Что означает квадратура круга
Квадратура круга: наглядное доказательство
Словесные доказательства с трудом даются тем, кто привык мыслить визуально. Поэтому в математике так важна визуальная интуиция. Доказательства из таких пособий, как и «Евклид Начала: первые 6 книг» и «Доказательства без слов: учебник по визуальному мышлению» даются пониманию при взгляде на их страницы. Я рекомендую эти книги к прочтению каждому, кто интересуется доказательствами других математических проблем.
К примеру, мы помним из школьного курса, что площадь круга вычисляется по формуле π x r², но можем ли мы доказать, что эта формула справедлива для каждой возможной окружности?
Величайший из математиков Евклид нашёл доказательства этой формулы настолько простое, что теперь студенты изучают начала интегрального исчисления по нему. Евклид рассуждал так: круг можно поделить на четыре, шесть, шестнадцать, или бесконечно много равных частей, а потом расставить их так, чтобы получился прямоугольник.
Первое что нам нужно сделать — начертить окружность. Затем, мы разделим круг на 8 равных частей и расставим их в похожую на прямоугольник форму. Мы почти получили прямоугольник.
Повторим процесс, на этот раз с 32 равными частями. Если расставить их таким же образом как в предыдущем примере, то мы получим что-то ещё более похожее на прямоугольник.
Это значит, что если разделить круг на ещё больше равных частей — происходит удивительное, форма начинает приближаться к идеальному прямоугольнику.
Насколько много должно быть частей чтобы получить идеальный прямоугольник? Для этого его части должны быть бесконечно малыми — такими, что невозможно различить толщину, и стороны становятся почти вертикальными.
Таким образом, πr² может использоваться для вычисления площади любой из существующих окружностей.
Как простыми словами объяснить понятие «квадратура круга»?
Для математиков древней Греции «найти площадь фигуры» означало «циркулем и линейкой построить квадрат такой же площади» — выполнить квадратуру.
Квадратура круга — это одна из знаменитых задач древности; требовалось для данного круга построить циркулем и линейкой квадрат такой же площади. Скажем, если радиус круга равен 1, то требуется циркулем и линейкой построить квадрат площади π (со стороной √π)
Задача эта не имеет решения (именно циркулем и линейкой).
Автор рисунка: Original PNG by Plynn9; SVG by Alexei Kouprianov
Циркулем и линейкой можно увеличить отрезок в несколько раз, или разделить его на несколько равных частей; можно также построить разные корни, скажем, корень из двух. но число π построить никак нельзя. (Если бы можно было построить π, то корень из него тоже можно было бы построить.) Невозможность доказал 138 лет назад Линдеман; точнее, он доказал, что π — число трансцендентное. Такие числа не получаются как корни уравнений с многочленами с целыми коэффициентами, а значит, трансцендентное число циркулем и линейкой построить нельзя.
Забавно, что через несколько лет после доказательства Линдемана в журнале The American Mathematical Monthly опубликовали-таки «решение» задачи о квадратуре круга. Это само по себе не примечательно; время от времени журналы публикуют негодные статьи. Но на основании этой автор (Эдвард Гудвин) предложил законопроект для штата Индиана, устанавливающий значение 3,2 для числа π. Законопроект сначала хотели передать на рассмотрение в Финансовый комитет, потом в Комитет по болотам, и в конце концов передали Комитету по образованию, где его и одобрили. Генеральная Ассамблея штата рассмотрела законопроект 12 февраля 1897 года, но не приняла. И не отклонила. Его отложили на неопределенное время, и до сих пор он в этом статусе и пребывает. У законодателей Индианы еще есть шанс его принять.
Что такое квадратура круга?
Был в театре на спектакле по пьесе Валентина Катаева «Квадратура круга». Почему пьеса носит такое название, не понял. Что такое квадратура круга?
Ответ
Более двух тысяч лет мудрецы Анаксагор, Антифон, Архимед, Аньтифон, Бризон, Гиппократ и многие другие бились над этой простой по формулировке задачей, но не находили решения.
Тогда решением будет x = R√π.
С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлекать квадратный корень (в школе, например, ученики умеют строить отрезок равный сумме двух данных отрезков, разности двух данных отрезков, делить отрезок пополам и на любое другое количество равных отрезков).
Таким образом, задача квадратуры круга сводится к тому, чтобы с помощью конечного числа этих действий построить отрезок длины π.
Если радиус круга взять равным единице (принять за единицу), то у квадрата той же площади сторона должны быть равна √ π.
Лишь в 19 веке (1882 г.) Линдеманом было доказано, что число π не алгебраично (трансцендентно), то есть нет такого уравнения с целыми коэффициентами, чтобы число π было его корнем, поэтому задача квадратуры круга не разрешима с помощью циркуля и линейки.
Конечно, на практике данная задача решается с любой разумной степенью точности даже циркулем и линейкой, но не математически точно.
Может быть, теперь вам понятно, почему Валентин Катаев назвал свою пьесу «Квадратура круга»? Одна из рецензий на спектакль по этой пьесе носит название: «Неразрешимая задача любви».
Квадратура круга
Полезное
Смотреть что такое «Квадратура круга» в других словарях:
КВАДРАТУРА КРУГА — Площадь четырехугольника, равная площади данного круга, задача неразрешимая; отсюда, вообще все невозможное. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней. Михельсон А.Д., 1865. КВАДРАТУРА КРУГА … Словарь иностранных слов русского языка
квадратура круга — неразрешимый, не поддающийся разрешению Словарь русских синонимов. квадратура круга сущ., кол во синонимов: 2 • не поддающийся разрешению (2) … Словарь синонимов
КВАДРАТУРА КРУГА — КВАДРАТУРА КРУГА, задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого (т.е. имеющего такую же площадь) данному кругу. В 19 в. была установлена неразрешимость квадратуры круга. Задача о квадратуре круга становится разрешимой,… … Современная энциклопедия
Квадратура круга — КВАДРАТУРА КРУГА, задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого (т.е. имеющего такую же площадь) данному кругу. В 19 в. была установлена неразрешимость квадратуры круга. Задача о квадратуре круга становится разрешимой,… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Квадратура круга — КВАДРАТУРА, ы, ж. В математике: вычисление площади или поверхности фигуры. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Квадратура круга — ■ Неизвестно, что это такое; но когда о ней говорят, надо пожимать плечами … Лексикон прописных истин
Квадратура круга — Круг и квадрат одинаковой площади Квадратура круга задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данно … Википедия
Квадратура круга — Экспрес. Что либо неразрешимое; нечто вообще несуществующее. О Журеньке я иногда думаю и стараюсь представить себе будущего зятя, но совершенно напрасно: это какая то квадратура круга (Мамин Сибиряк. Осенние листья). Напрасно некоторые бьются над … Фразеологический словарь русского литературного языка
Квадратура круга
Смотреть что такое «Квадратура круга» в других словарях:
КВАДРАТУРА КРУГА — Площадь четырехугольника, равная площади данного круга, задача неразрешимая; отсюда, вообще все невозможное. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней. Михельсон А.Д., 1865. КВАДРАТУРА КРУГА … Словарь иностранных слов русского языка
квадратура круга — неразрешимый, не поддающийся разрешению Словарь русских синонимов. квадратура круга сущ., кол во синонимов: 2 • не поддающийся разрешению (2) … Словарь синонимов
КВАДРАТУРА КРУГА — КВАДРАТУРА КРУГА, задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого (т.е. имеющего такую же площадь) данному кругу. В 19 в. была установлена неразрешимость квадратуры круга. Задача о квадратуре круга становится разрешимой,… … Современная энциклопедия
Квадратура круга — КВАДРАТУРА КРУГА, задача о построении с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого (т.е. имеющего такую же площадь) данному кругу. В 19 в. была установлена неразрешимость квадратуры круга. Задача о квадратуре круга становится разрешимой,… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Квадратура круга — КВАДРАТУРА, ы, ж. В математике: вычисление площади или поверхности фигуры. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
Квадратура круга — ■ Неизвестно, что это такое; но когда о ней говорят, надо пожимать плечами … Лексикон прописных истин
Квадратура круга — Круг и квадрат одинаковой площади Квадратура круга задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данно … Википедия
Квадратура круга — Так называется знаменитая задача: построить квадрат, равновеликий по площади кругу данного радиуса. Эта задача была предметом непрерывного ряда усиленных изысканий греческих математиков и значительно повлияла на поразительные успехи геометрии в… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона