Что означает нулевая степень

Better Explained: Как понять ноль в нулевой степени?

Как мы можем повторить ноль нулевое количество раз и получить единицу? Всё дело в том, что наш подход к степени числа как к многократному умножению неверен. Нам нужно сменить парадигму. Давайте посмотрим, как мы привыкли воспринимать арифметические действия, и что они на самом деле из себя представляют.

Сложение

Как мы привыкли думать: это повторяющийся счёт

Как на самом деле: перемещение

Умножение

Как мы привыкли думать: это многократное сложение

Как на самом деле: масштабирование

Степень

Как мы привыкли думать: многократное умножение

Как на самом деле: рост с течением времени

Смотрим на арифметику как на преобразование

Отойдём на шаг назад. Как мы изучаем арифметику? Нас учат, что числа — это некое количество единиц; сложение — это прибавление одного количества единиц к другому количеству единиц (3+4 = 7), а умножение — это многократное сложение (2*3 = 2+2+2 = 6).

Очевидно, что эта модель восприятия неполноценна. Числа — это не просто единицы чего-то; гораздо лучше представлять их как некие точки с определённым положением на линии. Положение может быть отрицательным (-1), либо между другими числами (2²), либо в другом измерении (i).

Таким образом арифметика предстаёт перед нами как способ преобразовывать число. Сложение становится перемещением (+3 — это перемещение на 3 единицы вправо); умножение становится масштабированием (*3 — это увеличить число в три раза).

А что же такое тогда степень числа?

Познакомьтесь с Экпандотроном™

Это Экспандотрон 3000. Он выглядит как достаточно потрёпанная микроволновка, но вместо подогрева пищи она занимается ростом чисел. Просто положите число внутрь и проделайте несколько простых операций.

Вуаля! После звукового сигнала достаём наше новенькое готовое число. Например, мы хотим изменить 1 на 9. Что нам нужно сделать?

Что мы видим? Мы видим, как число начинает преобразовываться: 1; 1,1; 1,2. По окончании первой секунды оно уже выглядит как 3 и продолжает меняться: 3,1; 3,5; 4,0; 6,0; 7,5. И по окончании второй секунды оно превратилось в 9.

В математическом представлении Экспандотрон (или показательная функция) делает для нас следующее:

Например, 3 2 = 9/1. Основанием является то количество раз, в которое нам нужно вырастить число (х3), а степенью — количество времени (2). Формула типа 2 n означает «Используйте свой Экспандотрон на мощности х2 в течение n секунд».

Работу Экспандотрона мы всегда начинаем с 1, чтобы посмотреть, как он меняет одну единицу. Если мы хотим посмотреть, что случится с 3 в Экспандотроне, мы просто масштабируем конечный результат. Например:

Начните с 1 и умножьте на двойку в третьей степени: 1*2 3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8

Начните с 3 и умножьте на двойку в третьей степени: 3*2 3 = 3 * 2 * 2 * 2 = 24

Каждый раз, когда вы видите простую степень, вы начинаете с 1.

Идём к пониманию масштабирующего множителя

При умножении мы можем просто указать конечный масштабирующий множитель. Хотите число в 8 раз больше? Умножаем на 8. Готово.

Степени более капризны в обращении. Вот как они работают:

Вы: Хочу вырастить вот это число.

Экспандотрон: Ок, давай его сюда.

Вы: И насколько большим оно станет?

Экспандотрон: Пффф, без понятия. Давай посмотрим.

Вы: Посмотрим? Я думал, ты зна.

Экспандотрон: Тихо! Оно растёт! Растёт!

Экспандотрон: Готово! Это шедевр!

Это может звучать раздражающе неопределённо, но знаете, что? Большинство явлений природы заканчиваются неизвестно чем!

Как думаете, бактерия действительно планирует делиться каждые 14 часов? Нет, она просто питается забытым вами в холодильнике хлебом и растёт так быстро, как только может. Чтобы предсказать поведение этой бактерии, мы можем лишь использовать значения темпа её роста и длительности роста — и только потом мы получим конечное значение.

Иными словами, степень числа — это такой способ сказать «Начинаем с таких условий, изменяем их и смотрим, к чему мы придём». Этим и занимается наш Экспандотрон.

Идём к пониманию дробных степеней

Очень легко запутаться, если мы думаем о двойке в полуторной степени привычным способом — как о многократном умножении. Но в Экспандотроне всё просто: 1,5 — это всего лишь проведённое в нём время.

2 1,5 означает 1,5 секунды в машине, значит, этот рост окажется где-то между двукратным и четырёхкратным.

Умножение степеней

Что если мы захотим прогнать два цикла роста один за другим? Ну, например, мы используем машину в течение 2 секунд, а потом ещё 3 секунды на той же мощности:

Представьте самую обычную микроволновку. Разве это не будет самый обычный цикл длительностью в 5 секунд? Будет. Здесь происходит то же самое — раз уже мощность (основание) остаётся одинаковой, мы просто складываем время:

Квадратные корни

Продолжим. Предположим, мы выбрали мощность а и устанавливаем рост в течение 3 секунд:

Неплохо. Как будет выглядеть рост в течение половины этого времени? Логично, что 1,5 секунды.

А если мы проделаем то же самое два раза?

частичный рост * частичный рост = полный рост

Смотрим на это уравнение и видим, что «частичный рост» — это квадратный корень из значения полного роста. А если мы разделим время на три части?

частичный рост * частичный рост * частичный рост = полный рост

А вот и кубический корень! Это даёт нам интуитивное понимание того, почему деление степеней даёт нам корни: мы разбиваем время на равные доли.

Отрицательные степени

А как быть с отрицательными степенями? Отрицательные степени для нас будут значить обратный отсчёт во времени. Если движение вперёд во времени приводит нас к росту, движение назад, скорее всего, выльется в уменьшение числа.

Это значит следующее: «Секунду назад у нас была половина от текущего количества (1/2 1 ). Любой график экспоненциального роста строится именно так.

Выберите точку на шкале времени, например, 3,5 секунды (2 3,5 = 11,3). Через секунду мы удвоим наше количество (2 4,5 = 22,5). А секунду назад у нас была всего лишь половина от текущего количества (2 2,5 = 5,65).

Приходим к нулевой степени

Значит, масштабирующий множитель равен единице, значит, никаких изменений с нашим числом не происходит. Новое число будет равняться исходному числу, то есть (вы же помните, что исходное число у нас единица?) единице. Масштабирования не происходит.

Приходим к нулевому основанию

Приходим к нулевому основанию в нулевой степени

0 в степени 0 означает рост х0 в течение 0 секунд. Хоть мы и планировали аннулировать число, мы так и не запустили машину. Новое число равно исходному числу (то есть в наш Экспандотрон мы положили единицу), масштабирующий множитель тоже равен единице.

Конечно, Экспандотрона на самом деле не существует (а жаль!). Конечно, числа на самом деле не выстраиваются в линейку — они всего лишь один из множества способов взглянуть на мир.

По материалам очаровательной статьи на Better Explained.

Источник

Степень числа: определения, обозначение, примеры

В рамках этого материала мы разберем, что такое степень числа. Помимо основных определений мы сформулируем, что такое степени с натуральными, целыми, рациональными и иррациональными показателями. Как всегда, все понятия будут проиллюстрированы примерами задач.

Степени с натуральными показателями: понятие квадрата и куба числа

Сначала сформулируем базовое определение степени с натуральным показателем. Для этого нам понадобится вспомнить основные правила умножения. Заранее уточним, что в качестве основания будем пока брать действительное число (обозначим его буквой a ), а в качестве показателя – натуральное (обозначим буквой n ).

Разберем пример степени с натуральным показателем: для 5 7 пятерка будет основанием, а семерка – показателем.

Понятие степени является обратным другому математическому понятию – корню числа. Если мы знаем значение степени и показатель, мы можем вычислить ее основание. Степень обладает некоторыми специфическими свойствами, полезными для решения задач, которые мы разобрали в рамках отдельного материала.

Что такое степени с целым показателем

В показателях степени могут стоять не только натуральные числа, но и вообще любые целые значения, в том числе отрицательные и нули, ведь они тоже принадлежат к множеству целых чисел.

Степень числа с целым положительным показателем можно отобразить в виде формулы: .

При этом n – любое целое положительное число.

Разберемся с понятием нулевой степени. Для этого мы используем подход, учитывающий свойство частного для степеней с равными основаниями. Оно формулируется так:

Последнее условие важно, поскольку позволяет избежать деления на ноль. Если значения m и n равны, то мы получим следующий результат: a n : a n = a n − n = a 0

При желании легко проверить, что a 0 = 1 сходится со свойством степени ( a m ) n = a m · n при условии, что основание степени не равно нулю. Таким образом, степень любого отличного от нуля числа с нулевым показателем равна единице.

Такая формулировка подтверждает, что для степени с целым отрицательным показателем действительны все те же свойства, которыми обладает степень с натуральным показателем (при условии, что основание не равно нулю).

Проиллюстрируем нашу мысль конкретными примерами:

В последней части параграфа попробуем изобразить все сказанное наглядно в одной формуле:

Что такое степени с рациональным показателем

Мы разобрали случаи, когда в показателе степени стоит целое число. Однако возвести число в степень можно и тогда, когда в ее показателе стоит дробное число. Это называется степенью с рациональным показателем. В этом пункте мы докажем, что она обладает теми же свойствами, что и другие степени.

Далее нам необходимо определить, какие именно ограничения на значения переменных накладывает такое условие. Есть два подхода к решению этой проблемы.

Для степени с нулевым основанием это положение также подходит, но только в том случае, если ее показатель – положительное число.

Степень с нулевым основанием и дробным положительным показателем m / n можно выразить как

При отрицательном отношении m n 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Отметим один момент. Поскольку мы ввели условие, что a больше или равно нулю, то у нас оказались отброшены некоторые случаи.

Если n – нечетное число, а значение m – положительно, a – любое неотрицательное число, то a m n имеет смысл. Условие неотрицательного a нужно, поскольку корень четной степени из отрицательного числа не извлекают. Если же значение m положительно, то a может быть и отрицательным, и нулевым, т.к. корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

Объединим все данные выше определения в одной записи:

Здесь m/n означает несократимую дробь, m – любое целое число, а n – любое натуральное число.

Определение степени с дробным показателем, которое мы привели первым, удобнее применять на практике, чем второе, поэтому мы будем далее пользоваться именно им.

При вычислении же лучше заменять показатель степени обыкновенной дробью и далее пользоваться определением степени с дробным показателем. Для примеров выше у нас получится:

Что такое степени с иррациональным и действительным показателем

Что такое действительные числа? В их множество входят как рациональные, так и иррациональные числа. Поэтому для того, чтобы понять, что такое степень с действительным показателем, нам надо определить степени с рациональными и иррациональными показателями. Про рациональные мы уже упоминали выше. Разберемся с иррациональными показателями пошагово.

и так далее (при этом сами приближения являются рациональными числами).

Источник

«А сколько будет 0 в степени 0?» или прощай мозг.

неопределенность, нельзя так делать, как на ноль делить нельзя))

В общем, либо получится 1 (как любое число в нулевой степени), либо вообще недопустимая операция (как 0 в неположительной степени), но точно не 0))

В программировании существует переменная, хранящая результат.

Допустим, вот псевдокод топорного умножения:

Функция_УМНОЖИТЬ(Множимое M, Множитель N)

Здесь переменная ИТОГО изначально равна НУЛЮ, так как будет копить Множимое N-раз через сложение.

А вот функцию возведения в степень аналогична, но немного иная:

Функция_ВОЗВЕСТИ(Основание степени M, Показатель степени N)

Тем самым, переменная ИТОГО изначально не должна равняться НУЛЮ, так как будет копить Основание N-раз через умножение.

Более простым языком: Допустим, имеем уравнение Z=0^Y*X. Если Y равен 1, мы умножаем X на 1 НОЛЬ. Т.е. сокращённая запись принимает вид Z=0*X. Если же Y равен 0, мы не умножаем X ни на что вообще. Т.к. сокращённая запись уже имеет вид Z=X, где нет место НУЛЮ, тем самым, формула включает в себя 0 НОЛЕЙ.

вот почему https://www.youtube.com/watch?v=r0_mi8ngNnM

Любое число в нулевой степени, за исключением нуля, равно единице, гугл.

Сколько будет 0-2=? Если от этой цифры нельзя нечего взять

все визуально просто: постройте график функции, приближаясь все ближе к нулю, сами увидите, что «0» в нулевой степени остановится на точке «1»(плсмотрите ролик Физика Побединского в ютубе «0» в степени «0»)

Думаю примера будет достаточно:

2 ^ 0 = 1 = 1
2 ^ 1 = 1 * 2 = 2
2 ^ 2 = 1 * 2 * 2 = 4
2 ^ 3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8

А Сергей знает толк в пожертвованиях

Бедные куры

Еще можно защищать цветы от пчел.

«для папы»

Следите за речью, молодой человек

Бразильские развлечения

Погода

Немного хороших новостей

Девочке-вундеркинду Алисе Тепляковой из МГУ рекомендовано приостановить обучение в высшей школе, заявил РИА Новости член СПЧ Александр Асмолов.

По его словам, присутствует вероятность того, что эксперимент с обучением может повлечь за собой нарушения психического развития девочки.

Пудинг

В детстве, когда я читал книгу «Мэри Поппинс», мне безумно хотелось попробовать блюдо, которое там называлось «пудинг».
Совершенно нигде нельзя было узнать, что это такое, и я попросил приготовить «пудинг» маму.
Так я узнал, что дети в Англии фанатеют от рисовой каши с вареньем на завтрак.

Именно

Пост прощальный

Добрый вечер, пикабушники

Он делился с вами частью своей жизни. И она закончилась.

Сегодня 40 дней, как его нет.

Помолитесь, кто сможет или просто помяните добрым словом.

Звали мужа- Виталий.

Ответ на пост про поборы в армии

Мой коллега служил в городе Борзя. Местные барыги (АУЕ и всё такое) отжали денежное довольствие у нескольких офицеров. Взвод в машину и туда, где обычно обитали маргиналы (кабак для своих) с пояснением: «Пиздить всех, кто не в зелёной форме».

Больше военнослужащих никто не трогал.

Ответ на пост «О лампах в подъезде»

Действительно странно, но скорее всего дело в какой нибудь полоумной бабке соседке, которая считает, что эти ваши домофоны много липиздричества жрут, а вы буржуи еще и свет тратите.
Была у нас такая бабуля (царствие ей небесное), которая вела неравный бой с рептилойдом Чубайсом, и его пособниками в лице половины жителей подъезда.

На собрании жильцов, бабуля, заручившись поддержкой старшей по дому и еще нескольких пенсионеров, зачитала целую лекцию о перерасходе электроэнергии. Т.к. из всех молодых жителей подъезда был только я один, то практически единогласно «пенсионный фонд» принял решение, вкрутить самые слабые лампочки и подъезд погрузился во тьму.

Ну а дальше ситуация с бабулей разрешилась сама собой, наступил ковид, бабуля заболела и отъехала в мир иной. Ну а в подъезде стало чуточку светлее.

Источник

Свойства степеней. Действия со степенями

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»

a — основание степени;

n — показатель степени.

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:

2 — основание степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

Математики заскучали и решили все упростить:

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).

Источник

НУЛЕВАЯ СТЕПЕНЬ

Полезное

Смотреть что такое «НУЛЕВАЯ СТЕПЕНЬ» в других словарях:

НУЛЕВАЯ СТЕПЕНЬ — понятие социологии и философии постмодерна, означающее мнимую референциональность мифологического (Р. Барт), гиперреального или симулякра (Бодрийар), а также лимитированность гиперинтерпретации (Эко); де конструкт радикальной рефлексии развития… … Социология: Энциклопедия

НУЛЕВАЯ СТЕПЕНЬ — понятие философии постмодерна, означающее мнимую референциональность мифологического (Р.Барт), гиперреального или симулякра (Бодрийяр), а также лимитированность гиперинтерпретации (Эко); де конструкт радикальной рефлексии развития культуры… … История Философии: Энциклопедия

Нулевая гипотеза — Атрибуция результатов любого экспериментального исследования по отношению к случаю, совпадению или какомуто другому событию, не включенному в концепцию исследования. Прибегая к статистическому анализу, мы устанавливаем степень вероятности… … Большая психологическая энциклопедия

Степень — в первоначальном понимании (целая и положительная С.) есть произведение нескольких равных сомножителей. Обозначение: а основание, n показатель степени, an степень. С. a2 называется квадратом, a3 кубом (a2 площадь квадрата, a3 объём куба… … Большая советская энциклопедия

БАРТ — (Barthes) Ролан (1915 1980) франц. семиотик, критик, эссеист. Окончил Париж, ун т по специальности “классич. филология”. В 30 40 х гг. долгое время был оторван от столичной лит. жизни: годами лечился в туберкулезных санаториях, преподавал … Энциклопедия культурологии

Барт, Ролан — У этого термина существуют и другие значения, см. Барт. Ролан Барт Roland Barthes Дата рождения: 12 ноября 1915(1915 11 12) Место рождения: Шербур Дат … Википедия

БАРТ (BARTHES) Ролан — (1915 1980) французский литературовед, социальный философ структуралист. Основатель Центра по изучению массовых коммуникаций (1960), профессор Практической школы высших знаний (1962), руководитель кафедры литературной семиологии в Коллеж де Франс … Социология: Энциклопедия

коммуникация повествовательная и драматическая — Франц. COMMUNICATION NARRATIVE ET DRAMATIQUE, англ. NARRATIVE AND DRAMATIC COMMUNICATION, нем. DRAMATISCHE KOMMUNIKATION. В соответствии с теорией коммуникации, коммуникацию в любом повествовательном тексте можно представить следующим образом: О4 … Постмодернизм. Словарь терминов.

БАРТ — I.БАРТ (Barth) Карл (1886 1968) швейцарский теолог. Во время своей конфирмации в 1902 Б. решает посвятить свою жизнь теологии, и с 1904 по 1909 изучает ее в университетах Берна, Берлина, Тюбингена и Марбурга. Обучаясь в Берлине, он попадает под… … История Философии: Энциклопедия

Источник