Что означает ломаная с вершинами в узлах сетки

Ломаная линия

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной.

Построим ломаную из четырёх отрезков:

Замкнутая и незамкнутая ломаная

Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:

незамкнутая ломаная ABCD.

Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:

замкнутая ломаная ABC.

Самопересекающаяся ломаная

Замкнутые и незамкнутые ломаные линии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся ломаная — это ломаная линия, звенья которой пересекают другу друга в одной или нескольких точках. Например:

точки F, T, K — точки самопересечения, то есть точки, в которых ломаная пересекает сама себя.

Длина ломаной

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющий самопересечений, то есть длина многоугольника, называется периметром.

Пример 1. Найти длину ломаной из 3 звеньев.

Решение: Для нахождения длины ломаной, состоящей из трёх звеньев, надо сложить длины всех её звеньев. Длина ломаной ABCD будет равна:

AB + BC + CD = 4 см + 3 см + 2 см = 9 см.

Ответ: Длина ломаной ABCD равна 9 см.

Пример 2. Найти длину замкнутой ломаной.

Решение: Найдём периметр замкнутой ломаной, сложив длины всех её звеньев:

AB + BC + CD + DA =
3 см + 5 см + 4 см + 5 см = 17 см.

Источник

Метод узлов в задаче B5

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

— это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

где n — число узлов внутри данного многоугольника, число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Получается, что внутренний узел всего один: Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах.

Теперь считаем площадь по формуле:

Вот и все! Задача решена.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего Граничных узлов: из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.

Остается подставить числа в формулу площади:

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:

Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Источник

Как выглядит замкнутая ломаная линия

Ломаной линией в геометрии принято называть геометрическую фигуру, которая состоит из двух или нескольких отрезков. Конец одного отрезка является началом другого. Обязательное условие, которому подчиняется любая ломаная, — соседние отрезки не должны располагаться на одной прямой.

Эти геометрические фигуры находят самое широкое применение в разных областях науки и практики:

Типы ломаных линий

Рассматриваемые геометрические фигуры могут быть выстроены самыми разнообразными способами — они могут быть незамкнутыми и замкнутыми, пересекающимися и непересекающимися.

Замкнутая ломаная соответствует определенной геометрической фигуре — многоугольнику.

Если отрезки одной такой фигуры имеют точки пересечения друг с другом — эта линия называется самопересекающейся.

Всего существует 4 типа подобных линий по своей структуре:

Разновидностью такой геометрической фигуры может считаться зигзаг, у которого последовательные отрезки образуют прямой угол и параллельны друг другу через один. Зигзагами широко пользуются в обиходе — в портновском мастерстве, декоративном искусстве, оформлении предметов обихода.

Особенности замкнутых линий

Рассмотрим подробнее составляющие части этой геометрической фигуры.

Как уже было сказано выше, эта разновидность линий может иметь самопересечения. Наиболее популярным примером замкнутой линии, имеющей самопересечения, является пятиконечная звезда.

Многоугольник как разновидность замкнутой ломаной

Разновидностью описываемой геометрической фигуры является многоугольник. Точками в многоугольнике являются его вершины, а отрезки называются сторонами.

Примерами многоугольников являются четырехугольники, треугольники, пятиугольники. Рассмотрим подробнее отличительные черты этих фигур.

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, расположенных не на одной прямой. Эти точки попарно соединяются между собой отрезками.

Четырехугольником в геометрии называется фигура, которая имеет четыре угла и четыре стороны. Четырехугольники встречаются самые разнообразные — это могут быть трапеции, квадраты, параллелограммы, ромбы.

У трапеции параллельны две стороны, которые называются основаниями. Остальные две стороны не параллельны. У параллелограмма между собой параллельны две противоположные стороны.

Отличительной чертой прямоугольника является то, что все его углы прямые. У квадрата являются равными все четыре стороны. Кроме того, все углы у квадрата являются прямыми.

Если у многоугольника все стороны и углы равны, он называется правильным. Такой многоугольник всегда будет выпуклым.

Источник

КДМ. Площадь многоугольника: разбиение фигуры на части и «метод узлов» по формуле Пика.

Площадь фигуры (многоугольника)

Площадь фигуры (многоугольника)

В задании требуется всегда одно и то же: найти площадь фигуры, которая задана точками на координатной плоскости или на координатной сетке

В задании требуется всегда одно и то же: найти площадь фигуры, которая задана точками на координатной плоскости или на координатной сетке.
В зависимости от фигуры, все задачи делятся на два типа:
Площадь многоугольника;
Площадь круга.
Независимо от типа, надо помнить важнейшее правило, вытекающее из свойств площади: если фигуру разрезать на несколько частей, то сумма площадей этих частей равна площади всей фигуры.
Рассмотрим площадь многоугольника.

Решить задачу № 1* Найдите площадь четырехугольника

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь в см2
прямоугольника AEFK
Найдите площадь в см2
прямоугольных
треугольников AEB, CFD,
ADK
Найдите площадь четырехугольника ABCD

Решить задачу № 1* Найдите площадь четырехугольника

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь
прямоугольника AEFK в см2
Найдите площадь прямоугольных треугольников AEB, CFD, ADK в см2
Найдите площадь четырехугольника ABCD

Решить задачу № 1* Найдите площадь четырехугольника

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

SAEFK=AK*AE=6*4=24 (см2)
SAEB=SAEBM :2=2*4:2=4 (см2)
SCFD=SNCFD :2=2*1:2=1 (см2)
SADK=SAPDK :2=6*2:2=6 (см2)

SABCD = SAEFK – (SAEB + SCFD + SADK) = 24 – (4 + 1 + 6) = 13 (см2)

Ответ: SABCD = 13 см2

Эту формулу редко кто изучает в школе…

Эту формулу редко кто изучает в школе…
О ней, вряд ли, вспомнят в колледже или даже в университете.
Но те, кто ее знают, всегда решат задачу правильно.
Никаких дополнительных построений и треугольников — все намного проще.
Запоминайте и пользуйтесь
замечательной формулой!
Метод узлов

А я знаю, как решить такую задачу намного проще и быстрее!
Есть отличная формула.

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок.
Это даже не формула, а настоящая теорема.
На первый взгляд, она может показаться сложной.
Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка.
Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Определение Узел координатной сетки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки

Определение
Узел координатной сетки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.
Обозначение

На первой картинке узлы вообще не обозначены

На первой картинке узлы вообще не обозначены.
На второй обозначены 4 узла.
Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.
Какое отношение это имеет к задаче?
Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки.
Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема (формула Пика)
Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки.
Тогда площадь многоугольника равна:

Пример Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные (внешние) узлы

Пример
Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и
попробуем отметить внутренние и граничные (внешние) узлы.

На I картинке дан обычный треугольник.

На II отмечены его внутренние узлы, число которых n = 10.

На III картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, некоторым непонятно, как считать числа n и k.

Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску

Начните с внутренних узлов.
Тут все очевидно: закрашиваем
треугольник карандашом и смотрим,
сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее.
Граница многоугольника — замкнутая ломаная линия, которая пересекает координатную
сетку во многих точках.
Проще всего отметить
какую-нибудь «стартовую»
точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут
только те точки на ломаной, в которых
одновременно пересекаются 3-4 линии:
Собственно, ломаная;
Горизонтальная линия координатной сетки;
Вертикальная линия.

Граничный или внешний узел Нет внешнего узла – пересеклись 2 линии

Граничный или внешний узел

Нет внешнего узла
– пересеклись 2 линии

Внешний узел–
пересеклись
4 линии

Формула Пика В 1899 г. австрийский математик

В 1899 г. австрийский математик Георг Пик открыл теорему для расчёта площади многоугольника, которую в его честь назвали «формула Пика».
В Германии эта теорема включена в школьные учебники. Когда вершины многоугольника расположены
в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться формулой Пика.

Георг Алекса́ндр Пик (нем. Georg

Источник

Метод узлов

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

— это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.

Обозначение

На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.

Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема

Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:

где n — число узлов внутри данного многоугольника, число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).

Задача:

Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.

На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего

Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются

Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.

Задача 2:

Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:

Решение

Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:

Получается, что внутренний узел всего один: Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах.

Теперь считаем площадь по формуле:

Вот и все! Задача решена.

Задача 3:

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего Граничных узлов: из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.

Остается подставить числа в формулу площади:

Ответ: 4,5

Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.

Важное замечание по площадям

Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:

Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:

Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»:

Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!

Сегодня мы научились считать площади фигур в задаче B5 методом узлов. Повторим, что для начала введят два определения:

Давайте посмотрим, как эти узлы выглядят на конкретной фигуре в задаче B5

Задача. Найдите площадь четырехугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Крестиками обозначены внутренние узлы. Очевидно, их количество Кружками обозначены граничные узлы. Их общее количество равно

Обратите внимание: под узлами подразумеваются только те точки, которые лежат на пересечении горизонтальных и вертикальных линий нашей сетки. Другими словами, следующие две точки не являются узлами, хотя в них граница фигуры также пересекается с линиями сетки:

Переходим к решению задачи. Для того, чтобы решать задачи B5 ЕГЭ по математике методом узлов, вам потребуется запомнить следующую теорему:

Теорема. Пусть дана фигура с внутренними узлами и граничными узлами. Тогда площадь этой фигуры считается по формуле:

S = n + 0,5 k − 1

Вот так все просто! Главное — запомните, это число внутренних узлов, число граничных узлов.

В нашем случае мы уже подсчитали, что Подставляем полученные числа в формулу и получаем:

Мы получили ответ: площадь четырехугольника

Ответ: 7,5

Как видите, задача свелась практически к устному счету. Поэтому обязательно возьмите данный прием на вооружение, ведь велика вероятность того, что на настоящем ЕГЭ по математике вам попадется именно такая задача B5 — площадь фигур на координатной сетке.

Источник