Что показывает кривая лоренца

Кривая Лоренца. Неравенство распределения доходов

Неравенство распределения доходов заложено в самой сущности рыночной экономики. Даже в идеально справедливом обществе оно будет существовать, поскольку все мы отличаемся природными способностями. Неравенство распределения доходов обычно иллюстрирует ситуация, когда маленькая часть населения обладает существенной долей национального богатства, и наоборот. Для его измерения используется, в частности, кривая Лоренца.

Распределение богатства

В любой стране есть богатые и бедные граждане. Первые обладают львиной долей национального богатства, вторые – едва сводят концы с концами. В краткосрочном периоде мы наблюдаем неравенство распределения доходов. В перспективе – несправедливость накопления богатства элитами.

История формирования концепции

Кривая Лоренца

Предположим, мы хотим изобразить несправедливость распределения богатства в государстве. Для этого нам понадобятся доходы населения. Кривая Лоренца строится в четыре этапа:

Кривая Лоренца позволяет визуализировать неравенство распределения доходов. Можно совместить несколько графиков для того, чтобы показать изменения на протяжении времени или сравнить ситуацию в ряде стран.

Как построить кривую Лоренца на практике

Предположим, что в рассматриваемой нами отрасли есть десять фирм, которые различаются по своему вкладу в экономику. Если бы у нас были доходы населения, кривая Лоренца бы показывала неравенство их распределения. В этом случае она иллюстрирует справедливость разделения рынка. Для того чтобы построить кривую Лоренца, в этом случае необходимо:

Коэффициент Джини

Мы рассмотрели особенности построения графика распределения доходов. За визуальную сторону вопроса отвечает кривая Лоренца. Коэффициент Джини оперирует числовыми значениями. Он измеряется соотношением точек на реальном графике с идеальным случаем (прямой линией, которая образует с осью абсцисс угол в 45 градусов). Коэффициент Джини может принимать значения от 0 до 1. В первом случае мы имеем дело с абсолютной справедливостью распределения доходов, во втором – с полным неравенством, когда один человек обладает всем национальным богатством, а другим не остается ничего. Естественно, оба случая нереальны. Однако важно понимать, что меньшее значение коэффициента указывает на лучшую ситуацию в экономике государства.

Проблемы использования коэффициента

Индекс Джини полностью базируется на показателях валового национального продукта и статистике доходов населения. Многие развивающиеся страны не предоставляют точных сведений, что не дает правильно оценить ситуацию с распределением богатства в них. Также существует обратно пропорциональная зависимость между коэффициентом Джини и валовым внутренним продуктом на душу населения. Это связано с тем, что в более бедных странах проблемы существеннее.

Интерпретация показателей

Когда мы разобрались, как построить кривую Лоренца, важно понять, что же все-таки она значит. Как можно сопоставлять страны с различными уровнями ВВП? Кривая Лоренца и коэффициент Джини используются для того, чтобы понять, насколько справедливо распределяется национальное богатство государства. Нужно понимать, что государства с самыми низкими показателями – это необязательно самые богатые страны. Сходные валовые продукты не указывают на одинаковую форму кривой на графике распределения доходов.

Глубина бедности

Неравенство распределения доходов приводит к тому, что 10% населения отрываются на полную, а нижний дециль вынужден выживать на 1,25 доллара США в день. Все, кто зарабатывают меньше этой суммы, вообще считаются живущими за гранью бедности. Однако нужно понимать, что в каждой стране своя цена жизни, поэтому этот стандарт необходимо корректировать с поправкой на национальные особенности.

Группа по исследованию развития Всемирного банка рассчитывает специальный показатель глубины бедности. Для этого используются показатели доходов и потребления домохозяйств 115 стран. Отчеты по показателю выходят два раза в год: в апреле и сентябре.

Социальная политика государства

Высокая степень неравномерности распределения доходов является причиной забастовок и даже революций. Поэтому цель любого правительства состоит в том, чтобы сделать это явление менее заметным и смягчить разрыв между богатыми и бедными. Социальная политика государства обычно связана с развитием справедливых отношений в обществе, формированием защитных механизмов и созданием условий для роста благосостояния населения. Для этого правительству приходится решать следующие задачи:

Выводы

Идеального общества абсолютной справедливости не существует. Есть только государства с большим или меньшим коэффициентом Джини. Чем меньше разрыв между идеальной и реальной кривой Лоренца, тем лучше распределяются доходы в стране. Проблема несправедливости накопления богатства отдельными лицами или группами характерна для многих современных государств, особенно развивающихся. Для частичного решения этой проблемы необходима грамотная национальная социальная политика. Ее результативность оценивают, сравнивая уровень и качество жизни в различных странах или за определенный период. Важно не допустить достижения так называемого социального дна и прогрессирования диспропорциональности. Если государство справляется со своими функциями, то население, даже бедное, должно чувствовать улучшение уровня жизни. И это связано не столько с изменением формы кривой Лоренца, сколько с расширением потребительской корзины. В противном случае в обществе начинает назревать переворот со всеми его негативными последствиями.

Источник

14.2 Кривая Лоренца и коэффициент Джини

Кривая Лоренца отражает кумулятивные (накопленные) доли дохода населения. Построение кривой Лоренца удобнее всего рассмотреть на следующем примере:

Представим экономику, состоящую из 3-х агентов: А, B, C. Доход агента А составляет 200 единиц, доход агента В составляет 300 единиц, доход агента С составляет 500 единиц.

Для построения кривой Лоренца найдем доли индивидов в общем доходе. Общий доход составляет 1000. Тогда доля индивида А составляет 20%, доля В составляет 30%, доля С составляет 50%.

Далее будем искать кумулятивные (накопленные) доли доходов и численности населения для индивидов, начав с самого бедного и постепенно включая более богатых индивидов:

Доля в населении индивида А составляет 33%. Доля его дохода составляет 20%.

Затем включим в анализ более богатого индивида – индивида В.

Совместная доля А+В в населении составляет 67%. Совместная доля А+В в доходе составляет 50% (20%+30%).

Далее включим в анализ еще более богатого индивида С.

Совместная доля А+В+С в населении составляет 100%. Совместная доля А+В+С в доходе составляет 100% (20%+30%+50%).

Отметим полученные результаты на графике:

Линия, соединяющая левую нижнюю точку и правую верхнюю точку графика, называется линией равномерного распределения доходов. Это гипотетическая линия, которая показывает, что было бы, если доходы в экономике распределяются равномерно. При неравномерном распределении доходов кривая Лоренца лежит левее этой линии, причем чем больше степень неравенства, тем сильнее изгиб кривой Лоренца. А чем ниже степень неравенства, тем более она приближена к линии абсолютного равенства.

В нашем случае кривая Лоренца выглядит как кусочно-линейный график. Это получилось так, потому что в нашем анализе мы выделили только три группы населения. С ростом числа рассматриваемых групп населения кривая Лоренца будет выглядеть следующим образом:

Кривая Лоренца позволяет судить о степени неравенства доходов в экономике о ее изгибу. Для количественного измерения степени неравенства дохода по кривой Лоренца существует специальный коэффициент – коэффициент Джини.

Коэффициент Джини равен отношению площади фигуры, ограниченной прямой абсолютного равенства и кривой Лоренца, к площади всего треугольника под кривой Лоренца.

если кривая Лоренца изображена не в %, а в долях, то площадь большого треугольника всегда равна ½. Формула коэффициента Джини для этого случая приобретает вид:

Коэффициент Джини может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе коэффициент Джини к нулю, тем меньше изгиб кривой Лоренца, и доходы распределены более равномерно. Чем ближе коэффициент Джини к единице, тем больше изгиб кривой Лоренца, и доходы распределены менее равномерно.

Площадь внутренней фигуры D быстрее всего можно посчитать путем вычитания из площади большого треугольника площади фигур А, В и С.

В этом случае коэффициент Джини будет равен:

Частный случай кривой Лоренца и коэффициента Джини: попарное сравнение.

Материалы данного раздела не публикуются на сайте, а доступны в полной версии данного пособия, которое я использую на занятиях с учениками.

Как известно, любой статистический показатель имеет свои изъяны. Так же как и по показателю ВВП нельзя судить об уровне благосостояния экономики, и коэффициент Джини (и другие показатели степени неравенства) не могут дать в полной мере объективную картину степени неравенства доходов в экономике.

Это происходит по нескольким причинам:

Данные показатели используются для оценки степени неравенства доходов, и входят в область позитивного экономического анализа. Напомним, что позитивный анализ отличается от нормативного анализа тем, что позитивный анализ анализирует экономику объективно, как есть, а нормативный анализ является попыткой улучшить мир, сделать «как должно быть». Если оценка степени неравенства является позитивным экономическим анализом, то попытки снизить неравенство в распределении доходов принадлежат к области нормативного экономического анализа.

Нормативный экономический анализ известен тем, что разные экономисты могут предложить разное, часто диаметральное противоположные рекомендации по решению одной и той же проблемы. Это не означает, что кто-то является более компетентным, а кто менее компетентным. Это только означает, что экономисты отталкиваются от различных философских взглядов на понятие справедливости, а единства в этом вопросе нет.

Сначала мы рассмотрим различные существующие системы ценностей, а затем покажем, каким образом можно обеспечить более справедливое распределение доходов в рамках каждой системы.

Материалы данного раздела не публикуются на сайте, а доступны в полной версии данного пособия, которое я использую на занятиях с учениками.

Налоги и налоговая система

Про экономику США XIX века можно сказать, что она была идеальным примером свободного капитализма. Идеалы Адама Смита о минимальном вмешательстве государства в распределение ресурсов и функционирование рынков (вспомним знаменитый принцип laissez faire) были взяты на вооружение в то время, вмешательство государство в рынок было минимальным, государственные расходы составлял 7-8% от совокупных расходов, а средняя ставка налогообложения для граждан США составляла 5% от доходов. Весь XX век прошел под знаменем активного наращивания присутствия государства в экономике, государственные расходы выросли до 25%-30% от совокупных расходов, а средняя ставка налогообложения выросла до 35% от доходов.

Государство сейчас выступает не только в качестве устранителя рыночных провалов, о которых мы активно говорили в прошлой главе (внешние эффекты и предоставление общественных благ), но и в качестве стимулятора экономики, когда экономика испытывает трудные времена.

Налоги являются основным источником доходов государства. Любое государство имеет множество налогов и сборов, построенных по определенным принципам, а также институты контроля по сбору налогов. Все это составляет налоговую систему государства.

Для оценки налоговой системы используются принципы эффективности и справедливости. Как мы уже знаем, понятие справедливости не является точно определённым для экономистов. В зависимости от системы моральных ценностей справедливость может быть установлена тем или иным образом. Экономисты гораздо более едины при определении того, что такое эффективность. Эффективной является та налоговая система, которая менее всего приводит к искажению стимулов у участников рынка, а следовательно, и к возникновению безвозвратных потерь.

Покажем, каким образом безвозвратные потери связаны с искажением стимулов у участников рынка.

По теме «рыночное равновесие» мы помним, что безвозвратные потери возникали, когда налоги и субсидии изменяли положение кривых спроса и предложения, то есть изменяли экономическое поведение людей. Безвозвратные потери заключались в том, что какие-то покупатели не смогли купить товар, а какие-то производители не могли продать товар по сравнению с ситуацией, когда цены точно отражают предельные издержки.

Таким же образом любые налоги приводят к безвозвратным потерям, поэтому можно смело утверждать, что любые налоги неэффективны в этом смысле. Задача экономистов заключается в том, чтобы найти такие налоги, которые будут минимально искажать стимулы людей, а значит, и приводить к минимальным безвозвратным потерям.

Налоги могут взиматься по-разному в зависимости от величины дохода. Для того, чтобы оказать это, нам будут нужны два типа налоговых ставок: средняя налоговая ставка и предельная налоговая ставка.

Средняя налоговая ставка показывает, какой % налога в среднем платит индивид с полученного дохода

Предельная налоговая ставка показывает, какой % налога платит индивид с дополнительного дохода:

Средняя и предельная ставки ведут себя также, как и любые средние и предельные величины:

В зависимости от поведения средней и предельной ставки налога выделяют 3 вида налогов: прогрессивные, пропорциональные, регрессивные.

У прогрессивного налога средняя ставка налога растет по мере увеличения дохода, а значит, предельная налоговая ставка превышают среднюю.

Примеры прогрессивных налогов: налоги на доходы во Франции, налоги в Швеции, автомобильный налог в России.

У пропорционального налога средняя ставка не изменяется с ростом дохода, а значит, средняя налоговая ставка совпадает с предельной.

Примеры пропорциональных налогов: подоходный налог в России 13%, налог на прибыль в России 20%.

В случае, если индивиду предложена одинаковая налоговая ставка при существовании некоего налогонеоблагаемого минимума (или же предоставлен налоговый вычет), то данная налоговая система является уже не пропорциональной, а прогрессивной. Индивид сначала вообще не платит налогов, а потом, после превышения налогонеоблагаемого минимума, начинает платить налог по одинаковой ставке.

У регрессивных налогов средняя ставка падает с ростом дохода, а значит, предельная ставка налога оказывается ниже средней.

Другие примеры регрессивных налогов – это любые фиксированные налоги и пошлины. Например, в РФ человек вынужден заплатить фиксированную пошлину в размере около 1000 рублей при регистрации номерного знака автомобиля. Данный вид налога является регрессивным, поскольку пошлина оставляет большую часть дохода для бедного человека, и меньшую часть дохода для богатого человека.

Какой из данных видов налогов является более справедливым? Популярной является точка зрения, что прогрессивные налоги являются более справедливыми, а регрессивные менее справедливыми. Но эта точка зрения ошибочна. Как мы показали раньше, все зависит от того, в рамках какой системы моральных ценностей мы будем говорить о справедливости.

Рассмотрим простой пример. Индивид А получает доход 10 рублей и платит налог по ставке 10%. Индивид В получает доход 90 рублей и платит налог по ставке 5%. Налоговая шкала является регрессивной – средняя ставка падает при росте дохода. Но является ли она несправедливой? Посчитаем сумму налога, уплаченную каждым индивидом. Индивид А платит 1 рубль (=10*10%), индивид В платит 4.5 рубля (=90*5%). В результате индивид, зарабатывающий больше, платит и большую сумму налога. И в чем же здесь несправедливость?

Для оценки справедливости налоговой системы выделяются следующие постулаты:

В зависимости от того, каким образом налоги собираются в государственный бюджет, различают прямые и косвенные налоги.

Прямые налоги – это налоги, которые уплачивает тот, кто является носителем налога. Например, налог на прибыль является прямым налогом, потому что его оплачивает фирма, которая получает эту прибыль. Подоходный налог является прямым налогом, поскольку его уплачивает индивид, который получает налогооблагаемый доход.

Косвенные налоги – это налоги, которые уплачивает тот, кто не является носителем налога. Например, акцизы на алкоголь и сигареты уплачивают фирмы. Однако носителем налога в этом случае является потребитель, потому что акцизы «сидят» в цене товаров, покупаемых потребителем. Косвенными налогами в России являются НДС (налог на добавленную стоимость) и акцизы. Все косвенные налоги являются регрессивными по отношению к доходам покупателей.

Какие налоги являются более популярными: прямые или косвенные? Ответ заключается в том, что косвенные налоги легче собрать, поскольку фактически они вводятся на расходы потребителей. Прямые налоги собрать тяжелее, потому что они вводятся преимущественно на доходы, и в этом случае индивиды имеют стимулы к уклонению от налогов путем сокрытия доходов. Поэтому косвенные налоги более популярны в государствах с неразвитыми институтами, где индивиды могут и хотят уклоняться от налогов.

Еще одним эффектом, который оказывают прямые или косвенные налоги на экономику, являются стимулы индивидов к сбережениям. Прямые налоги обычно вводятся на текущие доходы индивидов, поэтому индивиды не имеют стимулов делать большие сбережения. Косвенные налоги стимулируют индивидов к сбережениям, потому что эти налоги вводятся на потребление. Сберегая деньги, а не тратя их в настоящий момент, индивиды платят меньше налогов сейчас при косвенных налогах, и платят больше налогов сейчас при прямых налогах.

Влияние налогов на неравенство доходов

Материалы данного раздела не публикуются на сайте, а доступны в полной версии данного пособия, которое я использую на занятиях с учениками.

1 Можно считать коэффициент Джини для кривой Лоренца в %, просто расчеты будут более громоздкими.

Источник

Как рассчитывать коэффициент Джини

Автор: Игорь Святославович Демин · Опубликовано 21.11.2017 · Обновлено 19.01.2021

Что такое кривая Лоренца, коэффициент Джини (индекс Джини) и как их рисовать и считать?

Начнем с кривой Лоренца.

Кривая Лоренца

Кривая Лоренца — это график, демонстрирующий степень неравенства в распределении дохода или богатства в обществе. Ее придумал в 1905 году американский статистик Макс Лоренц.

Собственно говоря, эта кривая может отражать неравенство в распределении самых разных величин, но вначале она предназначалась именно для отражения экономического неравенства в обществе.

Кривая выглядит следующим образом:

По горизонтальной оси указана накопленная доля населения (причем население отсортировано от беднейших, то есть получающих наименьший доход, до богатейших), а по вертикальной — доля получаемого дохода.

Это лучше понять на примере:

Предположим, мы разбили все население страны на 4 группы, в каждой из которых по 25% населения. При этом первая, «бедная» группа получает 10% общего дохода страны, вторая, «ниже среднего» — 20%, третья, «выше среднего» — 30% и четвертая, «богатая» — 40%.

Теперь переведем это в накопленные доли: 25% населения будут получать 10%, 50% населения (это «бедная» и «ниже среднего» группы) суммарно получают 10%+20%=30%, 75% населения («бедная», «ниже среднего» и «выше среднего» группы) получат 10%+20%+30%=60% всего дохода, и, разумеется, 100% населения получат 100% дохода.

Теперь можно построить график.

Обратите внимание, что кривая всегда исходит из точки (0%;0%) и приходит в точку (100%;100%), так как ясно, что 0% населения получают 0% дохода, а 100% населения получают 100% дохода.

Необязательно, чтобы группы были равными. Например, возьмем такие данные:

Обратите внимание, что группы нужно распределить от бедных к богатым. Если группы одинаковые, то они сортируются просто по столбцу «Доля от общего дохода» — от маленьких значений к большим (см. прошлый пример). Но у нас группы разного размера, поэтому нужно учитывать отношение второго столбца к первому (доли дохода к доле населения). Например, у нас вторая и третья группы получают одинаковую долю дохода. Но во второй группе населения больше, а значит, в расчете на одного человека они беднее. То же с третьей и четвертой группой. Вообще говоря, случай с разными группами редкий и встречается только в условных задачах. Но если будут такие условия, то нужно делить долю дохода на долю населения. Для наших групп получим:

Это значит, что в третьей группе население получает именно средний по стране доход на человека. В первой группе доход в два раза ниже среднего, во второй — 75% от среднего, а в четвертой — три средних дохода на человека. Вот в таком порядке их и нужно расположить для построения кривой Лоренца.

Получим такой график:

И, конечно, количество групп может быть любым. Желательно, чтобы их было побольше, тогда кривая будет построена по большему числу точек, станет более гладкой и точной.

Можно представить себе кривую абсолютно равного распределения: это будет просто диагональ, так как любые N% населения получают N% дохода:

И кривую абсолютного неравенства, когда все работают бесплатно, а один-единственный человек получает весь доход:

(Не думайте, что это совершенно умозрительная кривая: например, если у единственного человека в стране есть, скажем, говорящий еж, то кривая распределения говорящих ежей будет именно такой!)

Коэффициент Джини

К 1912 году итальянский статистик Коррадо Джини разработал алгебраическую интерпретацию кривой Лоренца: коэффициент, призванный указывать, насколько неравным является экономическое распределение.

Все очень просто. Коэффициент этот равен отношению площади фигуры между диагональю и кривой Лоренца:

К площади треугольника под диагональю (а она всегда равна 0,5):

Таким образом, при полном равенстве площадь первой фигуры равна нулю, и коэффициент тоже равен нулю. При полном неравенстве эта фигура займет весь треугольник и коэффициент будет равен единице.

Чем ниже коэффициент, тем более равным является распределение.

Как его считать?

Считать коэффициент Джини можно графическим или алгебраическим способом. Посмотрим, как это можно сделать.

Графический способ

Вертикальными линиями можно разделить фигуру над кривой Лоренца на два треугольника и несколько трапеций.

Площадь треугольника — половина основания на высоту, а трапеции — полусумма оснований на высоту (поверните голову на 90º, высоты расположены горизонтально, а основания — вертикально). Высоты равны размерам групп, а основания легко посчитать. В нашем случае площадь фигуры будет такой:

Теперь разделим ее на площадь треугольника под диагональю (а он, напоминаю, всегда равен 0,5) и получим: 0,14/0,5=0,28

Таким образом, 0,28 или 28% и есть значение коэффициента Джини.

Другой графический способ: посчитать площадь фигур под кривой Лоренца, а затем вычесть их из площади треугольника под диагональю (0,5) и получить площадь над кривой. И ее уже разделить на 0,5.

Этот случай удобнее, когда цифры не такие круглые и ширина оснований трапеций над кривой неочевидна.

Отнимаем 0,36 от 0,5 и получаем 0,14 — площадь фигуры над кривой

Далее, как и в первом способе, делим эту площадь на 0,5 (площадь треугольника под диагональю) и получаем: 0,14/0,5=0,28

Алгебраический способ

Наиболее проста в употреблении формула:

-доля i-ой группы в составе населения

-доля i-ой группы в объеме доходов

-кумулированная (накопленная) доля i-ой группы в составе населения

Составим таблицу на основе данных предыдущего примера:

Доля населения ()	Доля от общего дохода ()	Накопленная доля общего дохода ()
20%	10%	10%	0,02	0,02
40%	30%	40%	0,12	0,16
30%	30%	70%	0,09	0,21
10%	30%	100%	0,03	0,1
Итого	0,26	0,49

Если вы не понимаете, как построена эта таблица, откройте спойлер:

Как построена эта таблица

Первый и второй столбцы — это исходные данные, они такие же, как и в разделе «Графический способ».

Третий столбец получается из второго путем накопления значений из второго столбца: берем значение из ячейки слева и всех ячеек выше нее и складываем.

Четвертый столбец — произведение первого и второго.Чтобы не запутаться в процентах, переведите их в доли, например для первой строки: 20%10%=0,20,1=0,02.

Пятый столбец — произведение первого и третьего.

Далее подсчитываем суммы по четвертому и пятому столбцу.

Теперь можно подставить полученные суммы в формулу, которая приведена выше:

Мы получили ответ 0,28 — такой же, как и графическим методом.

Это самая простая в применении формула. Советую ее запомнить. А если вдруг хочется понять, как она выведена, откройте этот спойлер (объяснение довольно длинное!):

Как выведена эта формула?

В основе этой формулы лежит уже известная вам идея: чтобы посчитать площадь фигуры над кривой Лоренца:

можно сперва посчитать площадь фигуры под кривой Лоренца

а потом вычесть ее из площади диагонального треугольника, которая равна 0,5, и получим искомое. Саму же площадь под кривой будем считать по группам. Можно видеть, что над каждой группой образуется треугольник или четырехугольник — они выделены разными цветами.

Рассмотрим, например, вторую группу (зеленый четырехугольник).

Площадь четырехугольника ABDE равна площади прямоугольника ACDE минус площадь прямоугольного треугольника BCD. При этом площадь прямоугольника ACDE равна AEDE, а площадь прямоугольного треугольника BCD равна CDBC/2. Таким образом, площадь ABDE равна

При этом можно увидеть на графике, что ВС — доля дохода по группе (y), DE — накопленная доля дохода по группе (cum y), а AE или CD — доля группы в численности населения (x). Тогда формула принимает вид

Можно видеть, что такая формула (прямоугольник минус прямоугольный треугольник) пригодна для всех цветных фигур, включая и левый розовый треугольник.

Тогда сумма всех фигур под кривой Лоренца будет равна

Эту сумму, как вы помните, нужно вычесть из 0,5, чтобы получить площадь фигуры над кривой

И наконец, разделив все это на площадь диагонального треугольника (то есть опять же на 0,5), получим формулу коэффициента Джини:

Есть и другие формулы, расчет по одной из них приведен, например, вот тут. Мне кажется, что в ней проще запутаться, а получается ровно то же самое.

Чтобы проверить себя, решите задачу. Ответ и решение под спойлерами:

Задача

Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте коэффициент Джини.\

Источник