45 градусов).
3. Какова градусная мера развёрнутого угла? 180°
4. Что означает измерить угол? Измерить угол — это значит посчитать сколько единичных углов в нём помещаются.
5. Как называется прибор, который используют для измерения углов? Транспортир.
6. Расскажите, как пользоваться транспортиром. Для того, чтобы измерить угол транспортиром надо:
7. Какие градусные меры имеют равные углы? Равные углы имеют равные градусные меры.
8. Какой из двух неравных углов считают большим? Большим считается угол, градусная мера которого больше.
9. Каким свойством обладает величина угла? Если между сторонами угла АОС провести луч ОВ, то градусная мера угла АОС равна сумме градусных мер углов АОВ и ВОС:
∠АОС = ∠АОВ +∠ВОС, если луч ОВ лежит между сторонами угла АОС.
10. Какой угол называют острым? Острым углом называют угол, градусная мера которого меньше 90 °.
11. Какой угол называют прямым? Прямым углом называют угол, градусная мера которого равна 90°.
12. Какой угол называют тупым? Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.
13. На какие углы делит развёрнутый угол его биссектриса? Биссектриса делит угол на два прямых угла, то есть градусная мера каждого из этих углов равна 90°.
14. В каких случаях говорят, что от данного луча отложен данный угол? Говорят, что от данного луча отложен данный угол в том случае, если дан определённый луч, например ОА, и от него построен заданный угол, например ∠АОС = 63°, причём вершиной угла является вершина заданного луча.
Решаем устно
1. Назовите два числа, одно из которых:
2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?
10 ч 8 мин — 10 мин = 9 ч 58 мин
Ответ: сейчас 9 ч 58 мин.
3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?
16 ч 55 мин + 7 мин = 17 ч 2 мин.
Ответ: сейчас 17 ч. 2 мин.
4. Какие из следующих уравнений не имеют корней:
Ответ: не имеют корней уравнения под номером 4 и 6.
5. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из её сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Первое дерево было посажено в начале улицы, а последнее — в её конце. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?
1) 3 000 : 20 + 1 = 151 (дерево) — было посажено.
2) 20 • (5 — 1) = 20 • 4 = 80 (метров) — расстояние между 1-м и 5-м деревом.
Ответ: Было посажено 151 дерево. Между первым и пятым деревом 80 метров.
Упражнения
296. Начертите:
297. Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.
298. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развёрнутые: ∠А = 96°, ∠B = 84°, ∠S= 180°, ∠D=90°, ∠R = 162°, ∠E= 60°, ∠Q = 100°, ∠M= 72°?
299. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 94. Определите вид каждого угла.
300. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 95. Определите вид каждого угла.
301. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) 38°; 2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°; 8) 65°. Определите вид каждого угла.
302. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна: 1) 40°; 2) 130°; 3) 68°; 4) 164°. Определите вид каждого из построенных углов.
303. На рисунке 96 ∠CMK = 132°, а угол АМК — развёрнутый. Вычислите величину угла АМС.
∠АМК = 180° — развёрнутый
∠АМС = ∠АМК — ∠CMK = 180° — 132° = 48°
304. На рисунке 97 угол АОК — прямой, ∠POC — 54°, а угол СОК — развёрнутый. Вычислите величину угла АОР.
∠COК = 180° — развёрнутый
∠АOP = ∠COK — ∠POC — ∠AOK = 180° — 54° — 90° = 36°
305. Какой из углов, изображённых на рисунке 98, наибольший? Наименьший?
306. Начертите угол CDE, равный 152°. Лучом DA разделите этот угол на два угла так, чтобы ∠CDA = 98°. Вычислите величину угла ADE.
∠ADE = ∠CDE — ∠CDA = 152° — 34° = 54°
307. Начертите угол ABC, равный 106°. Лучом BD разделите этот угол на два угла так, чтобы ∠ABD = 34°. Вычислите величину угла DBC.
∠DBC = ∠ABC — ∠ABD = 106° — 34° = 72°
308. Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 99) проведены два луча ОА и ОС так, что ∠BOC = 74°, ∠AOM = 62°. Вычислите величину угла АОС.
∠MOC = ∠BOM — ∠BOC = 90° — 74° = 16°
∠AOC = ∠AOM — ∠MOC = 62° — 16° = 46°
309. Из вершины развёрнутого угла АСР (рис. 100) проведены два луча СТ и CF так, что ∠ ACF = 158°, ∠ TCP = 134°. Вычислите величину угла TCF.
∠PCF = ∠ACP — ∠ACF = 180° — 158° = 22°
∠TCF = ∠TCP — ∠PCF = 134° — 22° = 112°
310. Верно ли утверждение:
1) угол, который меньше тупого, — острый. Неверно, так как меньше тупого не только острые углы, но и прямой угол.
2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой. Неверно, так как меньше развёрнутого угла все тупые углы, все острые углы и прямой угол.
3) половина тупого угла — острый угол. Верно, так как половина даже самого большого тупого угла будет меньше 90º.
4) сумма градусных мер двух острых углов больше 90°. Неверно, так как сумма двух острых углов может быть и меньше 90°.
5) угол, который больше прямого, — тупой. Неверно, так как больше прямого могут быть как тупые углы, так и развёрнутый угол.
311. Найдите градусную меру утла между стрелками часов, если они показывают:
Ответ: 1) 90º, 2) 180º, 3) 120º, 4) 30º, 5) 150º.
312. Луч BK является биссектрисой угла CBD, ∠ ABK = 146° (рис. 101, a). Вычислите градусную меру угла CBD.
∠ABC = 180º — развёрнутый
∠KBC = ∠ABC — ∠ABK = 180º — 146º = 34º
так как луч BK — это биссектриса ∠CBD, значит луч BK делит тот угол пополам. Мы заем, что ∠KBC = 34º. Значит:
∠CBD = ∠KBC • 2 = 34º • 2 = 68º
313. Луч ОА является биссектрисой угла СОМ, ∠ СОМ = 54° (рис. 101, б). Вычислите градусную меру угла ВОА.
так как луч OA — это биссектриса ∠COM, значит луч OA делит тот угол пополам. Мы заем, что ∠COM = 54º. Значит:
∠COA = ∠COM : 2 = 54º : 2 = 27º
∠BOC = 180º — развёрнутый
∠BOA = ∠BOC — ∠COA = 180º — 27º = 153º
314. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развёрнутые углы, образовавшиеся при этом.
Каждая прямая образует по 2 развёрнутых угла. Значит образовались следующие развёрнутые углы: AOD, BOE, COF, DOA, EOB, FOC.
315. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, градусная мера которого меньше 31°?
Каждая прямая образует по 2 развёрнутых угла. Например, прямая MH образует развёрнутые углы MOH и HOM. Каждый из этих углов равен 180º. Значит сумма углов между соседними лучами на рисунке равна 180º • 2 = 360º.
Всего образовалось 12 углов, расположенных между соседними лучами. 360º : 12 = 30º. Значит как минимум один (а на самом деле два) угла будут иметь градусную меру менее 31º.
Упражнения для повторениях
316. Заполните цепочку вычислений:
317. Верно ли неравенство (а + 253) • 7 Ответ: при а = 124 неравенство неверно, так как 2 639 > 2 435.
318. В четыре стакана помещается столько же молока, сколько и в банку. В стакан и банку помещается 1 кг 200 г молока. Сколько граммов молока помещается в стакан?
Так как в одной банке помещается столько же молока, сколько и в 4 стаканах, то в банке и стакане будет содержаться столько же молока сколько в 5 стаканах (4 + 1 = 5).
1 кг 200 г = 1 200 г
1 200 : 5 = 240 (г) — молока помещается в стакан.
319. Длина границы России с Китаем, Монголией и Казахстаном составляет 15 293 км. Найдите длину границы России с каждым из этих государств, если длина границы с Китаем и Монголией равна 7 694 км, а с Китаем и Казахстаном — 11 808 км.
1) 15 293 — 11 808 = 3 485 (км) — граница России с Монголией.
2) 7 694 — 3 485 = 4 209 (км) — граница России с Китаем.
3) 11 808 — 4 209 = 7 599 (км) — граница России с Казахстаном.
Ответ: граница России с Китаем — 4 209 км, с Монголией — 3 485 км, с Казахстаном — 7 599 км.
Задача от мудрой совы
320. Улитка за день поднимается вверх по столбу на 3 м, а за ночь съезжает по нему на 2 м вниз. На какой день она доберётся до вершины столба, высота которого равна 20 м?
Каждые сутки улитка способна подняться по столбу на 1 м:
1) 3 метра днём — 2 метра ночью = 1 метр за сутки
Но в последний день она как обычно поднимется на 3 метра, а спускаться уже не будет. Значит, за все дни, кроме последнего, улитка поднимется на 17 м:
2) 20 — 3 = 17 (метров) — преодолеет улитка за все дни, кроме последнего.
То есть ей потребуется 17 дней для преодоления 17 метров и ещё 1 день для преодоления последних 3 метров:
3) 17 : 1 + 1 = 17 + 1 = 18 (дней) — нужно улитке для того, чтобы подняться на столб.
Ответ: улитка доберётся до вершины на 18-й день.