Что означает разложить на множители в алгебре
Разложение многочлена на множители
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
Следствие из теоремы Безу
Разложение на множители квадратного трехчлена
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
Получив корни, запишем
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
4 f ( x ) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g ( y )
Когда получившаяся функция вида g ( y ) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
Перейдем к вычислению функции g ( y ) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 ( 2 x 2 + 14 x + 6 ) = = 2 x + 5 2 ( x 2 + 7 x + 3 )
Отсюда следует, что
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
После разложения на множители получим, что
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
После применения разности квадратов, получим
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Разложение на множители что значит и как раскладывать на простые множители число, корни, трехчлен, квадратное уравнение, примеры и решения, правило и алгоритм
При решении математических уравнений часто приходится преобразовывать равенства для упрощения выражений. Делается это с помощью разложения на множители. Приводить к простому виду можно как многочлены, так и одночлены, при этом необязательно знать даже формулы. Для решения сложных заданий можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Пользоваться им несложно, главное, иметь чёткое условие задачи и доступ к интернету.
Термины и понятия
Под разложением в математике понимается операция, которую выполняют для превращения сложного неудобного для вычисления примера в простой. В учебниках и литературе такое преобразование выражений называется тождественным, то есть без изменения сути задания.
Из слова «множители» можно понять, что в превращении используется умножение. Зная, как разложить полином на простые числа, можно быстро решать задачи на действия с корнями и сложными дробями. Например, выражение (3*h*y + 9*y — 8*h — 24) * (3*h — 8) после упрощения примет вид: h + 3 — и быстро решается в уме.
В математике все алгебраические выражения могут быть:
Числа часто записывают в так называемом стандартном виде. Например, 296,8 = 2,968 * 102. То есть используется формула приведения: a * 10r, где 1≤а Простое разложение
На уроках математики ученикам предлагают разложить на простые множители числа с помощью столбика (двух колонок). Делается это по следующему алгоритму. Исходное число проверяют на возможность деления без остатка на два. Если делится, то рисуют две колонки, в правую вписывают двойку, а в левую число, получившееся после деления на него исходного. В обратном случае вместо двойки используют цифру три. Далее действия повторяют для числа, находящегося уже в правой колонке. Выполняют деление до тех пор, пока в левой колонке не останется единица. Например, число 1176 можно разложить следующим образом:
1176 | 2 (1176 / 2 = 588).
588 | 2 (588 / 2 = 294).
294 | 2 (294 / 2 = 147).
1176 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 7 = 23 * 3 * 72.
Для того чтобы понять алгоритм, лучше рассмотреть ещё несколько интересных примеров:
Используя метод, можно представить любое число как произведение простых множителей, но с условием, что изначально оно будет кратным двум или трём. В ином же случае простые множители подобрать не получится, как, например, для числа 247, которое можно заменить произведением чисел 13 и 19.
Вынесение коэффициента
Это довольно простой способ разложения многочлена. Выполняют его с помощью перестановки общего множителя за скобку, в которой остаётся сумма выражения. То есть для этого метода необходимо представить искомое в виде произведения нескольких полиномов.
Чтобы выделить общий множитель, следует выполнить:
Например, пусть дано выражение: 3у2 — 3y + 6 r*y. Согласно правилу, необходимо найти число, на которое без остатка можно разделить каждый из трёх коэффициентов многочлена. Для рассматриваемого примера это будет цифра 3.
Затем определить буквенный множитель, имеющийся в каждом члене выражения. Найденную цифру и повторяющееся неизвестное с наименьшей степенью записать за скобкой. Теперь нужно каждый одночлен разделить на вынесенное значение, а полученный результат записать в скобках: 3y * (y — 1 + 2r). Для проверки правильности действий нужно просто раскрыть скобки путём умножения каждого члена на вынесенный множитель.
Формулы умножения
Довольно часто для упрощения расчётов используют формулы сокращённого умножения. Всего существует семь выражений, которые необходимо выучить. Найти их можно в таблицах любого учебника по алгебре за седьмой класс. Смысл этих теорем в следующем:
Все эти формулы умножения можно использовать также в обратную сторону, то есть собирать многочлен. Например, для решения примеров типа: «квадратный трёхчлен разложен на множители, найдите а». Если понять смысл этих формул, то запомнить их наизусть будет довольно легко.
Метод группировки
Пожалуй, самый распространённый способ разложения на множители. Его удобно применять для упрощения квадратных уравнений без поиска корней. Разложение этим методом выполняют в следующей последовательности действий:
Выполнять группировку можно по-разному, но в итоге обязательно должен остаться общий многочлен. Например, выражение 48 * h * e 2 + 32 * h * q — 15 * e 2 — 10 * q2 возможно решить двумя способами.
Для того чтобы вынести многочлен за скобку, может понадобиться инвертировать все знаки. Следует помнить, что при выносе минуса у всех одночленов, оставшихся под скобкой, знак изменится на противоположный.
Выделение квадрата
По сути, выделение общего квадрата соответствует преобразованию, при котором трёхчлен представляют в виде (k + e)2 или (k — e)2. Метод используется для решения биквадратных уравнений. Для выделения полного квадрата при разложении многочлена на множители применяют две формулы:
Например, нужно упростить дробь: (k4 + 4 * e4) / (k4 + 2 * e2 + 2 * k * e). Необходимо разложить числитель, используя формулы для полного квадрата: (k4 + 4 * e4) = (k4 + 4 * e2 * k2 + 4 * e 4). Значит, если отнять от многочлена 4 * k2 * e2, то получится уравнение: (k2 + 2 * e2) * 2 − 4 * k2 * e2. Используя формулу умножения квадратов, верно будет записать: (k2 + 2 e 2 − 2 * k * e) * (k2 + 2 e 2 + 2 * k * e).
Заменив полученным выражением числитель, можно будет его часть взаимно сократить со знаменателем. В итоге получится простое выражение: h2 + 2 * e2 − 2 * h * e.
Неприводимые множители
Решая различные задачи, можно столкнуться со сложными выражениями, которые, как кажется, разложить нельзя. Например, (2 * p2 — 5 * p — 3)/(3 * p — 9). В числителе дроби находится квадратный трёхчлен, который на самом деле можно разложить. Для того чтобы его можно было упростить, используется формула: ar2 + br + p = a (r — r1) * (r — r2), где r1 и r2 корни выражения.
Чтобы найти решения для линейного уравнения, необходимо определить дискриминант. То есть нужно из задачи отделить числитель, найти его решения и подставить найденные значения в формулу разложения.
Теперь вместо числителя нужно подставить полученное разложение: (2*p2 — 5*p — 3)/(3*p — 9) = 2*(p — 3) * (p + ½)/3 * (p — 3) = (2 *p + 1)/3.
Использование онлайн-калькуляторов
Порой, для решения сложных заданий нужно затратить много времени. При этом всегда существует риск допустить ошибку при расчётах. Чтобы этого избежать или проверить свой ответ, можно воспользоваться сайтами, предлагающие онлайн-калькуляторы. Использовать их сможет даже пользователь, совершенно не понимающий методов, используемых для упрощения выражений.
Расчёт обычно занимает менее 30 секунд. Приложений для упрощений уравнений достаточно много. Написаны они на Паскале или javascript. Появление ошибки при вычислении невозможно. Нередко на этих сайтах ещё и содержится информация о способах упрощения полиномов.
Для того чтобы получить ответ, необходимо будет с помощью браузера зайти на сайт онлайн-калькулятора и заполнить предлагаемые им поля. После того как упрощаемое выражение будет вписано, следует нажать кнопку «Рассчитать» или «Упростить выражение» и получить ответ с пошаговым решением.
Разложение многочленов на множители с примерами решения
Содержание:
Разложение многочленов на множители
Разложение многочленов на множители — операция, об-I ратная умножению многочленов. Как вы уже знаете, решая разные задачи, иногда умножают два или более чисел, а иногда — раскладывают данное число на множители. Подобные задачи возникают и при преобразовании целых алгебраических выражений. В этой главе вы узнаете о:
Вынесение общего множителя за скобки
Вы уже умеете раскладывать на множители натуральные числа. Например,
На множители раскладывают и многочлены. Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену. Например, многочлен 
Один из способов разложения многочленов на множители — вынесение общего множителя за скобки. Рассмотрим его.
Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения 
Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя: 
Чтобы убедиться, правильно ли разложен многочлен на множители, нужно выполнить умножение полученных множителей. Если всё верно, то в результате должен получиться данный многочлен.
Один и тот же многочлен можно разложить на множители по-разному. Например,
Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках осталось простейшее выражение. Поэтому чаще всего в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Но не всегда. Все зависит от того, с какой целью раскладывают на множители многочлен.
Пусть, например, надо найти значение выражения 
при условии, когда 
Чтобы использовать условие, это упражнение можно решить так:
Здесь вынесено за скобки не 
, а 
тогда в скобках имеем выражение, значение которого известно из условия.
Пример:
Разложите на множители многочлен 
Решение:
или 
Пример:
Разложите на множители многочлен
Решение:
Пример:
Докажите, что число 
делится на 20.
Последнее произведение делится на 20, поэтому делится на 20 и данная сумма.
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
поэтому данное уравнение равносильно уравнению 
Произведение двух чисел равно нулю тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю.
Ответ. Уравнение имеет два корня: 0 и 0,2.
Способ группировки
Разложим на множители многочлен 
Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель 
Вынесем из первой группы за скобки общий множитель а, из второй — общий множитель х, получим выражение 
Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + с, вынесем его за скобки, получим выражение
Указанные преобразования можно записать цепочкой:
Такой способ разложения многочленов на множители называют способом группировки.
Замечание. Раскладывая на множители представленный выше многочлен, можно сгруппировать его члены иначе:
Получили такой же результат.
Разложим на множители многочлен 
Записывать сумму а + с в виде 1 (а + с) необязательно, но сначала, чтобы не допускать ошибок, можно писать и так.
Чтобы воспользоваться способом группировки, иногда приходится один член данного многочлена представлять в виде суммы или разности одночленов. Чтобы разложить на множители трёхчлен 
• запишем одночлен 
Подобные преобразования также можно выполнять, используя тождества.
Пример:
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Ответ. 
Пример:
Решите уравнение: 
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители:
Корнем первого уравнения является у = 1,5, а второе уравнение корней не имеет, так как 
Квадрат двучлена
Решая различные задачи, часто приходится умножать двучлены вида 
Чтобы в таких случаях можно было сразу написать ответ, полезно запомнить тождества, которые называют формулами сокращённого умножения. Рассмотрим некоторые из них.
Умножим двучлен 
Следовательно,
Квадрат двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.
Доказанное равенство — тождество, его называют формулой квадрата двучлена. Пользуясь ею, можно сразу записать:
Промежуточные преобразования желательно выполнять устно, тем самым сокращается запись:
По формуле квадрата двучлена можно возводить в квадрат любые двучлены, в том числе 
Формулы квадрата двучлена используют и в «обратном направлении»:
Формулу 
часто называют формулой квадрата суммы двух выражений, 
— квадрата разности двух выражений.
Для положительных чисел а и b формулу
можно доказать геометрически, как показано на рисунке 44. Так её доказывали ещё древние греки. Ведь площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей квадратов 
а также прямоугольников ab и ab.
Существуют и другие формулы сокращённого умножения:
Пример:
Возведите в квадрат двучлен 
Решение:
Пример:
Упростите выражение 
Решение:
Пример:
Представьте в виде многочлена выражение:
Решение:
Пример:
Представьте выражение в виде степени двучлена:
Решение:
Разность квадратов
Умножим сумму переменных а и b на их разность.
Значит, 
Это равенство — тождество. Словами его читают так:
Произведение суммы двух выражений и их разности равно разности квадратов этих выражений.
Пользуясь доказанной формулой, можно сразу записать:
Левую и правую части доказанной формулы можно поменять местами. Получим формулу разности квадратов двух выражений:
Разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности.
Пример:
Формула разности квадратов очень удобна для разложения многочленов на множители.
Для положительных чисел а и b формулу 
можно проиллюстрировать геометрически (рис. 46). Но это тождество верно не только для положительных чисел, но и для любых других чисел и выражений.
Истинность формулы разности квадратов следует из правила умножения многочленов, а это правило — из законов действий сложения и умножения. Законы сложения и умножения чисел — это своеобразные аксиомы, следствиями которых являются алгебраические тождества.
Пример:
Напишите разность квадратов и квадрат разности выражений 
Решение:
— разность квадратов; 
— квадрат разности данных выражений.
Пример:
Запишите в виде произведения двух двучленов выражение:
Решение:
Пример:
Представьте в виде двучлена выражение:
Решение:
.
Используя формулу разности квадратов, промежуточные вычисления и преобразования можно выполнять устно, а записывать лишь конечный результат.
Использование формул сокращённого умножения
С помощью формул сокращённого умножения некоторые многочлены можно разложить на множители. Например, двучлен 
можно представить в виде произведения по формуле разности квадратов:
Примеры:
Трёхчлены 
раскладывают на множители по формуле квадрата двучлена:
Примеры:
Полученные, выражения можно разложить на множители и записать так: 
Многочлен 
можно разложить на множители по формуле куба двучлена:
Раскладывать на множители можно не только многочлены, но и некоторые другие целые выражения.
Например, 
— не многочлены, но и их можно представить в виде произведений многочленов:
Пример:
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Пример:
Решите уравнение 
Решение:
Значит, данное уравнение равносильно такому:
Пример:
Разложите на множители многочлен:
Решение:
Разность и сумма кубов
Выполним умножение многочленов 
Следовательно, при любых значениях а и b
Трёхчлен 
называют неполным квадратом суммы выражений а и b (от 
он отличается только коэффициентом среднего члена). Поэтому доказанную формулу словами читают так:
разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Выполним умножение многочленов 
Трёхчлен 
называют неполным квадратом разности выражений а и b. Поэтому полученную формулу читаю так:
сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
С помощью доказанных формул можно раскладывать на множители многочлены, являющиеся разностями или суммами кубов.
Примеры:
Формулу «разность кубов» для положительных значений а и b можно проиллюстрировать геометрически, как показано на рисунке 49.
Можно доказать, что для каждого натурального значения n истинна формула:
Формулы «разность квадратов» и «разность кубов» — простейшие случаи этой общей формулы.
Пример:
Разложите на множители двучлен: 
Решение:
Пример:
Найдите произведение многочленов: 
•
Решение:
Первый способ. По формуле суммы кубов: 
Второй способ. По правилу умножения многочленов:
Применение разных способов разложения многочленов на множители
Чтобы разложить многочлен на множители, иногда приходится применять несколько способов.
Пример:
Разложите на множители многочлен
Решение:
Сначала за скобки вынесен общий множитель а, потом выражение в скобках разложено на множители по формуле разности квадратов.
Пример:
Разложите на множители выражение
Решение:
Здесь применены способ группировки, вынесение общего множителя за скобки и формула суммы кубов.
Чтобы разложить на множители более сложные многочлены, приходится применять несколько известных способов или искусственные приёмы.
В этом случае можно использовать такое правило-ориентир:
Иногда удаётся разложить многочлен на множители, прибавляя и вычитая из него одно и то же выражение.
Пример:
Разложите на множители двучлен 
Решение:
Прибавим к данному двучлену выражение 
Пример:
Разложите на множители выражение 
Решение:
Пример:
Представьте многочлен 
в виде разности квадратов двух многочленов.
Решение:
Пример:
Докажите, что число 
делится на 31.
Последнее произведение делится на 31, поэтому делится на 31 и равное ему данное числовое выражение.
Исторические сведения:
Наибольший вклад в развитие алгебраической символики внёс известный французский математик Ф. Виет, которого называли «отцом алгебры ». Он часто использовал буквенные обозначения. Вместо 
писал соответственно N,Q,C — первые буквы латинских слов Numerus (число), Quadratus (квадрат), Cubus (куб). Уравнение 
Ф. Виет записывал так:
Степени чисел продолжительное время не имели специальных обозначений, четвёртую степень числа а записывали в виде произведения аааа. Позднее такое произведение начали записывать 
. Записи 
предложил Р. Декарт.
Формулы сокращённого умножения древним китайским и греческим математикам были известны за много веков до начала нашей эры. Записывали их тогда не с помощью букв, а словами и доказывали геометрически (только для положительных чисел). Пользуясь рисунком, объясняли, что для любых чисел а и b площадь квадрата со стороной а + b равна сумме площадей двух квадратов со сторонами а и b к двух прямоугольников со сторонами а, b. Итак, 
Подобным способом обосновали и другие равенства, которые. мы теперь называем формулами сокращённого умножения.
В учебнике рассмотрены простейшие формулы сокращённого умножения.
Формулы квадрата и куба двучлена — простейшие случаи общей формулы бинома Ньютона:
Напомню:
Разложить многочлен на множители — это означает заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данному многочлену.
Простейшие способы разложения многочленов на множители:
Примеры:
Формулы сокращённого умножения
Разложение многочленов на множители — это преобразование, обратное умножению многочленов. Схематично эти две операции можно изобразить, например, так.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.