Что означает постоянная с в определение неопределенного интеграла

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на

При этом f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (1,2).

Замечание. В формулах (1) и (2) знаки и уничтожают друга. В этом смысле интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями.

Свойства линейности неопределенного интеграла.

Таблица интегралов

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал f (x)dx, а затем в таблице
интегралов найти первообразную.

Пример 1.

который можно отыскать в таблице интегралов, где u(x) = sin x.

Пример 2.

Здесь мы умножили подынтегральную функцию и разделили на 2, затем внесли 2 под знак дифференциала. Заменим 2dx =d (2x +1) и получим табличный интеграл

Проверим результат дифференцированием:

Пример 3.

В данном примере мы применили прием подведения под знак дифференциала cosx и постоянной 1. cos xdx = d(1+ sin x).

Пример 4.

Метод подстановки

Пример 6.

Метод интегрирования по частям.

Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.

Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.

Источник

Первообразная

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.

Определённый интеграл

Определенный интеграл— Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].

Общий вид определённого интеграла:

где f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Применение определённого интеграла:

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е.

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток времени [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение:

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Свойства определенного интеграла

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Методы интегрирования неопределенного интеграла с примерами решения

Содержание:

При решении многих практических задач таких, как вычисление длин линий, площадей, отыскание траекторий движения и других, вводится понятие интегрирования.

Определения

Определение: Первообразной функции

Теорема: (о существовании первообразной) Если функция f(x) непрерывна на сегменте то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Доказательство:

ТЗ. Если и первообразные функции f(х), то они отличаются друг от друга на постоянную величину.

Доказательство: Пусть Введем в рассмотрение вспомогательную функцию и рассмотрим эту функцию на открытом интервале По теореме Лагранжа для любого интервала выполняется равенство По условию теоремы следовательно, . В силу произвольности точек полученное равенство выполняется для всего исследуемого интервала. Это означает, что откуда и вытекает утверждение теоремы.

Пример:

Пусть дана функция Найти первообразную этой функции.

Решение:

В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные Их разность

Определение: Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается — переменная интегрирования, — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение.

На основании теорем можно записать, что

Определение: Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую y = F(x), для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции f(х) в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой F’(x) = f(х). Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции f(х).

Пример:

Построить кривые, которые задаются неопределенным интегралом

Решение:

Первообразной для под интегральной функции f(х) = 2х будет функция следовательно, Построим эти кривые (Рис. 1):

Рис. 1. Интегральные кривые

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна под интегральной функции

Доказательство: По определению неопределенного интеграла

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен под интегральному выра- жению

Доказательство: По определению дифференциала от неопределенного интеграла имеем

3. Если под интегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F(x), тo неопределенный интеграл равен

Доказательство: Так как

4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же самой линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций

5. Формула неопределенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования

Таблица основных неопределенных интегралов

Методы интегрирования

Метод тождественных преобразований под интегральной функции

Данный метод основан на использовании простых приемов, алгебраических и тригонометрических формул, свойств подынтегральной функции, разложения полиномов на простые множители и свойств неопределенного интеграла. Рассмотрим этот метод на конкретных примерах.

1. Почленное деление числителя дроби на ее знаменатель

Замечание: Следует запомнить, что нет формулы почленного деления знаменателя дроби на ее числитель, т.е.

Пример:

Найти

Решение:

Выполним в под интегральной функции почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и воспользуемся свойством линейности неопределенного интеграла

Замечание: Из этого примера видно, что слова «найти неопределенный интеграл” означают: за счет преобразований подынтегральной функции и использования свойств неопределенного интеграла данный интеграл надо привести к совокупности табличных интегралов и воспользоваться этой таблицей.

Замечание: Из примера также видно, что, несмотря на наличие двух табличных интегралов, константа интегрирования С пишется один раз, так как сумма или разность постоянных интегрирования все равно есть постоянная величина.

2. Использование противоположных арифметических операций (например, сложение-вычитание).

Пример:

Найти

Решение:

Анализ под интегральной функции показывает, что в числитель дроби надо добавить и вычесть 1 (при этом подынтегральная функция не изменится), а затем воспользоваться первым приемом (почленное деление числителя дроби на ее знаменатель)

3. Использование алгебраических и тригонометрических формул, например,

и других формул.

Пример:

Найти

Решение:

Воспользуемся формулой квадрата разности

Пример:

Найти

Решение:

4. Использование свойств функций, например,

Пример:

Вычислить

Решение:

Пример:

Вычислить

Решение:

5. Использование разложения полиномов на простые множители, например, , где и корни уравнения

Пример:

Найти

Решение:

По теореме Виета уравнение имеет корни следовательно, разложение квадратичного полинома на простые множители имеет вид: Подставим полученное выражение в подынтегральную функцию, получим

Метод замены переменной интегрирования

Данный метод основан на формуле

Метод замены переменной интегрирования применяется в двух случаях:

а) Если аргумент функции отличается от простого аргумента х, то этот сложный аргумент принимается в качестве новой переменной интегрирования t.

Пример:

Вычислить

Решение:

Так как показатель степени экспоненты отличается от простого аргумента х, то этот показатель степени принимаем в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

Замечание: После нахождения первообразной с новой переменной интегрирования надо обязательно вернуться к старой переменной интегрирования.

Пример:

Вычислить

Решение:

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом степенной функции и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е.

Пример:

Вычислить

Решение:

Выражение, стоящее в круглых скобках, является аргументом функции синус и отличается от простого аргумента х, поэтому принимаем его в качестве новой переменной интегрирования, т.е. б) Если элементарная функция, содержащаяся в подынтегральном выражении, имеет простой аргумент и в качестве множителя при dx присутствует первая производная этой функции, то в качестве новой переменной интегрирования принимается элементарная функция.

Пример:

Найти

Решение:

В подынтегральном выражении содержится элементарная функция tgx и в качестве множителя при dx присутствует ее первая производная следовательно, в качестве новой переменной интегрирования принимаем /gx:

Пример:

Найти

Решение:

Данный пример объединяет первый метод с методом замены переменной интегрирования. Выполним почленное деление числителя дроби на ее знаменатель и разобьем интеграл на два интеграла, для которых применяются два случая замены переменной интегрирования

Замечание: Умение отыскивать подходящую замену вырабатывается в процессе многократных упражнений, однако можно указать ряд случаев, когда можно сразу увидеть необходимую замену переменной интегрирования при анализе подынтегрального выражения, например, Из показанных примеров видно, что умение хорошо интегрировать зависит от хорошего знания таблицы производных от элементарных функций (см. Лекцию № 17 из Первого семестра).

Метод интегрирования по частям

Интегрирование по частям основано на использовании формулы дифференциала от произведения двух функций откуда находим, что произведение

Таким образом, для неопределенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид:

Для того чтобы знать, какую из функций принимать за U (все остальное в подынтегральном выражении принимается за dV), рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи:

1. — полином (многочлен) порядка n.

В этом случае

Замечание: Для нахождения функции dU используют определение дифференциала функции. При вычислении функции V интегрируют выражение dV, при этом постоянная интегрирования полагается равной нулю (С = 0). После выполнения этих действий применяют формулу интегрирования по частям.

Пример:

Вычислить

Решение:

Применим метод интегрирования по частям

Замечание: Из приведенного примера видно, что при необходимости метод интегрирования по частям применяется повторно.

2. Для интегралов вида

Пример:

Вычислить

Решение:

Действуя согласно методике, получим

3. Для интегралов вида которые называются возвратными, на первом шаге интегрирования безразлично, какую из функций (показательную или тригонометрическую ) принимать в качестве функции U. Однако на втором шаге в качестве функции U надо обязательно принимать ту из функций (показательную или тригонометрическую ), которая была принята на первом шаге, в противном случае интеграл возвращается к своему исходному виду при отсутствии проинтегрированной части.

Пример:

Найти

Решение:

(если сейчас в качестве функции U выбрать экспоненту, то интеграл вернется к своему первоначальному виду при отсутствии проинтегрированной части; убедитесь в этом самостоятельно)

Решим полученное уравнение относительно буквы Отсюда находим, что

4. Нестандартные интегралы требуют для своего вычисления приобретения опыта на практических занятиях.

Пример:

Найти

Решение:

Неопределенный интеграл

Определение 1. Пусть Δ − промежуток действительной оси. Функция y=F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на промежутке Δ, если F(x) − дифференцируема на Δ и (1)

Пример:

а) F(x)=x − первообразная для
б) − первообразная для − на любом промежутке из области определения функции f(x).
в) − первообразная для Действительно,
− на любом промежутке, не содержащем точку 0.

Теорема 1. Две дифференцируемые на промежутке Δ функции и будут первообразными для одной и той же функции y=f(x) тогда и только тогда, когда

. Докажем, что они отличаются на константу. Пусть

Тогда Пусть
По теореме Лагранжа (теорема 4 § 12):

Достаточность. Обозначим
Тогда то есть — первообразные
для одной и той же функции y=f(x), что и требовалось доказать.

Свойства неопределенного интеграла

Свойства 1 – 4 легко выводятся из определения первообразной и интеграла
и соответствующих свойств производной.
Докажем, например, свойство 3.

Из определений 1,2 следует, что интегрирование – действие обратное
дифференцированию (находится функция, производная которой равна данной).

Таблица интегралов

При вычислении интегралов в простых случаях применяют свойства 1 – 4.

Пример:

Пример:

Замена переменной в неопределенном интеграле

Пример:

Пример:

Пример:

При поднесении под дифференциал можно использовать свойства
дифференциала (см. § 6) где с – константа.

Пример:

Пример:

Пример:

Иногда в формуле (2) легче вычислять левую часть, чем правую:
(5)
Формула (5) – формула интегрирования с помощью замены переменной ; при этом — обратная функция.

Пример:

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Пример:

Пример:

Замечание.

Пример:

Пример:

Таким образом, проинтегрировав дважды по частям, получили уравнение,
содержащее в правой и левой части. Решив его, получим:

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник