Что означает в функции tg свойства принимающие множество значений

Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел

Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная.

Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.
График функции симметричен относительно оси OY.

Источник

Свойства функции тангенса — справочник студента

Свойства функции тангенс.

Определение. Числовая функция, заданная формулой у = tgx, называется тангенсом.

1.Областью определения функции тангенс является множество всех действительных чисел, кроме Z:D(tg) = <Z>.

Алгебраическая величина отрезка есть значение тангенса угла между отрезком и осью абсцисс (рис.37).

Следовательно, для любого действительного числа всегда найдется угол, тангенс которого равен этому числу, то есть множество значений функции тангенс равно множеству действительных чисел.

4.Тангенс является периодической функцией с наименьшим положительным периодом : tg(Z,D(tg).

Доказательство:

Начальный радиус повернем на угол.

Рассмотрим другой метод нахождения периода функции тангенс.

5.Функция тангенс возрастает на каждом из промежутков области определения. Но функция тангенс не является возрастающей на всей области своего определения.

Для углов и, удовлетворяющих условию (рис.42), тангенс ведет себя так же, как и в I четверти, то есть возрастает от 0 до +.

. Рассмотрим разность значений функции тангенс, соответствующим этим значениям аргумента: tg- tg.

Используя определения тангенса и тождество синуса разности, получим:

По определению возрастания функции, доказали, что в I и IV четвертях тангенс возрастает. Аналогично доказывается возрастание тангенса во II и III четвертях.

Вместе с тем, функция тангенс не является возрастающей на всей области своего определения. В самом деле,

7.График функции тангенс.

Точки пересечения с осями координат:

а) с осью Оу (х = 0) у(0) = tg0 = 0; график функции тангенс проходит через начало координат;

б) с осью Ох (у = 0) (нули функции).

Найдем те значения х, при которых tgx = 0.Такими значениями будут =. Нас интересуют из отрезка : х= 0, остальные нули функции находятся вне

2) Вертикальные асимптоты.

осле того, как провели исследование функции тангенс, приступим к построению ее графика. Для этого найдем некоторые «опорные» точки его, и затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции тангенс. Воспользуемся геометрическими соображениями. Разделим первую четверть единичной окружности и соответствующий ей отрезок оси Ох, например, на 8 равных частей. На оси тангенсов получим отрезки, численно равные тангенсам соответствующих углов. Эти отрезки перенесем в соответствующие точки оси Ох. Концы их соединим плавной линией и получим график функции тангенс на отрезке(рис.44)

используя нечетность тангенса: построим на отрезке график, симметричный графику тангенса на отрезке относительно начала координат (рис.45).

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

(график симметричен относительно начала координат).

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату.

Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Учитывая нечетность функции (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

Свойства функции и ее график

(график симметричен относительно оси ).

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:.

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому при

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

Свойства функции и ее график

Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Свойство функции и ее график

4. Функция переодическая с периодом 5. Точки пересечения с осями координат:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Периодичность функций

Категория: 10-11 класс, Функции

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли функция, и каков ее период.

Функция периодична, если некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Определение периода функции

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

Определение периода функции

Запишем условие периодичности:

Определение периода функции

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Тангенс острого угла α (tg α или tan α) – это отношение противолежащего катета (a) к прилежащему (b) в прямоугольном треугольнике.

Например:
a = 3
b = 4
tg α = a / b = 3 / 4 = 0.75

График тангенса

Функция тангенса пишется как y = tg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства тангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства тангенса с формулами.

Обратная к тангенсу функция

Таблица тангенсов

Графики тригонометрических функций. Тангенс, котангенс

График функции y=tgx

Обратите внимание! Тангенс в точках не существует. Мы лишь можем сколь угодно близко «подбираться» к этим значениям.

График функции y=ctgx

График функции является симметричным относительно начала координат.

Матвокс ⋆ свойства функции тангенс. свойство 7 ⋆ энциклопедия математики

Функция тангенс монотонно возрастает во всей ее области определения, т.е. в интервалах:

Возрастание тангенсоиды видно из ее графика. Также это можно доказать аналитически.

Докажем возрастание тангенса на всей его области определения

Шаг 1

Функция f(x) называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек x1 и x2 этого множества, таких что:

Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Рассмотрим две точки из области определения тангенса: x1 и x2, такие что:

По определению тангенса:

Пусть рассматриваемые точки принадлежат промежутку [0, π/2).

Из свойств синуса, на промежутке [0, π/2) синус – возрастает, а следовательно:

Из свойств косинуса, на промежутке [0, π/2) косинус – убывает, а следовательно:

Privacy & Cookies Policy

Тангенс и котангенс. Формулы и определение

Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.

Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.

ТригонометрияМатематика Тригонометрия Формулы Теория

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Тангенс

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения