Что понимается под интерпретацией результата исследования математической модели

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ

До сих пор мы употребляли абстрактный математический язык. Перевод результатов математического моделирования на язык экспериментатора называется интерпретацией результатов.

Интерпретация – сложный процесс, который проводится в несколько этапов и включает в себя оценку величины и направления влияния отдельных факторов и их взаимодействий на параметр оптимизации, сопоставление влияния совокупности факторов, проверку правильности априорных представлений и, в некоторых случаях, проверку и выдвижение гипотез о механизме процесса.

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов.

Далее выясняется, как расположить совокупность факторов в ряд по силе их влияния на параметр оптимизации.

Факторы, коэффициенты которых не значимы, конечно не интерпретируются. О них можно сказать, что при данных интервалах варьирования и ошибке воспроизводимости они не оказывают существенного влияния на параметр оптимизации.

На основе априорных сведений обычно имеются некоторые представления о характере действия факторов. Если, например, с ростом температуры должно происходить увеличение параметра оптимизации (У), а коэффициент регрессии имеет знак «-», то возникает противоречие. Здесь возможны две причины возникновения такой ситуации: либо в эксперименте допущена ошибка и он должен быть проверен, либо не верны априорные представления. При этом следует иметь в виду, что эксперимент проводится в локальной области факторного пространства и коэффициент (b_i) отражает влияние факторов только в этой области. Заранее неизвестно в какой мере можно распространить результат на другие области. Теоретические же представления имеют обычно более общий характер. Кроме того, априорная информация часто основывается на однофакторных зависимостях, а при переходе к многофакторному пространству ситуация может измениться. Поэтому мы должны быть уверенными, что эксперимент проведен корректно. Тогда для преодоления противоречия можно выдвигать различные гипотезы и проверять их экспериментально.

Получение информации о механизме действия факторов не является обязательной в задачах математического моделирования, но возможность такого рода следует использовать. Здесь особое внимание следует уделять эффектам взаимодействия факторов.

знаки при В₁, В₂ и В₁₂ одинаковы, то можно сказать, что фактор Х₁ влияет тем сильнее, чем больше Х₂. В этом случае говорят о синергизме влияния факторов Х₁ и Х₂, т.е. каждый из них при совместном воздействии влияет сильнее, чем при раздельном.

Если знаки при В₁ и В₂ одинаковы, а при В₁₂ – противоположный, то говорят, что влияние Х₁ ослабевает с ростом Х₂, т.е. каждый фактор в отдельности влияет сильнее, чем при одновременном воздействии.

Но не всегда знаки коэффициентов линейных факторов совпадают, могут иметь место следующие варианты:

Рассмотрим простейшие примеры интерпретации эффектов взаимодействия.

Пример 1. Влияние двух лекарственных препаратов против гриппа изучалось на животных. На основании экспериментальных данных была получена следующая математическая модель процесса:

где ₁,Х Х₂ – дозы лекарственных препаратов;

У – время выздоровления.

Пример 2. Изучалось влияние трех факторов на выход сульфадимезина. Предполагалось, что уксусная кислота (Х₃) является лишь растворителем и в химической реакции не участвует.

В результате обработки экспериментальных данных была получена математическая модель процесса:

У = 85.9 + 2.5Х₁ + 0.56Х₂ + 1.12Х₃ – 0.58Х₁Х₃ – 0.92Х₂Х₃, из которой видно, что значимым оказался не только коэффициент В₃, но и В₁₃ и В₂₃. Этот факт говорит о том, что уксусная кислота активно участвует в химической реакции, что требует пересмотра существующего мнения о механизме реакции.

Знаки эффекта взаимодействия показывают экспериментатору, что предпринять для увеличения или снижения значения (У). Так, если эффект взаимодействия имеет положительный знак, то для увеличения параметра оптимизации требуется одновременное увеличение или уменьшение значения факторов. Для уменьшения значений параметра оптимизации факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях.

Если эффект взаимодействия имеет отрицательный знак, то для увеличения (У) факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях. (Х₁=+1, Х₂=-1; Х₁=-1, Х₂=+1)

Для уменьшения (У) требуется одновременное увеличение или уменьшения факторов (Х₁=1, Х₂=1; Х₁=-1, Х₂=-1).

Как видно из примеров, интерпретация эффектов взаимодействия не так однозначна, как линейных эффектов. В каждом случае имеется два варианта.

Какому отдать предпочтение?

Прежде всего, нужно учесть знаки линейных эффектов соответствующих факторов. Если эффект взаимодействия имеет знак «+» и соответствующие линейные эффекты отрицательны, то выбор однозначен: необходимо сочетание Х₁=-1, Х₂=-1. Однако возможен случай, когда знаки линейных эффектов различны. Тогда приходится учитывать численные значения коэффициентов и жертвовать самым маленьким эффектом. Иногда приходится учитывать технологические соображения. Например, эксперимент в одной области факторного пространства дороже или труднее воспроизводим, чем в другой.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Истолкование (интерпретация) результата Решение математической задачи

Математическое моделирование и принятие решений

Хотя аналогия часто вводит в заблуждение, это

Наименьшее из того, что вводит нас в заблуждение.

С. Батлер

Если проблему удастся перенести на язык формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, которые нельзя отменить указом или иным способом.

Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что все, что в ней случается, свободно от пут условностей.

Математика имеет дело с упрощенными моделями явлений. Природные корни некоторых математических наук скрыты от нас паутиной времени, в других, более молодых, они видны явно. По существу, формула (или совокупность формул) представляет собой определенный этап в построении математической модели.

Математические методы и моделирование в целенаправленной деятельности

Математической моделью, с формальной точки зрения, можно назвать любую совокупность элементов и связывающих их операций. С содержательной точки зрения интересны модели, являющиеся изоморфным отображением реальных или реализуемых объектов, процессов и явлений. С математическими моделями непосредственно связан математический метод познания отображаемых моделью объектов.

Соотношение между элементами а, Ь и с, выражаемое формулой а + Ь = с, это математическая модель. Она изоморфно отображает операцию объединения двух куч камней с их числами а и b в общую кучу камней, которых окажется с = а + Ь. В этом смысле операция сложения отвечает объединению двух куч в одну, а модель а + Ъ = с изоморфнаэтому слиянию. При этом, не объединяя кучи и не считая в ней камней, можно предсказать, что их будет с.

Этот элементарный пример поясняет общий математический метод познания. Он состоит в построении для изучаемого объекта, процесса или явления изоморфной математической модели (на основе элементов и операций операционной системы), в изучении этой математической модели (для чего требуется выполнимость используемых в ней операций) и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходный изучаемый объект.

В этом направлении математика не только создала свои разнообразные внутренние модели алгебры, геометрии, функции комплексного переменного, дифференциальных уравнений и т. д., но и помогла естествознанию в построении великих математических моделей механики, электродинамики, термодинамики, химической кинетики, микромира, пространства-времени и тяготения, вероятностей, передачи сообщений, управления, логического вывода и др. В создании своих моделей математика часто опережала потребности естествознания и техники.

Построение модели

Реальный объект Содержательная модель Математическая модель

Истолкование (интерпретация) результата Решение математической задачи

Реализация универсального математического метода познания и есть, по-видимому, основная цель и задача современной математики. Она включает, в первую очередь, построение новых неведомых математических моделей, в частности в биологии, для познания жизни и деятельности мозга, мироздания и микромира,новых фантастических техно-логий и техники, а также познание экономических и социальных явлений опять же с помощью математических моделей.

Не следует забывать и о дальнейшем расширении и обогащении операционной системы и ее реальных возможностей, гигантски усиливаемых вычислительными методами, вычислительными машинами и средствами программирования.

Одним из мощных программных средств обеспечения математического моделирования систем любого назначения является интегрированный пакет MathCad;есть и другие автоматизированные системы численных и аналитических расчетов, обладающие дружественным к пользователю интерфейсом и большими вычислительными возможностями.

Примерами таких математических пакетов являются Derive, MATLAB, Maple, Mathematica, SPSS, Statistica.

Кроме них имеется много узко специализированных или менее известных пакетов.

Математические методы: аналитические, численные, графические, прямые, итерационные.

В современном мире управление — дело отнюдь нелегкое, поскольку политическая, экономическая и социальная структура общества является сложной и постоянно усложняется еще больше. И то же время для эффективного управления необходимо учитывать характер взаимоотношений между различными элементами организации, а также все ее взаимодействия с окружающей ее средой.

Один из мощных инструментов анализа, которым располагают люди, ответственные за управление сложными системами, — моделирование.

Модель является представлением реального объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от формы их фактического реального существования. Обычно модель служит средством, помогающим в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Модель какого-либо объекта может быть или точной копией этого объекта (хотя, возможно, и выполненной в другом масштабе или из другого материала),или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме, в частности в виде математической модели.

Анализ математических моделей дает в руки менеджеров, управляющих и других руководителей эффективный инструмент, который может использоваться для предсказания поведения систем и сравнения получаемых результатов. Таким образом, моделирование позволяет логическим путем прогнозировать последствия альтернативных действий и дос

таточно уверенно показывает, какому из них следует отдать предпочтение. Применение моделей дает руководителям и менеджерам метод, повышающий эффективность их суждений и интуиции.

Математическая модель может использоваться традиционным способом, т.е. для получения какого-то частного решения, но в сфере управления она наиболее успешно применяется для имитационного моделирования.

Имитация (от лат. lmitatio — подражание) — это воспроизведение на модели той или иной реальной ситуации, ее исследование и в конечном счете нахождение наиболее удачного решения. Имитационное моделирование основывается, главным образом, на теории сложных систем, теории вероятностей и математической статистике. Но в то же время имитационное моделирование и экспериментирование, как и само управление, во многом остаются творческими процессами.Собственно имитационное моделирование состоит из конструирования математической модели реальной системы и постановки на ней экспериментов, чтобы оценить (с точки зрения потребности в ресурсах, например) различные стратегии, обеспечивающие достижение цели данной системы.

Когда нужно принимать ответственное решение, т. е. при проектировании сложных технических систем, при управлении промышленным или сельскохозяйственным производством, руководстве военными действиями, большое значение имеет практический опыт, дающий возможность выделить наиболее существенные факторы, охватить ситуацию в целом и выбрать оптимальный путь для достижения поставленной цели.

Источник

Математические методы научного исследования: виды, описание + примеры

На последнем пункте остановимся подробнее и разберём, какие методы исследования применяют в математике и для чего они нужны. А также рассмотрим, что такое специальные математические методы и в каких областях их можно использовать (спойлер — не только в математике).

Хотите получать ещё больше полезных материалов? Подписывайтесь на наш Telegram-канал. И не забывайте следить за скидками и акциями — с ними выгоднее учиться на отлично.

Доверь свою работу кандидату наук!

Узнать стоимость бесплатно

Математические методы исследования: определение и классификация

Методы исследования: определение

Что такое методы исследования и зачем их применяют не только в математике, но и в других науках? Чтобы расставить все точки над «i», начнём с общего определения:

методы исследования — это совокупность методик, приёмов и подходов, которые используются в процессе научного познания. Другими словами — это определённый способ, применяемый для изучения выбранной темы.

Без методологической базы невозможно провести грамотное исследование

Классификация математических методов исследования

На какие типы делят методы в математике? Существует много классификаций. Мы будем рассматривать математические методы исследования и примеры, опираясь на следующую типологию:

Виды математических методов исследования: таблица

К математическим методам исследования относят разные типы методологических приёмов. В таблице мы собрали наиболее популярные и разделили их на три группы:

Математические методы научного исследования: описание

Использование грамотных методов в исследовании — это залог успеха. Но чтобы не ошибиться в выборе, нужно понимать, что из себя представляют методические приёмы и для каких задач они подходят.

Главная задача студента — из всего многообразия математических методов выбрать те, которые помогут раскрыть тему исследования и достичь поставленных целей и задач. Так что очень внимательно отнеситесь к этому вопросу. А если не можете определиться сами — обратитесь к научному руководителю.

Давайте кратко рассмотрим самые популярные методы, которые применяют в математике, и разберёмся в их специфике.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Общие эмпирические методы в математике

Универсальные эмпирические методы составляют основу практической части любого исследования. Самые популярные из них — это наблюдение и эксперимент. Кратко напомним, в чём различие этих двух приёмов.

Метод наблюдения

В процессе наблюдения исследуют явления и объекты в их естественной среде и фиксируют наблюдаемые изменения.

Метод эксперимента

Метод эксперимента отличается от наблюдения тем, что исследователь создаёт искусственные условия и изучает конкретные реакции.

Пример: изучить свойства золотого сечения на конкретных математических моделях.

Золотое сечение — ключ с идеальной симметрии

Общенаучные логические методы в математике

Логические методы используются в математических работах, чтобы обосновать основные теоретические тезисы и практические результаты.

Метод сравнения

Данный метод помогает сравнивать по чётким параметрам математические объекты, между которыми существуют какие-либо связи. Благодаря этому подходу можно выявлять различия и схожесть.

Пример: найти решение для сравнения двух целых чисел.

Метод описания

Метод описания часто применяют совместно с другими. С его помощью описывают вычисления, происходящие процессы и теоретические обоснования.

Метод анализа и синтеза

Эти два метода стоит рассматривать вместе. Исследователи применяют анализ, чтобы разбирать целое на части, а синтез — чтобы из отдельных частей получать целое. Такой подход помогает проникнуть в суть изучаемых явлений и приходить к новым результатам.

Пример: произвести анализ себестоимости затрат по отдельным элементам, а потом найти сумму всех затрат.

Метод обобщения и специализации

Данный метод является способом находить общее свойство, присущее разным математическим явлениям. А метод специализации действует наоборот — с его помощью выделяют одно определённое свойство из большого множества, которые присущи объекту.

Метод абстрагирования и конкретизации

Эти два исследовательских метода можно спутать с предыдущими. Однако они имеют свою специфику:

И абстрагирование, и конкретизацию, как правило, применяют вместе.

Пример: найти среди представленных фигур геометрические квадраты

Специальные, или узкоспециализированные методы в математике

Специальные методы разрабатывались в рамках математической науки. Однако их активно используют в других научных дисциплинах: педагогике, статистике, физике, психологии, экономике, юриспруденции и многих других.

Мы решили кратко описать математические методы исследования, а также разобраться, в каких работах их можно применять.

Метод регистрации

Метод регистрации — это методический приём, который позволяет выявить, какое количество объектов обладает изучаемым качеством. Его активно используют в педагогических, психологических и социологических исследованиях.

Пример: проверить количество учащихся, которые посещают дополнительные занятия в вузе.

Метод ранжирования

Ещё один метод, который очень любят использовать представители социальных наук — это метод ранжирования. Он помогает обрабатывать большое количество данных, размещая их в выбранной последовательности. Например, по дате рождения, по уровню успеваемости и так далее.

Метод шкалирования

Применение математических методов в психологических исследованиях очень распространено. Один из таких примеров — метод шкалирования. Его используют для психотестов, где испытуемым необходимо выбрать оценку на определённой шкале.

Пример: психологические тесты, направленные на оценку уровня тревожности, в которых нужно выбрать, насколько сильно проявляется качество: почти никогда, иногда, часто, практически всё время.

Метод математического моделирования

Метод математического моделирования помогает исследователям изучать явления реального мира через математические модели. Чтобы его использовать, необходимо перевести проблемную ситуацию на формальный язык математики, решить задачу и интерпретировать полученные результаты.

Методы математического моделирования также широко применяют в исследованиях других наук. Например, экономических, физических, химических, экологических и так далее.

Пример: рассчитать, сколько необходимо посеять зерна, чтобы получить прибыль в следующем году, если известен спрос и цены прошлого года, а также вместимость фермерского склада.

Метод уравнений и неравенств

Метод уравнений и неравенств близок математическому моделированию. Только здесь речь идёт о конкретных моделях, в которых изучают основные связи между элементами.

Метод геометрических преобразований

Это классический математический метод, в рамках которого строят модели, опираясь на законы евклидовой геометрии.

Геометрия, как и другие науки, требует своих методов исследования

Метод дифференциальных и интегральных исчислений

Этот метод помогает проводить функциональный анализ, изучая различные свойства функций математических переменных и интегралов.

Пример: найти первообразную от функции f (x) = x2.

Метод статистических испытаний

Метод статистических испытаний, или метод Монте-Карло — это методический приём, который также работает с математическими моделями. Однако делает акцент на построении случайного процесса, используя параметры, которые равны нужным величинам.

Пример: рассчитать качество и надёжность конкретного изделия.

Метод линейного программирования

Методы линейного программирования активно используются для решения экстремальных задач, которые сосредоточены на множествах n-мерного векторного пространства. Эти методические приёмы активно применяют будущие технические специалисты и разработчики.

Метод теории игр

Метод теории игр тоже относится к математическим. Он изучает различные стратегии конфликтных ситуаций и поиска нестандартных решений, которые могут принести большую прибыль или конкурентное преимущество. Однако основа метода — работа с большими данными.

Применяют этот метод в психологических, экономических, социальных и других исследованиях, а также для обучения персонала.

Пример: решить дилемму заключенного, на которого оказывают психологическое давление, найдя наилучшее решение.

Мы рассмотрели наиболее яркие и популярные математические методы, с помощью которых можно написать не только курсовую или дипломную по математике, но и выполнить работы по другим научным дисциплинам. А если не справляетесь сами, обращайтесь к специалистам нашего студенческого сервиса.

«Я видала такую чепуху, по сравнению с которой эта чепуха — толковый словарь» (Льюис Кэрролл «Алиса в стране чудес»). Любительница йоги, спиральной динамики и душевных разговоров 😊

Источник

Процесс математического моделирования

Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, является их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов. Это приводит к усложнению модели и необходимости совместного использования нескольких теорий из разных областей знания, применения современных вычислительных методов и вычислительной техники для получения и анализа результатов моделирования. В случае сложных объектов удовлетворить всем предъявляемым требованиям в одной модели обычно невозможно. Приходится создавать целый спектр моделей одного и того же объекта (в некоторых случаях — иерархическую совокупность «вложенных» одна в другую моделей), каждая из которых наиболее эффективно решает возложенные на нее задачи.

Необходимость массового построения моделей требует разработки некоторой совокупности правил и подходов, которые позволили бы снизить затраты на разработку моделей и уменьшить вероятность появления трудно устранимых впоследствии ошибок. Подобную совокупность правил можно было бы назвать технологией создания математических моделей.

Процесс построения любой математической модели можно представить последовательностью этапов:

Обследование объекта моделирования

Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего построения значительных интеллектуальных, финансовых и временных затрат. Поэтому решение о разработке новой модели принимается лишь в случае отсутствия иных, более простых путей решения возникших проблем (например, модификации одной из существующих моделей).

Необходимость в новой модели может появиться в связи с проведением научных исследований, особенно — на стыке различных областей знания. После принятия решения о необходимости построения новой математической модели заказчик ищет исполнителя своего заказа. В качестве исполнителя, как правило, может выступать рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов. Если решение о создании модели принято и рабочая группа сформирована, то приступают к этапу обследования объекта моделирования. Основной целью данного этапа является подготовка содержательной постановки задачи моделирования. Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика, составляет содержательную постановку задачи моделирования.

Подготовка списка вопросов, на которые должна ответить новая модель, зачастую является самостоятельной проблемой, требующей для своего решения специалистов со специфическими знаниями и способностями. Они должны не только хорошо разбираться в предметной области моделирования, знать возможности современной вычислительной математики и техники, но и уметь общаться с людьми, «разговорить» практиков, хорошо «чувствующих» объект моделирования, нюансы его поведения. К таким специалистам например относят системных аналитиков, системных инженеров, специалистов по исследованию операций.

На основании анализа всей собранной информации постановщик задачи должен сформулировать такие требования к будущей модели, которые, с одной стороны, удовлетворяли бы заказчика, а с другой — позволяли бы реализовать модель в заданные сроки и в рамках выделенных материальных средств. Системные аналитики (или операционисты) должны обладать способностью из большого объема слабо формализованной разнообразной информации об объекте моделирования, из различных нечетко высказанных и сформулированных пожеланий и требований заказчика к будущей модели выделить то главное, что может быть действительно реализовано.

На основе собранной информации об объекте моделирования системный аналитик (инженер, операционист) совместно с заказчиком формулируют содержательную постановку задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться и конкретизироваться в процессе разработки модели. Однако, все последующие уточнения и изменения содержательной постановки должны носить частный, не принципиальный характер.

Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Техническое задание является итоговым документом, заканчивающим этап обследования. Чем более полную информацию удастся собрать об объекте на этапе обследования, тем более четко можно выполнить содержательную постановку задачи, более полно учесть накопленный опыт и знания, избежать многих сложностей на последующих этапах разработки модели.

Концептуальная постановка задачи моделирования

В отличие от содержательной концептуальная постановка задачи моделирования, как правило, формулируется членами рабочей группы без привлечения представителей заказчика, на основании разработанного на предыдущем этапе технического задания, с использованием имеющихся знаний об объекте моделирования и требований к будущей модели. Анализ и совместное обсуждение членами рабочей группы всей имеющейся информации об объекте моделирования позволяет сформировать содержательную модель объекта, являющуюся синтезом когнитивных моделей, сложившихся у каждого из членов рабочей группы.

Концептуальная постановка задачи моделирования — это сформулированный в терминах конкретных дисциплин перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования.

Наибольшие трудности при формулировке концептуальной постановки приходится преодолевать в моделях, находящихся на «стыке» различных дисциплин. Различия традиций, понятий и языков, используемых для описания одних и тех же объектов, являются очень серьезными препятствиями, возникающими при создании «междисциплинарных» моделей.

Математическая постановка задачи

Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования, включающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Математическая постановка задачи моделирования — это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования.

Математическая модель является корректной, если для нее осуществлен и получен положительный результат всех контрольных проверок: размерности, порядков, характера зависимостей, экстремальных ситуаций, граничных условий, предметного смысла и математической замкнутости. Математическая постановка задачи еще более абстрактна, чем концептуальная, так как сводит исходную задачу к чисто математической, методы решения которой достаточно хорошо разработаны.

Выбор и обоснование выбора решения задачи

Все методы решения задач, составляющих «ядро» математических моделей, можно подразделить на аналитические и алгоритмические.

Следует отметить, что при использовании аналитических решений для получения результатов «в числах» также часто требуется разработка соответствующих алгоритмов, реализуемых на вычислительной технике.

Однако исходное решение при этом представляет собой аналитическое выражение (или их совокупность). Решения же, основанные на алгоритмических методах, принципиально не сводимы к точным аналитическим решениям рассматриваемой задачи.

Выбор того или иного метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача (хотя бы и в упрощенной постановке) допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного.

Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием вычислительной техники. Точность моделирования в подобном эксперименте существенно зависит от выбранного метода и его параметров. Алгоритмические методы, как правило, более трудоемки в реализации, требуют от членов рабочей группы хорошего знания методов вычислительной математики, обширной библиотеки специального программного обеспечения и мощной вычислительной техники.

Численные методы применимы лишь для корректных математических задач, что существенно ограничивает использование их в математическом моделировании. Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи, то есть переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Применение любого численного метода неминуемо приводит к погрешности результатов решения задачи. Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи: неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных (начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений); погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи; ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в вычислительной машине.

Естественным требованием для конкретного вычислительного алгоритма является согласованность в порядках величин перечисленных трех видов погрешностей.

Численный, или приближенный, метод реализуется всегда в виде вычислительного алгоритма. Поэтому все требования, предъявляемые к алгоритму, применимы и к вычислительному алгоритму. Прежде всего, алгоритм должен быть реализуем — обеспечивать решение задачи за допустимое машинное время. Важной характеристикой алгоритма является его точность, то есть возможность получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий.

Время работы алгоритма зависит от числа действий, необходимых для достижения заданной точности. Для любой математической задачи, как правило, можно предложить несколько алгоритмов, позволяющих получить решение с заданной точностью, но за разное число действий. Алгоритмы, включающие меньшее число действий для достижения одинаковой точности, называют более экономичными, или более эффективными.

В процессе работы вычислительного алгоритма на каждом акте вычислений возникает некоторая погрешность. При этом от действия к действию она может возрастать или не возрастать (а в некоторых случаях даже уменьшаться). Если погрешность в процессе вычислений неограниченно возрастает, то такой алгоритм называется неустойчивым, или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым, или сходящимся.

Огромное разнообразие численных методов в значительной степени затрудняет выбор того или иного метода в каждом конкретном случае. Поскольку для реализации одной и той же модели можно использовать несколько альтернативных алгоритмических методов, то выбор конкретного метода производится с учетом того, какой из них больше подходит для данной модели с точки зрения обеспечения эффективности, устойчивости и точности результатов, а также более освоен и знаком членам рабочей группы.

Реализация математической модели в виде компьютерной программы

При создании различных программных комплексов, используемых для решения разнообразных исследовательских, проектно-конструкторских и управленческих задач, в настоящее время, основой, как правило, служат математические модели. В связи с этим возникает необходимость реализации модели в виде компьютерной программы. Процесс разработки надежного и эффективного программного обеспечения является не менее сложным, чем все предыдущие этапы создания математической модели. Успешное решение данной задачи возможно лишь при уверенном владении современными алгоритмическими языками и технологиями программирования, знаний возможностей вычислительной техники, имеющегося программного обеспечения, особенностей реализации методов вычислительной математики.

Процесс создания программного обеспечения можно разбить на несколько этапов:

Техническое задание на разработку программного обеспечения оформляют в виде спецификации. На этапе проектирования формируется общая структура программного комплекса. Вся программа разбивается на программные модули. Для каждого программного модуля формулируются требования по реализуемым функциям и разрабатывается алгоритм, выполняющий эти функции. Определяется схема взаимодействия программных модулей, называемая схемой потоков данных программного комплекса. Разрабатывается план и задаются исходные данные для тестирования отдельных модулей и программного комплекса в целом.

Большинство программ, реализующих математические модели, состоят из трех основных частей:

Большое значение следует придавать освоению современных технологий программирования. Назначение любой технологии — это в первую очередь повышение надежности программного обеспечения и увеличение производительности труда программиста. Причем чем серьезней и объемней программный проект, тем большее значение приобретают вопросы использования современных технологий программирования. Пренебрежение данными вопросами может привести к значительным временным издержкам и снижению надежности программного комплекса.

Важнейшим фактором, определяющим надежность и малые сроки создания программного комплекса для решения конкретного класса задач, является наличие развитой библиотеки совместимых между собой программных модулей. Программа получается более надежной и создается за меньшие сроки при максимальном использовании стандартных программных элементов.

Проверка адекватности модели

Проверка адекватности модели преследует две цели:

Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором — о сравнении с результатами решения тестовой задачи.

Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. При этом должна учитываться точность получения экспериментальных результатов или особенности постановок тестовых задач. В моделях, предназначенных для выполнения оценочных и прикидочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10-15%. В моделях, используемых в управляющих и контролирующих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более.

При возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, ее корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению результатов моделирования и результатов эксперимента. В первую очередь требуется исследовать модель и оценить степень ее адекватности при различных значениях варьируемых параметров (начальных и граничных условиях, параметров, характеризующих свойства объектов моделирования). Если модель неадекватна в интересующей исследователя области параметров, то можно попытаться уточнить значения констант и исходных параметров модели. Если же и в этом случае нет положительных результатов, то единственной возможностью улучшения модели остается изменение принятой системы гипотез. Данное решение фактически означает возвращение ко второму этапу процесса разработки модели и может повлечь не только серьезное изменение математической постановки задачи, но и методов ее решения (например, переход от аналитических к численным), полной переработки программного обеспечения и нового цикла проверки модели на адекватность. Поэтому решение об изменении принятой системы гипотез должно быть всесторонне взвешено и приниматься только в том случае, если исчерпаны все прочие возможности по улучшению адекватности модели.

Практическое использование модели и анализ результатов моделирования

Дескриптивные модели, предназначены для описания исследуемых параметров некоторого явления или процесса, а также для изучения закономерностей изменения этих параметров. Эти модели могут использоваться для изучения свойств и особенностей поведения исследуемого объекта при различных сочетаниях исходных данных и разных режимах; при построении оптимизационных моделей и моделей-имитаторов сложных систем.

Модели, разрабатываемые для исследовательских целей, как правило, не доводятся до уровня программных комплексов, предназначенных для передачи сторонним пользователям. Время их существования чаще всего ограничено временем выполнения исследовательских работ по соответствующему направлению. Эти модели отличает поисковый характер, применение новых вычислительных процедур и алгоритмов, неразвитый программный интерфейс.

Модели и построенные на их основе программные комплексы, предназначенные для последующей передачи сторонним пользователям или коммерческого распространения, имеют развитый дружественный интерфейс, мощные пре- и постпроцессоры. Данные модели обычно строятся на апробированных и хорошо себя зарекомендовавших постановках и вычислительных процедурах. Однако следует помнить, что такие модели предназначены только для решения четко оговоренного класса задач.

Независимо от области применения созданной модели группа разработчиков обязана провести качественный и количественный анализ результатов моделирования.

Работая с моделью, разработчики становятся специалистами в области, связанной с объектом моделирования. Они достаточно хорошо представляют свойства объекта, могут предсказать и объяснить его поведение.

Поэтому всесторонний анализ результатов моделирования позволяет:

Источник