Что означает приближенное значение
Тема: приближенные значения чисел. Округление чисел
При выполнении вычислений часто возникает необходимость в округлении чисел, т.е. в замене их числами с меньшим количеством значащих цифр.
Например:
Если мы измерим высоту дерева на школьном участке, будет ли это целое число метров, дециметров, сантиметров? Скорее всего, нет. Нужно ли нам с точностью до миллиметра знать длину участка, который надо огородить забором? Конечно, нет.
А если вам задать вопрос «Сколько вам лет?» Как вы на него ответите? Вы же не будете говорить: «Мне 12 лет 1 месяц и 15 дней». Скорей всего вы просто скажите: «Мне 12 лет!».
Аналогично и со временем. Если часы показывают 11 часов 58 минут 20 секунд и тут, сосед по парте, спрашивает вас «Который час?». Вы же не станете говорить время с точностью до секунд, а скорей всего скажите «около 12 часов».
В математике существует правило округления чисел.
Например:
Начертите у себя в тетрадях отрезок АВ, равный 10-ти клеткам. Представьте, что по отрезку из точки А идёт человечек. Пусть он прошел 3 клетки. Можем ли мы сказать, что он прошёл весь путь или почти весь путь?
А если он прошёл 7 клеток. Что можно сказать теперь?
В каких их этих двух случаях человечек ближе к концу пути? А в каком ближе к началу? Правильно!
Пройдя 7 клеток, наш вымышленный человечек, ближе к концу пути. Из рисунка хорошо видно, что пройденный путь ближе к 10 клеткам или ближе к точке В.
Определение:
10 клеток называют приближённым значением с избытком.
А пройдя всего лишь 3 клеточки, наш человечек ближе к началу пути или к точке А, т.е. к числу 0.
Число 0 называют приближённым значением с недостатком.
Посмотрите, на следующее изображение отрезка CD.
Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см. Значит, 7 – приближённое значение длины отрезка CD (в см) с недостатком, а 8 – приближённое значение длины отрезка CD с избытком. Если длину отрезка обозначить буквой х, то получим 7
Приближенное значение величины и погрешности приближений
Министерство образования Сахалинской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
«Профессиональное училище № 13»
Приближенное значение величины и погрешности приближений.
Методические указания к самостоятельной работе обучающихся
Приближенные значения величин и погрешности приближений: Метод указ. / Сост.
Методические указания предназначены для обучающихся всех профессий, изучающих курс математики
Рекомендовано методической комиссией преподавателей ГБОУ НПО «Профессиональное училище №13»
Приближенное значение величины и погрешности приближений.
На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой амперметр не может дать точных показаний тока и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать с их приближенными значениями.
Тот факт, что а’ есть приближенное значение числа а, записывается следующим образом:
Если а’ есть приближенное значение величины а, то разность Δ = а — а’ называется погрешностью приближения*.
* Δ — греческая буква; читается: дельта. Далее встречается еще одна греческая буква ε (читается: эпсилон).
Например, если число 3,756 заменить его приближенным значением 3,7, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,7 = 0,056. Если в качестве приближенного значения взять 3,8, то погрешность будет равна: Δ = 3,756 — 3,8 = —0,044.
На практике чаще всего пользуются не погрешностью приближения Δ, а абсолютной величиной этой погрешности |Δ|. В дальнейшем эту абсолютную величину погрешности мы будем называть просто абсолютной погрешностью. Считают, что одно приближение лучше другого, если абсолютная погрешность первого приближения меньше абсолютной погрешности второго приближения. Например, приближение 3,8 для числа 3,756 лучше, чем приближение 3,7, поскольку для первого приближения
|Δ| = | — 0,044| =0,044, а для второго |Δ| = |0,056| = 0,056.
Число а’ называется приближенным значением числа а с точностью до ε, если абсолютная погрешность этого приближения меньше чем ε:
|а — а’| а, то а’ называется приближенным значением числа а с избытком.
Если мы вместо чисел а и b сложим их приближенные значения а’ и b’, то результат а’ + b’ будет приближенным значением суммы а + b. Возникает вопрос: как оценить точность этого результата, если известна точность приближения каждого слагаемого? Решение этой и подобных ей задач основано на следующем свойстве абсолютной величины:
Когда в этих формулах имеет место знак равенства?
1. Башмаков (базовый уровень) 10-11 кл. – М.,2012
Урок 43 Бесплатно Приближенные значения чисел. Округление чисел
Человеку постоянно приходится сталкиваться с решением различных практических и теоретических задач, которые чаще всего связаны с нахождением числовых значений величин.
Измерить какую-либо величину- это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу измерения.
В большинстве случаев полученные значения в результате вычислений и измерений получаются неточными, приближенными: немного больше или меньше истинного значения.
Точность- это степень приближения результата измерения (вычисления) к реальному значению.
Чем меньше точность, тем больше погрешность (расхождение истинного и полученного значения) и, соответственно, чем меньше погрешность, тем выше точность.
Точные измерения проблематичны в реальности по ряду причин:
Так, например, невозможно точно до метра определить протяженность рек, гор, расстояние от Земли до Луны, с точностью до грамма проблематично определить массу грузовика и т.д.
Сегодня на уроке мы научимся находить приближенные значения с избытком и недостатком.
Познакомимся с правилом округления чисел до заданного разряда.
Рассмотрим несколько примеров округления чисел.
Приближенные значения чисел
В настоящее время в различные сферы жизни человека все больше внедряются современные высокоточные устройства, которые позволяют быстро и точно производить измерения и вычисления.
Однако, порой нам даже нет необходимости знать точное значение величины.
Не раз нам приходилось встречать такие фразы: «около одного часа», «примерно один килограмм» или «приблизительно двадцать тысяч рублей» и т.п.
В подобных фразах синонимы: «около», «примерно», «приблизительно» и т.д. указывают на приближенность значений величины, на чуть большее или меньшее значение относительно реального.
Например, говоря о своем возрасте, мы чаще всего называем количество лет и месяцев, не упоминая о прожитых днях и часах.
На вопрос «который час?» мы скорее всего назовем сколько часов и минут в данный промежуток времени, не указывая секунды.
Числа, с которыми нам приходится встречаться и использовать в действительности, бывают двух типов:
Например, говоря о том, что у треугольника 3 стороны, число 3 представляет собой точным числом.
В утверждении о том, что стул имеет 4 ножки, число 4 так же является точным.
На практике, измеряя расстояние, массу, температуру, объем, площадь и другие величины, мы не можем определить их точные значения, а порой эти точные значения вовсе не требуется находить.
Поэтому важно знать (заранее установить) с какой точностью необходимо выполнить измерения и вычисления, т.е. необходимо выяснить какие доли единицы измерения необходимо принять во внимание, а какими можно пренебречь.
Приближенные значения делят на:
Рассмотрим поясняющий пример.
Обратите внимание на рисунок.
Улитка проползла некоторое расстояние и остановилась, данное расстояние обозначим как х (см).
Заметим, что улитка смогла преодолеть больше 7 см, но не смогла доползти до отметки 8 см.
Получается, что расстояние, которое проползла улитка больше 7 см, но меньше 8 см:
Математический язык использует огромное количество специальных символов и знаков, которые однозначно отражают свойства изучаемых процессов, явлений, объектов, освобождают от громоздких записей, конкретны в своей трактовке.
Одним из таких знаков является приближенное равенство.
Приближенное значение указывают с помощью специального знака.
Обозначается данный знак в виде двух волнистых линий: ≈
Знак «приближенное равенство» в 1882 г. предложил немецкий физик-математик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер.
Запись приближенное равно читается как «приблизительно равно» или «приближенно равно».
Например, a + b ≈ c читается так: сумма a и b приближенно равна с.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Округление чисел
Чтобы найти приближенное значение числа, используют математическое действие- округление чисел (замена числа его ближайшим «круглым» числом).
«Круглым» числом называют число, оканчивающееся одним или несколькими нулями.
Округление- это математическая операция, с помощью которой можно уменьшить количество знаков в числе за счет замены этого числа его близким значением с определенной точностью.
Суть операции округления заключается в нахождении числа ближайшего по своему значению к истинному.
Округлить можно любое число до любого разряда.
Важно знать и помнить правильное название и расположение разрядов в числе.
Вспомним разряды десятичных дробей.
Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.
Десятичные дроби возможно округлять так же как натуральные числа до единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.
При округлении числа до десятков число заменяют «круглым» числом, которое должно состоять из целых десятков, а вместо разряда единиц должен быть нуль.
Если необходимо округлить число, например, до сотен, это число заменяют «круглым» числом, в котором остается разряд сотен, а в разряде десятков и единиц должны стоять нули.
Округлим 1,7 до целого.
Рассмотрим процесс округления десятичной дроби с помощью координатного луча.
Разложим заданное число по разрядам.
1,7 = 1 + 0,7
Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.
Отметим на координатном луче точку с координатой 1,7.
Отложим один целый единичный отрезок от начала координат, получим одну целую единицу.
Чтобы отметить дробь 0,7, второй единичный отрезок разделим на десять долей, каждая такая доля будет равна \(\mathbf<\frac<1> <10>= 0,1>\).
От точки с координатой 1 отложим вправо семь долей единичного отрезка ОЕ, получим точку с координатой 1,7.
Обратим внимание, что точка 1,7 находится между натуральными числами 1 и 2.
Точка с координатой 1,7 удалена от точки Е(1) на семь долей единичного отрезка ОЕ, а от точки с координатой 2— всего на три доли единичного отрезка ОЕ.
Таким образом, можно утверждать, что точка с координатой 1,7 расположена ближе к точке с координатой 2.
Значит, при округлении числа 1,7 до целых получается число 2 (1,7 приближенно равно 2).
1,7 ≈ 2
Десятичные дроби так же можно округлять до определенного разряда, стоящего после десятичной запятой: до десятых, сотых, тысячных и т.д.
При округлении до какого-либо разряда все последующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их просто отбрасывают.
Округление чисел происходит по определенному правилу, рассмотрим его.
Чтобы округлить число до какого-либо разряда нужно:
Поясним на примерах.
Пример №1.
Округлим 83421 до сотен.
Подчеркнем в числе цифру 4, так как она стоит в разряде сотен.
83 4 21
За подчеркнутой цифрой стоит цифра 2, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №1: оставить цифру 4 без изменения.
Все цифры, стоящие после разряда сотен (цифры 2 и 1), заменим нулями.
В итоге получим округление числа 83 4 21 до 83 4 00.
Результат запишем следующим образом: 83421 ≈ 83400.
Пример №2.
Округлим до разряда единиц число 316,52.
Число 316,52 будем округлять до целых.
Известно, что десятичная дробь состоит из целой части (находящейся до десятичной запятой) и дробной части (находящейся после десятичной запятой).
В заданной десятичной дроби 316,52 в разряде единиц стоит цифра 6.
Подчеркнем цифру 6.
Цифра, стоящая справа от подчеркнутой цифры- это цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 6 прибавить единицу.
Получим в разряде единиц цифру 7, все цифры, стоящие следом за округляемым разрядом (стоящие после десятичной запятой), отбрасываем.
Результат запишем следующим образом: 316,52 ≈ 317.
Пример №2.
Округлим число 27,819 до разряда сотых.
В заданной десятичной дроби 27,819 в разряде сотых стоит цифра 1, подчеркнем ее.
27,8 1 9
За подчеркнутым разрядом стоит цифра 9, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 1 прибавить единицу.
Получим в разряде сотых цифру 2, все цифры, следующие за разрядом сотых, просто отбрасываем.
Результат запишем следующим образом: 27,819 ≈ 27,82.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Округлим до тысячных число 1,2397.
В разряде тысячных стоит цифра 9, подчеркнем ее.
1,23 9 7
Справа от подчеркнутой цифры находится цифра 7, значит, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 9 прибавить единицу.
9 + 1 = 10
Ноль необходимо оставить в разряде тысячных, а единицу добавить к предыдущему (старшему) разряду, все цифры, стоящие после разряда тысячных нужно просто отбросить.
Получим следующий результат: 1,23 9 7 ≈ 1,240.
Ноль, в полученной десятичной дроби 1,240 оставляем, чтобы показать до какого разряда производилось округление.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Уроки математики и физики для школьников и родителей
пятница, 18 октября 2019 г.
Урок 15. Приближённые вычисления
Числа точные и приближённые.
В практической деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины, площади, объема, массы, температуры и так далее.
Числа, встречающиеся на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие – только приблизительное. Первые называют точными , вторые – приближенными .
Точное значение величины удается найти лишь в некоторых случаях.
Можно точно указать число вагонов железнодорожного поезда.
Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в классе.
В шестиугольнике 9 диагоналей, число 9 – точное.
В классе есть 29 учеников, число 29 – точное.
Однако по большей части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.
Чаще всего удобно пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.
Лишь приблизительно оценивают :
– количество зрителей телепередачи,
– количество перелетных птиц,
– количество деревьев в лесу.
Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 – приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.
Продавец взвесил на автоматических весах 50 г масла. Число 50 – приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г.
Приближенные значения получаются в результате измерений.
Невозможно, точно измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора (линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными качествами.
Невозможно точно измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета самолета и так далее.
Приближенные значения получают при округлении истинных значений величин.
Приближённые и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах .
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа.
Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной.
Для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3 , 6 , 7 , а сомнительными 1 и 4 . В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет выглядеть таким образом – 3,67 .
Число 2,19563 в расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его числом 2,196 или даже числом 2,20 , которые являются приближенными значениями числа 2,19563 с излишком.
Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и к приближённому числу.
Границы значения величины.
Всякое измерение (длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и небольшая разность.
Рассмотрим процесс определения массы детали с помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.
Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали в граммах :
26 г – приближённое значение с недостачей,
27 г – приближённое значение с излишком.
Другими словами, мы установили границы значения массы в граммах. Число 26 – нижняя граница, число 27 – верхняя граница.
Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2 г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.
Зная пределы значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая зависит от первой.
Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника :
Периметр равностороннего треугольника вычисляется по формуле :
Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а ≥ 16,2 .
Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а ≤ 16,5 .
Числа 16,2 и 16,5 – приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:
Записать решение можно и так :
Пусть известны границы какого-то числа х :
Заменим границы значения выражения 1 /х десятичными дробями. Число 1 / 6 можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением с недостачей), а число 1 / 3 – лишь больше (приближением с излишком). Поскольку
то границами значения выражения 1 /х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4 .
по известным правилам округления, то получили бы, что
Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1 /х могло бы очутиться вне полученных границах.
Способ записи приближённых чисел.
Приближённые значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности приближения.
На рулоне обоев написано, что его длина равна
Эта запись означает, что длина рулона равна 18 м с точностью до 0,3 м, то есть точное значение длины может отличаться от приближённого значения, равного 18 м, не более чем на 0, 3 м. Другими словами длина рулона должна находиться между
Если измеряя длину х некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427 м и меньше чем 6,429 м, то записывают :
Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью до
При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40 , запись 0,02 от 0,0200 и так далее.
Запись 2,4 означает, что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть, например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения предшествующей цифры ).
Запись 2,40 означает, что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398 , но не 2,421 и не 2,382 .
То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в виде 380 , а в виде 38 ∙ 10 . Запись же 380 означает, что последняя цифра (0) верна.
Если в числе 4720 верны лишь первые две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 10 2 , или это число можно также записать в виде 4,7 ∙ 10 3 и так далее.
Значащими цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.
В числе 0,00385 три значащие цифры.
В числе 0,03085 четыре значащие цифры,
Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Через то, что мы не можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.
Вычисления с приближенными данными.
Вычисления с приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами, можно так же получить приближённые числа.
При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном данном числе.
Найдём приближённое значение суммы х и у .
Из данных приближённых значений 17,2 и 8,407 менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то есть до десятых, получим:
Найдём приближённое значение разности х и у .
Из данных приближённых значений 6,784 и 4,91 менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть. до сотых, получим :
Найдите разность приближенных значений
Данным приближенным значением отвечают двойные неравенства
Умножим все части последнего двойного неравенства на –1 , получим
Прибавив это двойное неравенство к первому, получим
Несколько иначе поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление производится с учётом относительной точности данных. В этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде
и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном данном.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде :
В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71 две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых. Получим :
Известно, что все выписанные цифры верны, так что истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так далее долями.
В произведении получаем 4822,02 . Здесь могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.
Пусть, например, сомножители получены округлением точных чисел 60,23 и 80,14 . Тогда точное произведение будет 4826,8322 , так что цифра единиц в приближённом произведении (2) отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде :
Из этой записи видно, что число 1,76 следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим :
При умножении и делении приближённых чисел нужно в результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом данном с наименьшим числом значащих цифр.
Таким образом, при сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
Теория приближённых вычислений позволяет:
– зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий ;
– брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов ;
– рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.