Что означает знак системы в алгебре

Разница между системой и совокупностью в математике

Решению уравнений, системы уравнений или системы неравенств, всегда уделялось много внимания при изучении математики, физики в школьной программе. Метод решения системы уравнений широко применяется в науке, в статистике, при изучении физических проблем. Поэтому интересно знать сущность понятий системы и совокупности.

Определение

Система — выбор результатов решений, которые подойдут всем уравнениям системы. Этот поиск является как бы пересечением результатов решений.

Совокупность — выбор результатов решений, которые подойдут хотя бы для одного уравнения. Решение совокупности — это объединение решений каждого уравнения.

Сравнение

Рассмотрим решение системы двух уравнений с одной переменной. Находим значения переменной, с которыми каждое уравнение системы будет обращаться в верное равенство.

Решением системы уравнений называются те значения переменной, при которых оба уравнения системы будут обращаться в верные числовые равенства.

Систему уравнений будем решать так. Ищем решение для каждого уравнения и затем выбираем из полученных значений те, которые являются решением для каждого уравнения системы. Система предполагает выбор, пересечение решений. То есть при решении системы уравнений или неравенств из множества решений выбирается конкретные решения, при которых выполняются все равенства и/или неравенства системы.

Рассмотрим совокупность двух уравнений с одной переменной. Находим все значения переменной, с которыми каждое уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.

Решением совокупности уравнений считают любое значение переменной, при котором хотя бы одно уравнение совокупности обращалось бы в верное числовое равенство.

Совокупность предполагает объединение решений. То есть выбор множества или конкретного решения, при котором могло бы выполниться хотя бы одно из равенств и/или неравенств системы

Вот пример:

А если бы эта была система уравнений, то только ответ 0 будет правильным ответом для того и другого уравнения.

Так образом в совокупности идёт объединение результатов. Они дополняют друг друга.

В системе пересечение результатов есть решение системы.

Источник

Совокупности уравнений, неравенств, систем: определение, как решить

В данной статье мы сформулируем общее понятие совокупностей неравенств, уравнений и их систем, а также их комбинации. Кроме определений здесь, как обычно, есть решения задач, наглядно поясняющие тот или иной фрагмент текста.

Понятие совокупности

Проанализировав несколько учебников, выберем наиболее удачное определение:

Совокупность уравнений представляет собой несколько уравнений, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Значение этой записи таково: совокупность объединяет такие значения переменных, при которых хотя бы одно из входящих в нее уравнений превращается в верное равенство.

Сравним между собой понятие совокупности и понятие системы:

Вот примеры совокупности уравнений:

Понятие совокупности неравенств формулируется схожим образом.

Совокупность неравенств представляет собой несколько неравенств, записанных друг под другом и объединенных квадратной скобкой. Она включает в себя решения, которые подходят хотя бы для одного из неравенств, входящих в состав совокупности.

Приведем пример такой записи:

Схожее определение для этого понятия упоминается в учебнике Мордковича.

В качестве примера смешанных совокупностей приведем две:

Что такое решение совокупности

Решение совокупности с одной переменной представляет собой значение этой переменной, которое является решением хотя бы одной составляющей совокупности (уравнения, неравенства).

Возьмем еще один пример, посложнее. У нас есть совокупность:

Также нужно отметить следующее: объединение решений всех компонентов совокупности также есть решение совокупности. Напомним, что решение системы представляет собой пересечение решений ее компонентов.

В продолжение темы мы советуем вам материал «Равносильные совокупности».

Источник

Совокупности уравнений, неравенств, систем и т.п.

Вообще в школьных учебниках алгебры о совокупностях информации очень мало. Про совокупности упоминается лишь вскользь, да и то в старших классах. С нашей точки зрения это не очень справедливо хотя бы потому, что использование совокупностей довольно удобно при оформлении решений уравнений, неравенств и их систем. Давайте восполним этот пробел.

Ниже представлен материал, дающий общее представление о совокупностях уравнений, неравенств, систем и их всевозможных комбинаций. Здесь вы найдете определения совокупностей и их решений, принятые обозначения, а также поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Что такое совокупность уравнений, неравенств, систем?

Сразу скажем, что если у Вас сформировано четкое представление о системах уравнений и системах неравенств, то определения совокупностей воспримутся очень легко. Прочитав их, Вы сразу почувствуете, будто уже их встречали.

Информация из учебников [1, с. 24; 2, с. 129; 3, с. 64-65] позволяет записать следующее определение совокупности уравнений:

Совокупностями уравнений называются записи, представляющие собой несколько расположенных друг под другом уравнений, которые слева объединены квадратной скобкой, и обозначающие множество всех таких решений, которые являются решениями хотя бы одного из уравнений совокупности.

Давайте проведем параллель между системами и совокупностями. Системы записывают с помощью фигурной скобки, а совокупности – с помощью квадратной, системы обозначают множество решений, которые являются решениями каждого уравнения системы, а совокупности – множество решений, которые являются решениями хотя бы одного уравнения совокупности.

Для наглядности приведем примеры совокупностей уравнений: , .

Аналогично определяется и совокупность неравенств:

Совокупность неравенств – это запись, представляющая собой несколько записанных одно под другим неравенств, объединенных слева квадратной скобкой, и обозначающая множество решений, являющихся решениями хотя бы одного из неравенств совокупности.

Вот пример совокупности неравенств .

Для примера приведем совокупность двух систем неравенств и совокупность такого вида .

Что называется решением совокупности?

К совокупностям непосредственно относятся их решения. Дадим определения решений совокупностей с одной переменной, а также с двумя, тремя и большим числом переменных.

Решением совокупности с одной переменной называется такое значение переменной, которое является решением хотя бы одного составляющего элемента совокупности.

Например, если речь идет о совокупности уравнений с одной переменной, то решение совокупности – это значение переменной, которое является решением хотя бы одного составляющего ее уравнения. Так x=3 – это решение совокупности неравенств , так как 3 является решением первого неравенства. А вот нуль не является решением записанной совокупности, так как это значение не является решением ни одного неравенства совокупности, действительно, 0>1 и 0 2 ≥4·0+2 – неверные числовые неравенства.

Решением совокупности с двумя, тремя и большим числом переменных называется двойка, тройка и т.д. значений переменных, являющаяся решением хотя бы одного объекта совокупности.

Иногда используются термины «частное решение совокупности» и «общее решение совокупности». Под частным решением совокупности понимают одно отдельно взятое решение, а общим решением называют множество всех частных решений совокупности. Но чаще говорят просто о решении совокупности, а уже из контекста черпают дополнительную информацию, о частном или об общем решении идет речь.

В заключение заметим, что из определения совокупности и ее решений следует такой вывод: решение совокупности есть объединение решений всех элементов, составляющих совокупность. А решение систем, напомним, есть пересечение решений всех ее элементов.

Продолжить изучение темы рекомендуем материалом статьи равносильные совокупности.

Источник

Основы логики. Система условий, совокупность условий

Не пугайтесь. В этой статье не будет непонятных слов: «конъюнкция, дизъюнкция». И не будет сложных схем, как на ЕГЭ по информатике.

Будет только то, что необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике и вообще для понимания математики.

Покажем на простом примере, что такое объединение множеств и пересечение множеств.

Антон, Борис, Виктория, Дмитрий, Игорь, Костя, Лена, Маша и Наташа – друзья.

У Дмитрия, Игоря, Маши и Наташи есть кот.

У Бориса, Дмитрия, Игоря, Кости и Лены есть собака.

Пусть множество включает тех, у кого есть кот.

Множество включает владельцев собак.

Замети, что Дмитрий и Игорь входят в оба множества – у них есть и кот, и собака.

Антон и Виктория не входят ни в одно. У них нет ни кота, ни собаки.

Схематично это можно изобразить так:

Это Маша, Наташа, Дмитрий, Игорь, Борис, Лена и Костя. У них есть кот или собака, или и то, и другое животное.

Значок объединения нам тоже знаком. Вспомните, как мы записываем ответы в неравенствах.

Запись означает, что принадлежит интервалу от до нуля или отрезку от 1 до 2.

Фигурная скобка – знак системы. Она означает, что должно выполняться и то, и другое условие.

Вот, например, система линейных уравнений:

Теперь знак совокупности. Вот такая запись

Запоминаем: объединение множеств, знак совокупности, знак символизируют понятие «или то, или другое, или и то, и другое сразу».

Но это не все. Смотрите, как выглядела бы задача по теории вероятностей про наших любителей котов и собак.

Известно, что в группе из 9 человек у четверых есть коты, у пятерых есть собаки, у двоих нет ни кота, ни собаки, а у двоих есть и кот, и собака.

Найдите вероятность следующих событий:

1) У человека из этой группы есть кот,

2) У человека из этой группы есть собака,

3) Есть и кот, и собака

4) Есть кот или собака.

Мы помним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Вероятность иметь кота для участника группы равна (четверо котовладельцев из 9 человек).

Вероятность иметь и кота, и собаку равна (двое из девяти).

Получается, мы определили вероятность суммы событий (есть кот или собака).

Заметьте, что в нашем случае она не равна сумме вероятностей. Потому что вероятность суммы событий равна сумме вероятностей только для несовместных событий, то есть тех, которые не могут происходить одновременно.

В статье «Теория вероятностей» мы поговорим более подробно о сумме событий (или то, или другое, или оба сразу) и о произведении событий (и то, и другое).

Объединим все, что узнали, в небольшую таблицу.

Источник

Общая характеристика

Главная задача знаков — описание этапов осуществляемых действий. Математическое уравнение или выражение имеет одиночную пару квадратных, фигурных и других скобок, а также может использовать их некоторое количество.

Значение и разновидности

Скобки — это парные знаки, используемые во всевозможных областях. Чтобы правильно выстроить фразу в русском языке, для понимания смысла текста в предложении они употребляются как знаки препинания. С начальных классов школы изучают основы этих знаков.

В расчетах первая из скобок считается открывающей, а вторая — замыкающей. Оба знака соответствуют друг другу, но также используются те, в которых открытие или закрытие не различается (косые /…/, прямые скобки |…|, двойные прямые ||…||. Раскрывать значение можно чаще всего в математике, физике, химии и остальных науках для указания важности выполнения операции в формулах. На компьютерной клавиатуре представлены все виды знаков препинания.

Разновидности:

Открытие круглых () произошло в 1556 году для подкоренного выражения. По правилу первым выполняется действие внутри знака, затем произведение или определение частного (деление), а в конце — суммирование и разница.

В Microsoft word, Excel включена электронная конфигурация этих знаков. Часто используемые виды скобок, следующие: (), [ ], < >(), [ ], < >. Также встречаются двойные, называемые обратными (]] и [ [) или > в виде уголка. Их использование является двойственным — с открывающейся и замыкающей скобочкой.

Основные цели квадратной скобки в математике:

Другие варианты расчета:

Квадратные скобки в математике обозначают, что действие выполняется последовательно. Эти знаки позволяют разграничить операции.

Треугольные актуальны в теории групп. Правило записи ⟨ a ⟩ n характеризует циклическую группу порядка n, сформированную элементом a.

Круглые (операторные) () используются в математике для описания первостепенности действий. Например, (1 +5)*3 означает, что нужно сначала сложить 1 и 5, а затем полученную величину перемножить на 3. Наряду с квадратными, используются для записи разных компонент векторов, матриц и коэффициентов.

На уроке математики преподаватель объясняет, как раскрыть скобки в уравнении для последующего решения. Фигурная одинарная < встречается при решении систем уравнений, обозначает пересечение данных, а [[ используется при их слиянии.

Одинарные или двойные выражения

Употребление [] происходит реже. Одно уравнение со скобками объединяет несколько значений или неравенств различных размеров. Для решения совокупности нужно выполнить любое условие. Конец, завершение действия замыкает закрывающий знак.

В персональных компьютерах, ноутбуках, нетбуках встроена кодировка Юникод, закрепленная не за левыми или правыми объединяющими знаками, а за открывающими и замыкающими, поэтому при воспроизведении печатного текста со скобочками в режиме «справа налево» каждый знак меняет внешнее направление на обратное.

Квадратные скобки в уравнении означают, что установлен порядок действий, задаются границы промежутков и необходимость выполнения действия над выражением. Двойные квадратные скобки необходимы для записи выражений наряду с круглыми для рационального порядка действий.

По правилам интервал [−a;+a] записывается в виде нестрогого неравенства −a≤x≤a, означающего, что x находится на промежутке от −a до a включительно.

В середине парного знака с отделяющей точкой или запятой указываются два числа — наименьшее, затем большее, ограничивающие интервал. Круглая скобочка, прилегающая к цифре, означает невключение числа в промежуток, а квадратная — добавление.

В некоторых учебных пособиях для вузов встречаются расшифровки числовых интервалов, в которых вместо круглой скобочки (применяется обратная квадратная скобка ], и наоборот. В обозначениях запись ]0, 1[ равносильна (0, 1).

Открытая квадратная скобка (символ [) значит, что совокупность представляет систему уравнений разных размеров, для которых справедливы все множества решений для каждого уравнения, входящего в общее задание. Например, [x+11=2yy2−12=0

Прежде чем решать задачу или выполнять задание, нужно правильно определить принципы действий. В некоторых случаях скобочки могут быть не нужны, а иногда их обязательно нужно поставить.

Прочие знаки

Для математических, алгебраических и прочих расчетов важно знать различие обобщающих знаков. От правильности вычислений зависит итоговый результат.

Удобство записи системы уравнений

Применение фигурных знаков относится к представлению совмещения множеств. При решении системы с фигурной скобкой уравнения пересекаются, а [] объединяет их.

Источник