Что означает преобразуйте в многочлен
Тождественные преобразования многочленов
Возведение двучлена в степень
Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:
Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.
К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:
Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена
Сомножитель (a + b) 3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:
А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:
То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b) 4 в виде произведения степеней (a + b) 2 (a + b) 2
А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:
Возведение трёхчлена в степень
Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.
Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c
Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:
В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:
Применим эту формулу к нашему примеру:
Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:
Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.
Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:
Итак, переменная a равна 2x
Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4
Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2
Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x 2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2
Вместо 4x 2 записываем (2x) 2
Далее вместо 16x записываем удвоенное произведение, а именно 2 × 2x × 4
Далее прибавляем квадрат второго выражения:
А член 19 пока переписываем как есть:
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19
(2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 = 4x 2 + 16x + 4 2 + 19
Чтобы сохранить значение исходного многочлена, нужно после прибавления члена 4 2 сразу же вычесть его
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 + 3
Значит, 4x 2 + 16x + 19 = (2x + 4) 2 + 3
Пример 2. Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x 2 + 2x + 2
Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x ) и второго выражения b (это будет 1).
Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x 2 + 2x + 1 2
x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 2 − 1 2 + 2 = (x + 1) 2 + 1
Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.
Рассмотрим следующее числовое выражение:
Значение этого выражения равно 17
Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2
Свернем полный квадрат, а члены −1 2 и 2 слóжим:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см
Запишем сумму площадей этих прямоугольников:
Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:
Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.
Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:
Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:
Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?
(3 + 1) 2
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.
Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:
(3 + 1) 2 + 1
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Пример 4. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x × 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = (x + 3) 2 − 1
Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 3x + 2
Возвращаемся к нашему примеру и прибавляем квадрат второго выражения, и чтобы значение выражения не изменилось, сразу же вычитаем его:
Прибавляем оставшийся член 2
Свернём полный квадрат:
Оставшийся квадрат второго выражения и число 2 можно сложить. В итоге получим:
Пример 6. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 9x 2 + 18x + 7
Пример 7. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 − 10x + 1
Пример 8. Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена 16x 2 + 4x + 1
Пример 9. Разложить многочлен x 2 + 6x + 8 на множители при помощи выделения полного квадрата.
Сначала выделим полный квадрат:
Преобразование целого выражения в многочлен
Урок 37. Алгебра 7 класс
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Преобразование целого выражения в многочлен»
· ввести понятие «целое выражение»;
· показать, что любое целое выражение можно представить в виде многочлена;
· показать способ определения целого выражения;
· показать способ преобразования целого выражения в многочлен стандартного вида.
В первую очередь необходимо выяснить, какие же выражения называют целыми.
Посмотрите внимательно на следующие выражения
Они составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также некоторые из выражений содержат степени.
Такие выражения называют целыми. Причём если выражение содержит, кроме действий сложения, вычитания и умножения, действие деление на число, не равное нулю, то оно также является целым, так как действие деление можно заменить умножением на число обратное делителю.
Следующее же выражение не является целым, так содержит деление на выражение с переменной.
Обратите внимание, что среди целых выражений есть многочлены и одночлены.
Нам с вами известно, что сумму, разность и произведение многочленов можно преобразовать в многочлен. Поэтому любое целое выражение можно представить в виде многочлена.
Прежде, чем рассмотреть примеры преобразования целого выражения в многочлен, вспомним, что если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки.
Если же перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки, на противоположный.
Также вспомним, что при умножении одночлена на многочлен надо умножить одночлен на каждый член многочлена.
А при умножении многочлена на многочлен надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Ну а теперь давайте рассмотрим примеры.
Итак, чтобы преобразовать целое выражение в многочлен, надо:
1. раскрыть скобки, если они есть;
2. применить формулы сокращённого умножения, если возможно;
3. при необходимости привести подобные слагаемые, чтобы получить многочлен стандартного вида.
Помним, что многочленом стандартного вида называется многочлен, все члены которого имеют стандартный вид и среди них нет подобных.
Тема №3. «Многочлены. Преобразование выражений»
Главная > Документ
Информация о документе | |
Дата добавления: | |
Размер: | |
Доступные форматы для скачивания: |
Глава 2. Буквенные выражения.
Тема №3. «Многочлены. Преобразование выражений»
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду и нет подобных слагаемых, то говорят, что это многочлен стандартного вида.
Формулы преобразования многочленов.
Для любых а, b и с верны следующие равенства:
2. (а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2 ;
4. (а + b) 3 = а 3 + 3a 2 b + 3аb 2 + b 3 ;
Предлагаю вашему вниманию демонстрационный вариант, изучите на его примере алгоритмы выполнения заданий и попробуйте свои силы.
1. Какое из приведённых ниже выражений тождественно равно произведению
Решение. Рассмотрим каждое из предложенных выражений.
(-1)) = 3 • (6 + 4) = 3 • 10 = 30.
8. Соотнесите каждое выражение
A> Б)
В>
с тождественно равным ему выражением:
Решение. Преобразуем каждое из заданных выражений.
A) . Это выражение тождественно равно выражению 1).
Б) . Это выражение тождественно равно выражению 3).
B) . Это выражение тождественно равно выражению 4).
37. Преобразование целого выражения в многочлен
Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями (произведение одинаковых множителей в целом выражении может быть записано в виде степени). К целым относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.
Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Например,
— целые выражения.
Примерами целых выражений служат такие выражения:
Выражение не является целым, так как в нём используется деление на выражение с переменной.
Выражение отличается от рассмотренных тем, что в нём содержится деление на число, отличное от нуля. Если деление заменить умножением на число, обратное делителю, то получится выражение
, которое, как и предыдущио выражения, составлено из многочленов с помощью действий сложения, вычитания, умножения. Поэтому это целое выражение также можно представить в виде многочлена.
Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.
Пример 1. Представим в виде многочлена выражение
Значит, данное выражение тождественно равно многочлену 4х 2 + 20.
Преобразование целого выражения в многочлен используется при решении уравнений, доказательстве тождеств, в задачах на делимость и т. п.
Решение: Упростим данное выражение:
Упражнения
пропущенное число так, чтобы получилось выражение, значение которого при любом целом п делится на 3.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.
С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень
Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Немного теории.
Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.
Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.