Что получится если косинус умножить на косинус

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

Для любых α и β справедливы формулы

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

Сложим эти равенства и получим:

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Пример. Формулы произведения

Нужно sin 75 ° умножить на cos 15 ° и вычислить точное значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75 ° · cos 15 ° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Источник

Произведение косинусов, синусов и синуса на косинус

Формулы произведений косинусов cos(α)×cos(β), синусов sin(α)×sin(β) и синуса на косинус sin(α)×cos(β) можно выразить из четырех базовых формул — косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса разности sin(α−β) и синуса суммы sin(α+β):

cos(α−β) = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) (I) cos(α+β) = cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) (II) sin(α−β) = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) (III) sin(α+β) = sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) (IV)

Эти четыре формулы вывести трудно, поэтому их проще запомнить. Но с их помощью можно вывести искомые тригонометрические тождества.

Произведение косинусов

Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:

cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = <одинаковые произведения синусов сокращаются>= cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)

cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)

В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синусов

Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:

cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = <одинаковые произведения косинусов сокращаются>= sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)

cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:

sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синуса на косинус

Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:

sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = <одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются>= sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)

sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:

sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,

т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.

Итоговые формулы произведения косинусов, синусов и синуса на косинус

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2 sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2 sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2

Эти формулы мы получили из четырех базовых формул: косинуса разности cos(α−β), косинуса суммы cos(α+β), синуса суммы sin(α−β) и синуса разности sin(α+β). И эти четыре равенства мы между собой складывали и вычитали.

Источник

Сумма и разность синусов и косинусов: вывод формул, примеры

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов

Формулы суммы и разности для синусов

Определения формул сумм и разности синусов и косинусов

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов

Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже

Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.

Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.

Вывод формулы суммы синусов

В сумме sin α + sin β заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим

Действия по выводу остальных формул аналогичны.

Вывод формулы разности синусов

Вывод формулы суммы косинусов

Вывод формулы разности косинусов

Примеры решения практических задач

Пример 1. Проверка формулы суммы синусов двух углов

Пример 2. Применение формулы разности синусов

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Источник

Произведение синусов и косинусов, вывод формул, примеры.

Изучение основных формул тригонометрии продолжаем формулами произведения синусов, косинусов и синуса на косинус. Эти формулы являются в определенном смысле обратными формулам суммы синусов и косинусов, то есть, позволяют от произведения синусов и косинусов углов и перейти к сумме или разности синусов и косинусов углов и .

В этой статье мы рассмотрим следующие формулы: произведение синусов, произведение косинусов и произведение синуса на косинус, покажем их вывод, а также приведем примеры их использования.

Навигация по странице.

Список формул

Запишем по порядку формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Эти формулы справедливы для любых углов и .

Озвучим формулировки данных формул произведения:

Вывод формул

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус можно вывести, основываясь на формулах сложения, а также на следующем свойстве равенств: если к левой и правой части верного равенства прибавить соответственно левую и правую части другого верного равенства, то получится верное равенство.

Для вывода формул произведения синусов и косинусов нам потребуются формулы косинуса суммы и косинуса разности вида и .

Сложив эти равенства, получаем , откуда следует, что и . Так доказана формула произведения косинусов.

Если же формулу косинуса суммы переписать как , после чего к этому равенству прибавить равенство , то легко получается формула произведения синусов вида .

Для вывода формулы произведения синуса на косинус достаточно сложить левые и правые части формул синуса суммы и синуса разности . Имеем , откуда следует, что .

Так мы вывели формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Примеры использования

Разберем несколько примеров использования формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус. Это сделаем для того, чтобы было понятно, как применяются рассматриваемые формулы для конкретных углов.

Начнем с того, что проверим справедливость, например, формул произведения синусов. Для этого возьмем , и убедимся, что для этих углов совпадают значения правой и левой частей равенства . Имеем (при необходимости обращайтесь к разделу таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса), и

Так как мы получили одинаковые значения, то формула произведения синусов справедлива для данных углов.

В некоторых случаях формулы произведения позволяют вычислять значения тригонометрических выражений. Рассмотрим пример, подтверждающий наши слова.

Вычислите точное значение произведения синуса 75 градусов и косинуса 15 градусов.

Точные значения и нам неизвестны, поэтому мы не можем непосредственно вычислить требуемое значение. Однако ответить на вопрос задачи нам позволяет формула произведения синуса и косинуса. Действительно, сумма углов 75 и 15 градусов равна 90 градусов, а их разность равна 60 градусов, для данных углов мы знаем точные значения всех тригонометрических функций.

Итак,

.

Формулы произведения синусов, косинусов, синуса и косинуса используются для преобразования тригонометрических выражений, но эта тема требует более детального обсуждения.

Источник

Математика для блондинок

Страницы

суббота, 27 февраля 2010 г.

Что будет, если умножить косинус на синус?

8 комментариев:

Здравствуйте, Николай!
Скажите, а где в жизни, в какой отрасли, применяются правила синуса и косинуса?

В геодезии довольно часто используется. В технике и строительстве при расченах на нагрузки, действующие под углом. Наверное, ещё во многих областях. Скажу честно, в своей жизни я таких случаев не припомню. Причина? Есть типовые задачи и есть типовые решения. Тупо подставляешь данные и клацаешь по клавишам калькулятора. Возможно, иногда и синусы с косинусами попадались. Но ведь я знаю, что означают сочетания букв sin и cos и где их искать в калькуляторе)))

Где применяется синус и косинус.
Поучитесь на физ факе, вам раскажут)))
разделы физики:
— оптика
— механика
— кинематика (гармонические уравнения, разного рода коледания)
— электродинамика
— радиоэлетроника
— квантовая элетроника
— спектроскопия (всех видов)
и т.д.

применение этих разделов:
— все виды связи (телефония, интернет, спутниковое ТВ)
— радиоприборостроение (расчеты електрических схем)
— лазерные технологии (расчеты параметров лазерных систем)
— системы обнаружения чего угодно
и много много много много.

Да, физики знают, что с математикой нужно делать, в том числе с синусами и косинусами 🙂

Источник