Что означает нацело в математике

14.04.202217.04.2022 admin 0 Comments

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— деление натуральных чисел;

— свойства деления натуральных чисел.

Деление – это математическое действие, обратное умножению.

Делимое – это число, которое делят.

Делитель – это число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Делить на нуль нельзя.

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

Важное свойство частного: делимое и делитель можно одновременно умножить или разделить на одно и то же натуральное число: частное от этого не изменится.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что нам уже известно об операции деления. Пусть у нас есть натуральные числа a и b, причём а больше b или равно b (a ≥ b). Говорят, что а делится на b нацело, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается а: a = b ∙ c.

Обычно слово «нацело» в этой фразе опускается. При этом записывают: a : b = с и называют а – делимым, b – делителем, с – частным.

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

так как а ∙ 1 = а, 1 ∙ а = а.

Например, 14 делится на 1 и на 14.

14 : 1 = 14, 14 : 14 = 1

При делении ноля на любое натуральное число получается ноль: 0 : а = 0, потому что 0 ∙ а = 0.

Запомните: делить на нуль нельзя!

Любое натуральное число а делить на нуль нельзя, потому что не существует такого числа с, для которого выполнялось бы равенство а : 0 = с (так как с ∙ 0 = 0 ≠ а). Принято считать, что нуль на нуль делить нельзя.

Для деления чисел из двух и более цифр (знаков) применяют деление уголком.

Вспомним, как делить уголком, на примере.

Для начала запишем делимое и делитель уголком:

Начнём делить 392 на 28 следующим образом.

Во-первых, определим неполное частное. Для этого слева направо сравниваем цифры делимого и делителя.

Рассмотрим цифру 3. Она меньше 28 – значит, нужно взять ещё одну цифру из делимого. 39 больше 28, следовательно, это неполное частное.

Ставим точку в частном (под уголком делителя).

Посчитаем, сколько цифр осталось в делимом, после неполного частного. У нас после 39 стоит только одна цифра – 2. Значит, и в результат добавляем ещё одну точку.

Приступаем к делению: 28 помещается в 39 только один раз, поэтому ставим первой цифрой ответа единицу и вычитаем 28 из 39.

После вычитания в остатке получилось 11, это меньше, чем 28, поэтому к 11 дописываем 2.

112 делится на 28. Получаем 4. Записываем полученный результат второй цифрой в ответе.

В остатке получился нуль – значит, числа разделились нацело. Таким образом, 392 : 28 = 14.

Важное свойство частного: делимое и делитель можно одновременно умножить или разделить на одно и то же натуральное число: частное от этого не изменится.

Сначала одновременно умножим 50 и 25 на 2. Получим:

Теперь разделим 50 и 25 на 5. Получим:

В обоих случаях ответ оказался одинаковым. Значит, свойство частного верно.

Если каждое из натуральных чисел a и b делится на натуральное число с, то верно равенство:

(a+ b) : c = a : c + b : c.

Убедимся в правдивости данного свойства на примере.

Вычислим выражение: 124 : 4 + 36 : 4.

Рассмотрим два способа решения.

1 способ. Выполним деление и сложим результаты.

124 : 4 + 36 : 4 = 31 + 9 = 40.

2 способ. Заметим, что у нас есть общий делитель – 4. Вынесем его за скобки. Получим:

(124 + 36) : 4 = 160 : 4 = 40.

В обоих случаях у нас получился один и тот же ответ. Значит, свойство верно.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите 812 : 14 = _____.

Решение: выполним деление уголком.

№ 2. Найдите неизвестный множитель х из равенства: 15 ∙ х = 195.

Выберите верный ответ: х = 3; х = 13; х = 25; х = 15.

Решение: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель, то есть:

Источник

Значение слова «нацело»

НА́ЦЕЛО, нареч. Разг. Без остатка, полностью. Есть основания думать, что в межледниковое время ледниковый покров Новой Земли нацело растаял. Л. Берг, Природа СССР. || Совсем, совершенно. Я очень давно не сталкивался с этой фамилией, можно сказать — нацело забыл ее. Л. Успенский, Записки старого петербуржца.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

НА’ЦЕЛО, нареч. (разг.). Целиком, без остатка, полностью. Число делится н.

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

нацело

1. разг. полностью, без остатка ◆ Для сатирика настоящее нацело разлагается на прошлое и будущее, никакого нейтрального и самодостаточного настоящего не остаётся. М. М. Бахтин, «Сатира», 1950 г. (цитата из НКРЯ) ◆ Мелкие пустоты обычно нацело заполняются минеральным веществом. А. Г. Бетехтин, «Курс минералогии», 1951 г. (цитата из НКРЯ)

2. матем. без остатка (о делении) ◆ Правда, мы получаем абсолютный номер сектора, но это не страшно, для «правильных» секторов номер будет нацело делиться на количество секторов на дорожку… «Из технического описания» ◆ А при проверке, является ли год с номером Year високосным, следует помнить, что год считается таковым, если его номер делится нацело на 4, но не делится на 100 или делится нацело на 400.

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова первач (существительное):

Источник

нацело

Смотреть что такое «нацело» в других словарях:

нацело — нацело … Орфографический словарь-справочник

нацело — целиком и полностью, полностью, насквозь, чисто, целиком, абсолютно Словарь русских синонимов. нацело см. полностью 2 Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов

НАЦЕЛО — НАЦЕЛО, нареч. (разг.). Целиком, без остатка, полностью. Число делится нацело. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

НАЦЕЛО — нареч. подцело, о делении одного числа на другое без остатка. Нацело не выходит, а с дробью. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

НАЦЕЛО — НАЦЕЛО, нареч. (разг.). Без остатка, полностью. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Нацело — нареч. качеств. обстоят. разг. Без остатка, полностью. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

нацело — н ацело … Русский орфографический словарь

нацело — нареч … Орфографический словарь русского языка

нацело — нареч. Разг. Без остатка, полностью. Н. забыть. Н. испортить что л … Энциклопедический словарь

нацело — нареч.; разг. Без остатка, полностью. На/цело забыть. На/цело испортить что л … Словарь многих выражений

нацело — на/цел/о … Морфемно-орфографический словарь

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— деление натуральных чисел;

— свойства деления натуральных чисел.

Деление – это математическое действие, обратное умножению.

Делимое – это число, которое делят.

Делитель – это число, на которое делят.

Частное – результат деления.

Делить на нуль нельзя.

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Любое натуральное число а делится на 1 и само на себя:

так как а ∙ 1 = а, 1 ∙ а = а.

Например, 14 делится на 1 и на 14.

14 : 1 = 14, 14 : 14 = 1

При делении ноля на любое натуральное число получается ноль: 0 : а = 0, потому что 0 ∙ а = 0.

Запомните: делить на нуль нельзя!

Для деления чисел из двух и более цифр (знаков) применяют деление уголком.

Вспомним, как делить уголком, на примере.

Для начала запишем делимое и делитель уголком:

Начнём делить 392 на 28 следующим образом.

Во-первых, определим неполное частное. Для этого слева направо сравниваем цифры делимого и делителя.

Ставим точку в частном (под уголком делителя).

После вычитания в остатке получилось 11, это меньше, чем 28, поэтому к 11 дописываем 2.

112 делится на 28. Получаем 4. Записываем полученный результат второй цифрой в ответе.

В остатке получился нуль – значит, числа разделились нацело. Таким образом, 392 : 28 = 14.

Сначала одновременно умножим 50 и 25 на 2. Получим:

Теперь разделим 50 и 25 на 5. Получим:

В обоих случаях ответ оказался одинаковым. Значит, свойство частного верно.

Если каждое из натуральных чисел a и b делится на натуральное число с, то верно равенство:

(a+ b) : c = a : c + b : c.

Убедимся в правдивости данного свойства на примере.

Вычислим выражение: 124 : 4 + 36 : 4.

Рассмотрим два способа решения.

1 способ. Выполним деление и сложим результаты.

124 : 4 + 36 : 4 = 31 + 9 = 40.

2 способ. Заметим, что у нас есть общий делитель – 4. Вынесем его за скобки. Получим:

(124 + 36) : 4 = 160 : 4 = 40.

В обоих случаях у нас получился один и тот же ответ. Значит, свойство верно.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Вычислите 812 : 14 = _____.

Решение: выполним деление уголком.

№ 2. Найдите неизвестный множитель х из равенства: 15 ∙ х = 195.

Выберите верный ответ: х = 3; х = 13; х = 25; х = 15.

Решение: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение поделить на известный множитель, то есть:

Источник

Метод анализа делимости нацело

Метод анализа делимости нацело. Использование признаков делимости

Рассмотрим примеры, когда при решении задачи возникает необходимость проанализировать делимость нацело того или иного целочисленного выражения.

Пример №7.

Доказать, что при любом натуральном п выражение делится нацело на 6.

Решение:

Преобразуем выражение к виду и докажем, что произведение трёх последовательных целых чисел всегда делится нацело на 6. В самом деле, каждое второе целое число кратно двум, а каждое третье — трём. Поэтому можно утверждать, что среди подряд идущих чисел п — 1, п и п + 1 по крайней мере одно делится на 2, и (одновременно с этим) одно делится на 3. Следовательно, их произведение будет делиться на 6, что и требовалось доказать.

Замечание. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.

Пример №8.

Доказать, что число делится нацело на 9.

Решение:

Преобразуем число к виду

Каждое из двух слагаемых делится нацело на 9 по признаку делимости на 9. Следовательно, их разность также кратна 9, что и требовалось доказать.

Пример №9.

Найти все числа вида такие, чтобы они делились без остатка на 36.

Решение:

2) Если Y = 6, то число кратно кратно 9, т.е. X = 0 или X = 9. Таким образом, нашли ещё два числа: 34056 и 34956. Ответ: 34452, 34056 и 34956.

Пример №10.

Решить уравнение в целых числах

Решение:

Заметим, что при целых X и Y в левой части уравнения стоит нечётное число, а в правой — чётное, что невозможно. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример №11.

Доказать, что уравнение не имеет целочисленных решении.

Доказательство. Достаточно заметить, что при целых X и Y выражение в левой части уравнения делится нацело на 5, а число 13 справа — нет. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Пример №12.

Существуют ли целые числа т и п , удовлетворяющие уравнению

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

Так как — всегда числа одинаковой чётности, то их произведение либо нечётно (что невозможно, так как 1998 — чётное число), либо кратно четырём. Но 1998 на 4 не делится.

Ответ: не существуют.

Пример №13.

Решить в целых числах систему уравнений

Решение:

1-й способ. Из первого уравнения системы следует, что числа x и у имеют разную чётность (если одно четно, то другое — нечётно, и наоборот). Из второго уравнения аналогично следует, что у и z — разной чётности, а из третьего, что X и Z также имеют разную чётность, что невозможно.

2-й способ. Сложив все три уравнения системы, получим следствие

Левая часть последнего равенства чётна как сумма трёх чётных чисел (поскольку произведение любых двух последовательных целых чисел всегда чётно), а правая часть — нечётна, что невозможно. Ответ: нет решений в целых числах.

Пример №14.

Известно, что 4п = 5т . Найти все натуральные числа т и n , удовлетворяющие этому равенству.

Решение:

Пример №15.

При каких наименьших натуральных значениях n и m выполняется равенство

Решение:

1) Заметим, что левая часть уравнения делится нацело на 3, следовательно, и правая часть уравнения должна делиться на 3, а значит, m должно быть кратно 3, т.е. Аналогично правая часть уравнения кратна 2, следовательно, и левая часть должна делиться на 2, а значит, n должно быть кратно 2, т.е. Подставим в уравнение:

2) Так как ; аналогично рассуждая, получим, что, так как Подставим в последнее уравнение:

3) Так как Подставим в уравнение:

Ответ:

Подбором одного из решений с последующим анализом делимости решаются в простейших случаях линейные диофантовы уравнения.

Пример №16.

На какую минимальную величину могут отличаться друг от друга натуральные числа т и п, если известно, что дробь является натуральным числом?

Решение:

Так как число 89 — простое (убедитесь в этом сами), то данная дробь является натуральным числом тогда и только тогда, когда выражение принимает значения С учётом натуральности т и п возможен только случай, когда

Это линейное диофантово уравнение. Решим его. Очевидно, пара чисел является одним из его решений. Для нахождения множества всех решений уравнения (1) вычтем из него почленно тождество , получив уравнение, равносильное уравнению (1):

Переписав последнее уравнение в виде

воспользуемся анализом делимости левой и правой частей. Так, поскольку левая часть уравнения (2) делится нацело на 3, то и правая часть, т.е. выражение должно быть кратным числу 3. Следовательно, Это означает, что найдётся такое целое , что , т.е. Подставляя в (2), находим . Итак, множество пар где образует множество всех целочисленных решений уравнения (1). Учитывая натуральность m и n, получаем:

Пример №17.

Целое число кратно 7 и при делении на 4 даёт в остатке 3. Найти остаток от деления этого числа на 28.

Решение:

По условию Приравнивая, получаем линейное уравнение

которое необходимо решить в целых числах. Подберём любую пару целых чисел (k,m), удовлетворяющих уравнению, например (l,l). Вычитая из уравнения тождество , приходим к уравнению, равносильному решаемому:

В последнем уравнении выражение справа делится нацело на 4, следовательно, Тогда что означает, что число n делится на 28 с остатком 7.

В более сложных случаях, когда подобрать решение затруднительно, последовательное применение рассмотренного подхода, основанного на анализе делимости нацело, тем не менее, помогает справиться с проблемой.

Пример №18.

Найти хотя бы одну пару целых чисел а и b , удовлетворяющих соотношению

Решение:

1) Так как и в правой части , то отсюда следует, что для того чтобы удовлетворять данному уравнению, выражение 59b должно быть кратно 3, т.е. найдётся такое , что . Подставим в уравнение, и после сокращения на 3 получим новое уравнение (заметим, что коэффициент при а уменьшился):

2) Продолжаем анализировать делимость. Поскольку в последнем равенстве число чётно, то , должно быть нечётным, а значит, и число должно быть нечётным, т.е. Подставив в последнее уравнение и сократив на 2, получим