Что означает вычислить квадрат числа

Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.

Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».

Научимся вычислять квадрат и куб числа.

Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.

Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.

Степень числа

Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.

Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.

В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.

Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.

В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:

а— любое натуральное число.

Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».

Число а называют основанием (число, возводимое в степень).

n— это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).

Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.

Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.

Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4 5

Читают данную запись следующим образом:

4 5 — четыре в пятой степени.

Данная степень равна произведению трех двоек.

2— основание степени.

3— показатель степени.

Данная степень равна произведению четырех пятерок.

5— основание степени.

4— показатель степени.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Квадрат и куб числа

Вторую степень числа называют квадратом числа.

Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а 2 (говорят и читают «а в квадрате»).

2 2 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».

10 2 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».

27 2 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».

Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в квадрате равняется одному: 1 2 = 1 ∙ 1 = 1.

Два в квадрате равняется четырем: 2 2 = 2 ∙ 2 = 4.

Три в квадрате равняется девяти: 3 2 = 3 ∙ 3 = 9.

Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4 2 = 4 ∙ 4 = 16.

Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5 2 = 5 ∙ 5 = 25.

Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6 2 = 6 ∙ 6 = 36.

Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7 2 = 7 ∙ 7 = 49.

Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8 2 = 8 ∙ 8 = 64.

Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9 2 = 9 ∙ 9 = 81.

Десять в квадрате равняется сотне: 10 2 = 10 ∙ 10 = 100.

Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел

Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.

Решим уравнение х 2 = 49.

Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).

Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.

х 2 = 49

х = 7

Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х 2 = 49, получим:

7 2 = 49

7 ∙ 7 = 49

49 = 49

Ответ: х = 7.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.

Разберем пример первый.

Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 10 4 ).

10— это основание.

4— это показатель степени.

Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

10 4 = 1 0000

На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:

10 4 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 0000

Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 10 3 ).

10— это основание.

3— это показатель степени.

Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

10 3 = 1 000

Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:

10 3 = 1 0 ∙ 1 0 ∙ 1 0 = 1 000

Рассмотрим обратную ситуацию:

Представим число 100 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 00 ).

Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

1 00 = 10 2

10— это основание.

2— это показатель степени.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (1 0000 ).

Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

1 0000 = 10 4

10— это основание.

4— это показатель степени

Третья степень числа тоже имеет свое название.

Число в третьей степени называют кубом числа.

Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а 3 (говорят и читают «а в кубе»).

2 3 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».

10 3 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».

27 3 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».

Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в кубе: 1 3 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.

Два в кубе: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.

Три в кубе: 3 3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Четыре в кубе: 4 3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.

Пять в кубе: 5 3 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Шесть в кубе: 6 3 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.

Семь в кубе: 7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.

Восемь в кубе: 8 3 = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.

Девять в кубе: 9 3 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.

Десять в кубе: 10 3 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.

Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел

1000

С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.

Представим в виде куба число 343.

По таблице кубов видим, что 343 = 7 3

Проверим: найдем произведение трех семерок:

7 3 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343

На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.

Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.

Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.

За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.

Рассмотрим поясняющие примеры.

При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.

Пример 1.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).

1) 8 2 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).

2) 64 ÷ 4 = 16

Пример 2.

Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.

Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.

Найдем разность 21 и 11.

Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.

Найдем, чему равно 10 2 по определению степени или по таблице квадратов.

2) 10 2 = 10 ∙ 10 = 100

Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.

Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.

3) 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

4) 100 ∙ 8 = 800

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.

Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.

Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.

Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)

Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.

Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.

Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.

В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.

В Древней Индии успешно развивалась наука.

Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.

Индийские ученые часто оперировали большими числами.

В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.

Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.

Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.

Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.

В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.

В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».

Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.

Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.

Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.

Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.

Современное обозначение степеней (а n ), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Квадрат числа в математике и программировании

В этой статье мы поговорим, что такое квадрат числа, как его найти, а также каким образом производятся подобные вычисления в программировании.

Квадратом Х называют произведение 2-х множителей, каждый из которых равен Х.

Обозначение квадрата осуществляется с помощью степени, то есть Х² читается «Х в квадрате».

Если говорить еще более простым языком, то квадратом можно назвать число, которое умножено само на себя. Таким образом, мы можем написать простейшую формулу вычисления Х 2 :

Почему вообще такое выражение называют квадратом X? Дело в том, что именно данной формулой выражают площадь квадрата, сторона которого равна X, то есть геометрически это значение можно представить в виде площади квадрата, имеющего целочисленную сторону.

Вывод тут прост: для решение поставленной задачи следует требуемое значение взять в качестве множителя дважды, а потом вычислить произведение. Соответственно:

Это все элементарно и проходится в начальных классах средней школы. Решить такой пример в математике не проблема, а когда числовые значения выходят за рамки классической таблицы умножения, используют таблицу, ускоряющую расчеты.

Также описанную математическую операцию можно рассматривать в контексте частного случая возведения в степень — ведь именно этим, по сути, она и является — возведением в степень 2.

Интерес представляет и числовая последовательность для квадратов целых чисел, являющихся неотрицательными (речь идет о последовательности A000290 в OEIS):

Нельзя не сказать и про график y=x², где представлены целые значения x на отрезке 1-25.

Квадратные числа

Если же говорить о натуральных числах из последовательности, упомянутой выше, в историческом контексте, то их всегда называли «квадратными». Квадратное числовое значение также называют полным либо точным квадратом, то есть целым значением, квадратный корень из которого можно извлечь нацело. К примеру, найти корень из 9 несложно (√9 = 3, т. к. 3 ⋅ 3 = 9). Не составляет проблем и вычислить корень из ста: (√100 = 10, ведь десять на десять равно сто).

А что в программировании?

Теперь давайте посмотрим, как все это работает в программировании. Для примера возьмем такой язык программирования, как Java (кстати, статья о том, как выполнять возведение в степень в Java, уже была).

Напишем простой метод по возведению любых числовых значений в квадрат:

static int square(int x)<

public static void main(String[] args)<

Вы можете воспользоваться любым онлайн-компилятором для проверки этого кода. Также никто не мешает вписать любое число вместо десяти.

Теперь воспользуемся простейшей программой для того, чтобы найти квадратный корень из 100:

public static void main(String args[])<

System.out.printf(«sqrt(%.2f) = %.2f%n», x, Math.sqrt(x));

Программа позволяет извлекать корень и из неквадратных значений. Ниже мы находим корень из 167:

Да, в современную эпоху калькуляторов мало кто считает в уме. Вдобавок ко всему, сегодня даже не надо покупать настоящий калькулятор, так как калькулятор есть в любом мобильном телефоне, не говоря уже об онлайн-калькуляторах, коих существует огромное количество. Однако это не значит, что можно забыть азы алгебры. Не зря же великий русский ученый Михаил Ломоносов когда-то сказал:

Источник

Квадрат числа

Что такое квадрат числа? Как найти квадрат числа?

Квадрат числа a — это произведение двух множителей, каждый из которых равен a.

Квадрат числа a обозначают a². Читают: «a в квадрате».

С помощью формулы определение квадрата числа a можно записать так:

Выражение a² назвали квадратом числа a, так как именно такой формулой выражается площадь квадрата со стороной a.

Таким образом, чтобы найти квадрат некоторого числа, надо это число взять множителем два раза и вычислить произведение.

Если числовое выражение содержит квадрат числа, значение квадрата вычисляют до выполнения остальных действий.

В математике находить квадраты чисел приходится достаточно часто. Для ускорения вычислений используется таблица квадратов.

Источник

Степень числа. Квадрат и куб числа

Разделы: Математика

Оборудование: карточки для устного счета, для работы в классе и дома (Приложение 1), для оценивания работы на уроке, компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Возведение в степень квадрат и куб числа» (Приложение 2).

План урока

1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания
3. Актуализация знаний. Устный счет
4. Объяснение нового материала
5. Закрепление
6. Домашнее задание
7. Тест
8. Итоги урока, рефлексия.

1. Организационный момент

Добрый день, ребята! Сегодня у нас урок-открытие. Нам предстоит сделать маленькое, но очень важное открытие и не одно.

Я знаю каждый в классе гений,
Но без труда талант не впрок
Из ваших знаний и умений
Мы вместе сочиним урок.
Желаю вам творческих успехов!

2. Проверка домашнего задания

3. Устный счет

Проверим, готовы ли вы к открытиям.

2) Выполните задание и назовите букву, соответствующую верному ответу.

Итак, первое открытие. Какую тему мы с вами будем изучать? Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке?
В начальной школе изучают только четыре арифметических действия. В 5 классе пришло время познакомиться еще с одним действием – возведением в степень.
Сегодня мы научимся выполнять действия со степенями и попробуем узнать, зачем они нужны?

4. Объяснение нового материала

Запишем в тетрадь число, классная работа, диктант.

Проверим результаты (появляются ответы)
Какое действие мы выполняли в каждом примере? (умножение)
Что особенного в каждом из этих примеров? (все множители одинаковы)
Вы уже знаете, что сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением, например:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 . 8

Это короче и удобней.
Такой же способ можно придумать, чтобы заменить произведение одинаковых множителей. Произведение 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 записывают короче: 58. Итак,

5 8 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5.

Запись 5 8 – читают: «пять в восьмой степени». Степень состоит из двух чисел:
5 – основание степени, 8 – показатель степени.
Возвести число в восьмую степень – это значит взять его множителем восемь раз.
Основание степени показывает, чему равны множители в произведении. Показатель степени, показывает, сколько множителей в произведении.
В математике произведение одинаковых множителей называется степенью , а нахождение значения степени – возведением в степень.
А теперь решим №

Введение квадрата и куба числа.

Он давно знакомый мой,
Каждый угол в нем прямой.
Все четыре стороны
Одинаковой длины.
Вам его представить рада.
Как зовут его?

– Какие свойства квадрата вы знаете?
– Найдите площадь квадрата со стороной 5 см.
Вторая степень числа имеет особое название. Вторую степень называют – квадратом этого числа.
А вот третью степень называют – кубом этого числа.
Запись 5 2 читают: «пять в квадрате». Запись 53 читают: «пять в кубе».

Ребята, давайте научимся читать с вами степени (чтение степеней).

5. Закрепление материала

– А как найти значение степени? Квадрат числа в пределах 10 легко найти. Это примеры из таблицы умножения.
– Обратите внимание, на странице 99 учебника заполнены таблицы квадратов и кубов первых 10 натуральных чисел.
– У вас на столе лежат карточки с заданиями, выполним 1 задание.

Второе задание один ученик выполняет за доской, остальные на месте.

2. Заполните таблицу

Физкультминутка

Поднимает руки класс – это «раз».
Повернулась голова – это «два».
Руки вниз, вперед смотри – это «три».
Руки в стороны пошире развернули на «четыре»,
С силой их к плечам прижать – это «пять».
Всем ребятам надо сесть – это «шесть».

Ребята, а как найти значения следующих выражений?

Ребята, а теперь еще одно открытие. Вы знаете, как называется самая яркая звезда зимнего ночного неба? Вы узнаете, если правильно выполните действия в следующем примере:

3 – Вега
2 – Венера
5 – Сириус
6 – Альтаир
Верный ответ – 5. Сириус — самая яркая звезда, которая видна зимой всю ночь. Сириус — шестой по яркости объект на земном небе. Ярче него только Солнце, Луна, а также планеты Венера, Юпитер и Марс в период наилучшей видимости.

3 задание по карточке

3. Найдите пропущенные числа и впишите их

7. Тест. Учащиеся выполняют электронный тест

8. Итог урока

– Что нового вы открыли для себя?

Рефлексия. Каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы с помощью карточек (я все понял; у меня остались вопросы; я ничего не понял).

Источник