Что означает в начертательной геометрии

Термины, определения и условные обозначения начертательной геометрии

Термины и определения

Комплексный чертеж (эпюр Монжа) – чертеж, составленный из взаимосвязанных ортогональных проекций геометрической фигуры. Чтобы преобразовать пространственный макет в эпюр, нужно совместить плоскости проекций П₁ и П₃ с третьей плоскостью П₂, вращая П₁ вокруг оси x, а П₃ вокруг оси z.

Конкурирующие точки – точки, расположенные на одной проецирующей прямой, но при этом удаленные от плоскости проекций на разное расстояние.

Линии уровня – прямые, параллельные одной из плоскостей проекций.

Метрические задачи – это задачи, целью решения которых является нахождение натуральных величин отрезков, углов, расстояний.

Октант – часть пространства, ограниченная плоскостями проекций П₁, П₂, П₃. В начертательной геометрии выделяют восемь октантов, нумерация и взаимное расположение которых показаны на рисунке.

Отрезок – участок прямой, ограниченный двумя точками.

Плоскости общего положения – плоскости, которые не перпендикулярны ни одной из плоскостей проекций.

Плоскости уровня – плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций.

Позиционные задачи – это задачи, целью решения которых является определение взаимного расположения фигур, нахождение точек и линий их пересечения.

Проецирующие плоскости – плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Прямые общего положения – прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций.

Проецирующие прямые – прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций.

Условные обозначения

Способы задания плоскости на комплексном чертеже

Плоскость на комплексном чертеже может быть задана шестью различными способами:

Источник

Обозначения и символика

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

5. Углы обозначаются:

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

π₂ —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π₃, π₄ и т. д.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса _0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H_a — горизонтальный след прямой (линии) а;

F_a — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами _{1,2,3. n:}

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом ₀:

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса 0 :

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса 1 :

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Источник

Начертательная геометрия

Из Википедии — свободной энциклопедии

Начерта́тельная геоме́трия — инженерная дисциплина, представляющая двумерный геометрический аппарат и набор алгоритмов для исследования свойств геометрических объектов.

Практически начертательная геометрия ограничивается исследованием объектов трёхмерного евклидова пространства. Исходные данные должны быть представлены в виде двух независимых проекций. В большинстве задач и алгоритмов используются две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости.

В настоящее время дисциплина не имеет практической ценности в силу развития вычислительной техники и аппарата линейной алгебры, но, вероятно, незаменима как составляющая общего инженерного образования на машиностроительных и строительных специальностях.

Начерта́тельная геоме́трия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проецирования (проложения) перпендикулярами на некоторые три плоскости, которые рассматриваются затем совмещёнными одна с другой.

При обыкновенном способе изображения предметов линии, распространяющиеся вдаль от глаза наблюдателя, хотя и изображаются, соответственно с тем, какими они нам представляются, сокращёнными, но это сокращение определяется рисовальщиком обыкновенно на глаз, а фотографией оно хотя в известных случаях и достаточно точно может быть передано, но отношение, в каком потерпели сокращения разные линии изображаемого предмета, остаётся трудно определимым; вдобавок, во многих случаях и фотография ведёт к перспективным ошибкам. Всякий мастер, будет ли то плотник, слесарь, токарь, каменотёс и т. д., может выполнить заказанный предмет согласно желанию заказчика только в том случае, если ему будет дан совершенно такой же предмет на образец, либо его модель, либо конструкторский чертёж, по которому легко и точно определялись бы размеры всех начерченных линий, хотя бы и таких, которые удаляются в глубь картины и потому изображаются сокращёнными. Начертательная геометрия учит изготовлению таких чертежей, в которых предмет изображается почти таким, каким мы его видим, и притом так, что по начерченным линиям можно в точности определить размеры и истинный вид изображаемого предмета.

Источник

Основные положения начертательной геометрии

Основные положения начертательной геометрии

Аппарат проецирования. Метод Г. Монжа.

Рис.3

Проецирующий луч l от глаза наблюдателя проходит через точку A какой-либо фигуры в пространстве и пересекает плоскость проекций П, образуя ортогональную (прямоугольную) проекцию А_П. Совокупность плоскости проекций и центра проецирования называется аппаратом проецирования.

Проекцией точки на плоскость называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

Чертеж должен читаться однозначно, то есть должен быть обратимым. В данном случае проекции А_П может соответствовать не только точка А, но и любая точка, принадлежащая проецирующему лучу l. Следовательно, по одной проекции, невозможно однозначно определить положение точки в пространстве.

Для получения обратимых изображений точку А проецируют одновременно на две взаимно перпендикулярные плоскости: П₁ – горизонтальную и П₂ – фронтальную плоскости проекций (рис. 4а). Получим две ее проекции: горизонтальную проекцию А₁ на плоскости П₁ и фронтальную проекцию А₂ на плоскости П₂. Проецирующие прямые АА₁ и АА₂, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А₁АА₂, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций x₁₂. Прямая А₁А₂, соединяющая две проекции точки, называется линией проекционной связи или линией связи. Линия связи всегда перпендикулярна оси x_12.

Для получения 2-х картинного комплексного чертежа необходимо плоскость П₁ повернуть вокруг оси x₁₂. до совмещения с плоскостью П₂(рис. 4б). Удалить условные очертания плоскостей проекций, так как плоскости проекций безграничны. Полученное изображение называется эпюром (рис.4в).

Проекции прямой.

Из геометрии известна аксиома: через две точки можно провести одну и только одну прямую. Следовательно, прямая на эпюре определяется проекциями двух точек.

Прямые линии могут занимать по отношению к плоскостям проекций различные положения (рис.8).

Прямые общего положения

Прямая (отрезок), не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рис. 9).

Прямые уровня

Прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются прямыми уровня (таблица 2)

Наименование прямой	Положение прямой	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтальная (горизонталь)	АВ║П1
Фронтальная (фронталь)	АВ║П2
Профильная прямая	АВ║П3

Проецирующие прямые.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими (таблица 3).

Наименование прямой	Положение прямой	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтально-проецирующая	АВ┴П1
Фронтально-проецирующая	АВ┴П2
Профильно-проецирующая	с┴П3

Взаимное положение прямых

Пересекающиеся прямые

Пересекающиеся прямые имеют общую точку. Проекции этой точки должны принадлежать одноименным проекциям обеих прямых. Из этого следует, что точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых лежат на одной линии связи. На рис. 11 изображены пересекающиеся в точке D прямые m и n.

Параллельные прямые

У параллельных прямых параллельны одноименные проекции. На рис. 12 изображены параллельные прямые m и n.

Скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки. Следовательно, точка пересечения одноименных проекций таких прямых (например, m и n, рис. 13) не лежит на одной линии связи, так как каждая из них является изображением двух разных точек (точки 1, 2 и 3, 4).

1.6. Способы задания плоскости. Плоскость общего положения.

Способы задания плоскости представлены в таблице 4.

Способ задания	Наглядное изображение	Эпюр
Три точки, не лежащие на одной прямой
Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой
Двумя пересекающимися прямыми
Двумя параллельными прямыми
Любой плоской фигурой

Плоскости бывают общего и частного положения (рис.14)

Если плоскость не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения. Примеры чертежа плоскости общего положения показаны в таблице 4.

Проецирующие плоскости

Если плоскость перпендикулярна только одной плоскости проекций, то она называется проецирующей(табл. 5).

Наименование плоскости	Положение плоскости	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтально проецирующая	ΔАВС┴П1
Фронтально-проецирующая	ΔАВС┴П2
Профильно-проецирующая	α┴П3

Плоскости уровня

Если плоскость перпендикулярна одновременно двум плоскостям проекций, а, следовательно, параллельна третьей, то она называется плоскостью уровня(таблица 6).

Наименование плоскости	Положение плоскости	Наглядное изображение	Эпюр
Горизонтальная	ΔАВС║П1
Фронтальная	ΔАВС║П2
Профильная	α║П3

│АВС│- натуральная (истинная) величина ΔАВС.

Прямая и точка в плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с ней две общие точки.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 15).Точка М принадлежит плоскости α(a∩b),так как находится на прямой k, принадлежащей этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 16). Прямая k параллельна прямой АВ.

Точка М принадлежит плоскости ΔАВС, так как находится на прямой k, принадлежащей заданной плоскости.

Фронталь плоскости.

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 18а, б). Построение фронтали всегда начинают с горизонтальной проекции, так как она всегда параллельна оси х₁₂. Все фронтали плоскости параллельны между собой.

Для решения задач

Пример. Найти длину отрезка АВ.

Чтобы найти длину отрезка занимающего в пространстве общее положение относительно плоскостей П₁ и П_2, надо построить дополнительную ортогональную проекцию отрезка АВ на плоскость П₄ ему параллельную ( П₄║АВ) и П₄^П₁ (рис. 24).

Поэтапное решение задачи на эпюре показано на рис. 25

Пример 2. Построить дополнительную ортогональную проекцию плоскости общего положения α(ΔАВС) на плоскости П_4,перпендикулярной к плоскости α и к плоскости П_1.

Из геометрии известно, что две плоскости взаимноперпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. В данном примере перпендикуляром к плоскости П₄ является горизонталь h (рис. 26).

Исходя из этого, ось х₁₄ проведена перпендикулярно горизонтальной проекции h₁ горизонтали h плоскости ΔАВС (рис. 27).По отношению к плоскости П₄ плоскость ΔАВС является проецирующей и изображается на ней в виде прямой А₄ В₄ С_4.

Пример3. Построить дополнительную ортогональную проекцию прямой общего на плоскость ей перпендикулярную.

Рещение задачи на эпюре показано на рис. 29

Пример 4.Определить размеры треугольника АВС.

Чтобы найти величину ΔАВС,являющегося плоскостью общего положения,надо построить его дополнительную ортогональную проекцию на плоскость ему параллельную. Для этого надо сначала построить дополнительную ортогональную проекцию плоскости общего положения α(ΔАВС) на плоскости П_4,перпендикулярной к плоскости α(ΔАВС) и к плоскости П₁ (см.пример2).А затем построить его дополнительную ортогональную проекцию на плоскость П₅ ему параллельную(П_5║ ΔАВС) и П₅┴ П₄ (рис.30а).Решение задачи на эпюре показано на рис.30б.

Основные положения начертательной геометрии

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник