Что понимается под термином параметр согласно теории параметризации
Параметризация
С помощью параметризации осуществляется оценка:
1. Только формы оригинала.
2. Формы, положения оригинала и его частей.
3. Только положения частей оригинала относительно друг друга.
4. Только положения оригинала в пространстве.
Согласно теории параметризации, по отношению друг к другу параметры:
2. Находятся в обратно пропорциональной зависимости.
3. Находятся в прямо пропорциональной зависимости.
4. Находятся в экспоненциальной зависимости.
Процесс измерения параметров начинается:
1. Назначения системы параметризации.
2. Изучения работы измерительных приборов.
4. Определения необходимых измерительных приборов.
Система параметризации выбирается вне оригинала при определении:
1. Параметров формы.
2. Произвольных параметров.
3. Параметров положения
4. Любых параметров.
На чертежах параметры реализуются:
1. Только условными обозначениями.
2. Только геометрическими условиями.
3. Только размерами.
4. Условными обозначениями, геометрическими условиями, размерами.
Связь между количеством параметров, необходимых для выделения из множества фигур единственной фигуры, количеством параметра формы ПФ, положения ПП, параметров, заменяемых геометрическими условиями ГУ, выражается соотношением:
Система параметризации называется связанной с оригиналом при определении:
1. Параметров формы.
2. Произвольных параметров.
3. Параметров положения.
4. Любых параметров.
Количество параметров, позволяющих определить положение произвольной точки в пространстве, носит название:
1. Описание пространства.
2. Определение пространства.
3. Параметр пространства.
4. Размерность пространства.
Классификация аксонометрических изображений на изометрию, диметрию, триметрию производится на основании:
1. Соотношения показателей по всем осям.
2. Направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций.
3. Произвольным образом.
4. Соотношения показателей по осям абсцисс и аппликат.
Основой для вторичной проекции аксонометрии оригинала может служить:
1. Любой из стандартных видов.
2. Только фронтальная проекция.
3. Только горизонтальная проекция.
4. Только профильная проекция.
Показатели искажения по всем осям различны в:
4. Любом виде аксонометрии.
Классификация аксонометрии на прямоугольную и косоугольную производится на основании:
1. Соотношения показателей по всем осям.
2. Направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций.
3. Произвольным образом.
4. Соотношения показателей по осям абсцисс и ординат.
Показатели искажения по всем осям одинаковы в:
4. Любом виде аксонометрии.
Аксонометрический чертеж оригинала получают на:
1. Четырех плоскостях проекций.
2. Трех плоскостях проекций.
3. Двух плоскостях проекций.
4. Одной плоскости проекций.
Вторичной проекцией точки называется:
1. Только проекция проекции точки на плоскость x0y.
2. Проекция проекции точки на любую координатную плоскость.
3. Только проекция точки на плоскость x0y.
4. Только проекция проекции точки на плоскость x0z.
Аксонометрические оси – это:
1. Оси натуральной системы координат.
2. Аксонометрические проекции осей натуральной системы координат.
3. Оси системы координат, не связанных с оригиналом.
4. Проекции осей абсцисс и ординат системы, не связанной с оригиналом.
Аксонометрия может быть получена проецированием:
1. Только ортогональным.
2. Только параллельным.
4. Только центральным.
Сущность метода аксонометрии состоит в том, что оригинал относят к некоторой системе координат и затем проецируют на плоскость проекций вместе с:
1. Другими предметами.
2. Координатной системой.
3. Только с осью абсцисс.
4. Только с осью ординат.
К линейчатым поверхностям относят:
1. Поверхности Каталана.
2. Поверхности с плоскостью параллелизма.
3. Трубчатые поверхности.
Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности в общем случае проходит одна линия этого множества, носит название:
1. Линейного каркаса.
2. Точечного каркаса.
Образующая поверхность вращения может быть:
1. Только плоской кривой.
2. Только пространственной кривой.
3. Плоской и пространственной кривой.
4. Только прямой линией.
Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется:
1. Одной направляющей.
2. Двумя направляющими.
3. Тремя направляющими.
4. Пятью направляющими.
Конечное множество точек, задающих поверхность, носит название:
1. Линейного каркаса.
2. Точечного каркаса.
Очерк поверхности – это:
1. Проекции определителя.
2. Проекции поверхности.
3. Проекции контурной линии.
4. Уравнение поверхностей.
В начертательной геометрии классификация поверхностей производится на основании:
1. Числа порядка поверхности.
2. Формы образующих и закона образования.
3. Только закона образования.
4. Только формы образующих.
Геликоиды – это винтовые поверхности, образующими которых являются:
Поверхности, образующими которых являются прямые линии, называются:
Поверхности, образующими перемещением окружности постоянного или переменного радиуса, называются:
Только для параллельного проецирования действительно одно из перечисленных утверждений, а именно:
1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.
2. Если точка инцидента линии, то ее проекции инцидентны проекциям линий.
3. Прямолинейность прямой линии сохраняется при проецировании.
4. Проекцией точки является точка.
Только для параллельного проецирования действительно одно из перечисленных утверждений, а именно:
1. Прямолинейность прямой линии сохраняется при проецировании.
2. Если точка инцидента линии, то ее проекции инцидентны проекциям линий.
3. Проекции параллельных прямых параллельны.
4. Проекцией точки является точка.
Свойства оригинала, не искажающиеся при проецировании, носят название:
Не является инвариантом проецирования следующее утверждение:
1. Отношение отрезков прямой равно отношению их проекций.
2. Прямолинейность прямой линии сохраняется при проецировании.
3. Прямой угол всегда проецируется без искажения.
4. При проецировании сохраняется инцидентность точки и линии.
Без исключения операция центр. проецирования осуществляться:
2. Может в любом пространстве.
3. Может в Евклидовом пространстве.
4. Может в проективном пространстве.
Свойство чертежа передавать достоверную информацию об оригинале, которая позволяет восстановить форму оригинала и его положение в пространстве, носит название:
Свойство чертежа вызывать пространственное представление об оригинале носит название:
Чертеж, на котором построены или имеется возможность построить две проекции оригинала, носит название:
3. Метрически определенного.
Чертеж, на котором имеются средства для восстановления метрики пространства оригинала, носит название:
3. Метрически определенного.
Способы преобразования проекций применяются для решения:
1. Только метрических.
3. Только позиционных.
Способы преобразования проекций применяются с целью нахождения:
1. Истинных величин фигур.
2. Рациональных способов решения задач.
3. Истинных величин фигур и рациональных способов решения задач.
Оригинал остается неподвижным относительно исходных плоскостей проекций при использовании способа:
1. Замены плоскостей проекций.
2. Вращения вокруг линии уровня.
3. Плоскопараллельного перемещения.
Оригинал остается неподвижным относительно исходных плоскостей проекций при использовании способа:
1. Плоскопараллельного перемещения.
2. Вспомогательного проецирования.
3. Вращения вокруг проецирующей прямой.
Оригинал изменяет свое положение относительно исходных плоскостей проекций при использовании способа:
1. Замены плоскостей проекций.
2. Вращения вокруг линии уровня.
3. Вспомогательного проецирования.
Оригинал изменяет свое положение относительно исходных плоскостей проекций при использовании способа:
1. Замены плоскостей проекций.
2. Плоскопараллельного перемещения.
3. Вспомогательного проецирования.
При использовании способа замены плоскостей проекций новая плоскость проекций по отношению к незаменяемой плоскости проекций располагается:
При использовании способа замены плоскостей проекций расстояние от новой оси до новой проекции точки:
1. Равно расстоянию от заменяемой оси до незаменяемой проекции точки.
2. Берется произвольно.
3. Равно расстоянию от заменяемой оси до заменяемой проекции точки.
К четырем основным задачам на преобразование можно отнести:
1. Только задачу на преобразование прямой общего положения в прямую уровня.
2. Только задачу на преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую.
3. Обе названные задачи.
К четырем основным задачам на преобразование можно отнести:
1. Только задачу на преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня.
2. Только задачу на преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость.
3. Обе названные задачи.
Плоскопараллельным называется перемещение, при котором все точки оригинала перемещаются:
1. Параллельно плоскости проекций.
3. На заданное расстояние.
Плоскопараллельное перемещение возможно относительно:
1. Только горизонтальной плоскости проекций.
2. Только фронтальной плоскости проекций.
3. Любой из плоскостей проекций.
Траектория движения каждой точки оригинала при плоскопараллельном перемещении относительно горизонтальной плоскости проекций находится:
1. В горизонтальной плоскости.
2. В плоскости общего положения.
3. Во фронтальной плоскости.
Траектория движения каждой точки оригинала при плоскопараллельном перемещении относительно фронтальной плоскости проекций находится:
1. В горизонтальной плоскости.
2. В плоскости общего положения.
3. Во фронтальной плоскости.
При плоскопараллельном перемещении относительно горизонтальной плоскости проекций остается равной самой себе, изменяя лишь свое положение:
1. Фронтальная проекция оригинала.
2. Горизонтальная проекция оригинала.
3. Фронтальная и горизонтальная проекции оригинала.
При плоскопараллельном перемещении относительно фронтальной плоскости проекций остается равной самой себе, изменяя лишь свое положение:
1. Фронтальная проекция оригинала.
2. Горизонтальная проекция оригинала.
3. Фронтальная и горизонтальная проекции оригинала.
Частным случаем плоскопараллельного перемещения является способ:
1. Замены плоскостей проекций.
3. Вспомогательного проецирования.
Плоскость вращения точки относительно оси вращения расположена:
2. Под произвольным углом.
При вращении вокруг фронтально-проецирующей оси траектория точки проецируется в виде окружности на:
1. Фронтальную плоскость проекций.
2. Горизонтальную плоскость проекций.
3. Профильную плоскость проекций.
В начертательной геометрии задачи на определение взаимного положения оригиналов носят название:
В начертательной геометрии задачи на определение истинных величин фигур носят название:
Способы преобразования проекций НЕ применяются для:
1. Нахождения истинных величин фигур.
2. Построения фигур по заданным условиям.
3. Определения видимости элементов фигур.
Для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня способом ЗПП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость способом ЗПП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования плоскости общего положения в проецирующую плоскость способом ППП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня способом ППП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования прямой общего положения в проецирующую прямую способом ЗПП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования прямой общего положения в проецирующую прямую способом ППП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования прямой общего положения в прямую уровня способом ППП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
Для преобразования прямой общего положения в прямую уровня способом ЗПП требуется:
1. Одно преобразование.
2. Два преобразования.
3. Четыре преобразования.
(ответ типа ВЕРНО/НЕВЕРНО)
Развертыванием называется такое преобразование поверхности, в результате которого она совмещается с плоскостью. Развертки неразвертываемых поверхностей носят название условных. Площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями, принадлежащими поверхностями, на развертке сохраняются без изменения. Разверткой поверхности является плоская фигура. Развертыванием называется такое преобразование поверхности, в результате которого она совмещается с цилиндрической поверхностью. Развертки поверхностей используются в различных сферах человеческой деятельности. Развертки поверхностей не имеют практического значения. Развертки неразвертываемых поверхностей носят название приближенных. Все развертывающиеся поверхности являются линейчатыми. Все линейчатые поверхности являются развертывающимися. Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой. Угол между линиями на поверхности меньше угла между соответствующими им линиями на развертке. Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке. Построение разверток является конфорным преобразованием. Прямой на поверхности соответствует такая же прямая на развертке. Прямой на развертке всегда соответствует прямая на поверхности.
Изображение, являющееся носителем геометрической информации об оригинале, является его:
1. Геометрической моделью.
2. Цифровой моделью.
3. Аналитической моделью.
4. Синтетической моделью.
Предметом начертательной геометрии НЕ является разработка:
1. Алгоритмов решения на чертежах позиционных задач.
2. Алгоритмов решения на чертежах метрических задач.
3. Методов построения геометрических моделей оригиналов.
4. Методов исследования оригиналов по их уравнениям.
Начертательная геометрия – это раздел геометрии, в котором объекты окружающего мира исследуются с помощью:
4. Экспериментальных данных.
Дисциплина «Начертательная геометрия» относится к группе дисциплин:
2. Изучающих основы будущей профессии.
3. Общеразвивающих гуманитарных.
4. Изучающих научную аргументацию основ будущей профессии.
Основоположником начертательной геометрии как науки, является:
Параметризация геометрических моделей (Parameterization of geometric models)
Теория параметризации позволяет формализовать процесс определения числа параметров, необходимых для задания геометрического объекта. Эта теория также позволяет решить обратную задачу – определить размерность множества решений поставленной задачи еще перед разработкой алгоритма ее решения. Кроме этого, с помощью теории параметризации можно исследовать возможности определения новых геометрических объектов.
Параметры – независимые числовые величины, которые позволяют выделить геометрический объект из N-параметрического множества объектов в заданной системе параметризации.
Система параметризации – совокупность заданных геометрических элементов (примитивов) и геометрических условий, которые ставят в соответствие каждому объекту набор параметров.
N-параметрическое множество – множество объектов, для выделения одного из которого необходимо связать N параметров.
Параметрическое число объекта – количество параметров (N), которое выделяет единственный объект из N-параметрического множества объектов.
Основы метода параметризации объектов
Из точек можно образовать линию, непрерывно перемещая точку в пространстве. Аналогично можно образовать поверхность, перемещая линию в пространстве. Для определения геометрических объектов (Г.О.) нет необходимости указывать положение всех принадлежащих ему точек. Достаточно лишь указать определитель – совокупность элементов (геометрическая часть), из которых можно образовать Г.О., и условия их перемещения (алгоритм).
Геометрическая часть определителя может быть выражена через другой определитель (геометрическая часть + алгоритм). В конечном итоге геометрическая часть выражается точками, а точки – параметрами, определяющими их взаимное положение.
Размерность пространства. Определение параметрического числа объекта
Параметры определяются суммированием параметров точек, через которые в конечном итоге выражается геометрическая часть определителя. При этом следует иметь в виду, что количество параметров зависит от размерности пространства. Различают:
Определителем отрезка являются 2 фиксированные точки. Следовательно, в пространстве R3 отрезок определяется 6-ю параметрами (N=3+3), в плоскости 4-я (N=2+2). Пирамида с треугольным основанием определяется 4-я фиксированными точками в пространстве и 12 параметрами (N=4*3).
Не все геометрические объекты было бы правильно определять через фиксированные точки. Так, например, если определить прямую по 2-м фиксированным точкам, то окажется, что мы имеем на плоскости 4-х параметрическое множество прямых (на самом деле 2-х параметрическое). Введём новое понятие текущей точки линии (поверхности).
Текущая точка линии – это точка, которая может перемещаться по линии. Т.е., в этом случае один параметр точки не зафиксирован. Поэтому текущая точка линии в пространстве R2 определяется лишь одним параметром, а в пространстве R3 лишь двумя параметрами.
Текущая точка поверхности – это точка, которая может перемещаться по поверхности. Т.е., в этом случае два параметра точки не зафиксированы. Поэтому текущая точка поверхности определяется лишь одним параметром.
Зная параметрические числа прямых и плоскостей, можно их использовать для параметризации более сложных объектов. Например, треугольник можно определить как фигуру, ограниченную прямыми, а пирамиду – как фигуру, ограниченную плоскостями.
Каждая линия на плоскости определяется 2-я параметрами, соответственно, треугольник определяется 6 параметрами.
Аналогично рассуждая, получим, число параметров для пирамиды с четырехугольным основанием будет 15 (по три для каждой из плоскостей). Однако, их не 15, а 14. Где прокол? В этом случае необходимо учитывать, что три боковые плоскости, пересекаясь, определяют одну точку (вершину пирамиды) и, следовательно, для определения 4-й боковой плоскости необходимо добавить еще только 2 текущих точки поверхности (2 параметра) вместо 3-х.
Определитель фигуры может быть различным, но корректная параметризация объекта при элементарных знаниях геометрии обеспечит один и тот же результат. Например, определителем окружности может быть одна фиксированная точка (центр окружности) и одна текущая точка, а также определителем окружности могут быть 3 текущие точки. В обоих случаях получаем один и тот же результат – 3 параметра.
На рисунках ниже видно, что геометрические условия заменяют параметры. Например, прямая, параллельная заданной определяется не 2-я, а 1-м параметром (расстоянием к заданной прямой). Одним параметром вместо 2-х определяется и прямая, касательная к заданной линии. Число параметров, необходимых для определения треугольника, уменьшается при наличии симметрии.
Следовательно, при расчете параметрического числа геометрического объекта необходимо не только просуммировать параметрические числа геометрических элементов определителя, но и вычесть параметрические числа геометрических условий.
N = N1+ N2+…+ Nk — (Ny1+ Ny2+…+ Nyp)
Но для этого необходимо уметь параметризовать геометрические условия.
Параметризация геометрических условий
Размерность геометрического условия Ny определяется разницей параметрического числа объекта, несвязанного условием N1, и параметрического числа объекта, связанного условием N2.
Перпендикулярность прямой к плоскости
Прямая общего положения 4-х параметрическая. Прямая, перпендикулярная к плоскости, определяется точкой в плоскости, следовательно, 2-х параметрическая.
Точно такой же результат можно получить, если в качестве исследуемого объекта выбрать не прямую, а плоскость. Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Плоскость, перпендикулярная к прямой, определяется точкой на прямой, следовательно однопараметрическая.
Перпендикулярность 2-х плоскостей
Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Плоскость, перпендикулярная к заданной плоскости, определяется прямой в плоскости, следовательно 2-х параметрическая.
Перпендикулярность 2-х прямых (в плоскости)
Прямая общего положения 2-х параметрическая. Прямая, перпендикулярная к прямой, определяется точкой на прямой, следовательно, однопараметрическая.
Параллельность 2-х плоскостей
Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Плоскость, параллельная к заданной, определяется текущей точкой на плоскости, следовательно, однопараметрическая.
Параллельность прямой и плоскости
Прямая общего положения 4-х параметрическая. Прямые, параллельные к заданной плоскости, находятся в параллельной к ней плоскости. Положение последней плоскости определяется текущей точкой в этой плоскости, т.е. одним параметром. В плоскости можно провести двухпараметрическое множество прямых. Следовательно, прямая, прямая, параллельная к плоскости, определяется 3 –я параметрами.
Параллельность 2-х прямых (в плоскости)
Прямая общего положения 2-х параметрическая. Прямая, ей параллельная, определяется текущей точкой на прямой, следовательно однопараметрическая.
Параллельность 2-х прямых (в пространстве)
Прямая общего положения 4-х параметрическая. Прямые, ей параллельные, перпендикулярны к одной и той же плоскости. Прямая, перпендикулярная к плоскости 2-х параметрическая, следовательно и прямая, параллельная к заданной прямой, тоже двухпараметрическая.
Касание 2-х линий (на плоскости)
Рассмотрим касание прямой и кривой. Прямая общего положения 2-х параметрическая. Через точку на гладкой кривой можно провести единственную касательную. Точка на линии определяется одним пара-метром, следовательно, и касательных к кривой можно провести однопараметрическое множество.
Касание 2-х линий (в пространстве)
Рассуждая по аналогии с предыдущим случаем, получим:
Касание 2-х поверхностей
Рассмотрим касание плоскости и поверхности. Плоскость общего положения 3-х параметрическая. Через точку на гладкой поверхности можно провести единственную касательную плоскость. Точка на поверхности определяется двумя параметрами, следовательно, и касательных поверхностей можно провести двухпараметрическое множество.
Касание линии к поверхности
Рассмотрим касание прямой к поверхности. Прямая общего положения 4-х параметрическая. Через точку на гладкой поверхности можно провести единственную касательную плоскость (определяется 2-я параметрами), а в ней, через ту же точку можно провести однопараметрическое множество прямых. Следовательно, прямых, касательных к поверхности можно провести 3-х параметрическое множество.
Симметрия
При условии явно или неявно заданных центра, оси или плоскости симметрии учитываются параметры только одной из двух симметричных точек. Следовательно, условие симметрии заменяет количество параметров, равное параметрическому числу лишь одной из симметричных частей.
Выделение параметров формы и положения
Практически все геометрические объекты характеризуются параметрами формы и положения. Исключение составляют точка, прямая и плоскость. Эти элементы различаются в пространстве только лишь положением. Параметры положения Nп и параметры формы Nф в сумме определяют общее параметрическое число N:
Число параметров положения зависит от размерности пространства. В общем случае Nп = 3 для объектов на плоскости и Nф = 6 для объектов в пространстве. Этот факт несложно доказать, используя приемы параметризации.
Для доказательства достаточно определить количество параметров, которых необходимо для определения положения одной декартовой системы координат относительно другой.
Определение параметров положения на плоскости
Система координат определяется:
• точкой (2 параметра);
• прямой, которая проходит через заданную точку и текущую точку линии (ещё один пара-метр);
• прямой, которая проходит через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой (без параметров).
Определение параметров положения в пространстве
Система координат определяется:
• точкой (3 параметра);
• прямой, которая проходит через заданную точку и текущую точку линии (ещё 2 параметра);
• прямой, которая проходит через заданную точку, лежит в плоскости, перпендикулярной к заданной прямой, и проходит через текущую точку линии (1 параметр);
• прямой, которая проходит через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости (без параметров).
Всего 6 параметров.
Пример определения параметров формы и положения объектов
Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых к 2-м точкам (фо-кусам) есть величина постоянная (больше, чем расстояние между фокусами).
Отделяем в определителе эллипса геометрическую часть от алгоритмической. Геометрическая часть состоит из 2-х фиксированных точек на плоскости и одной текущей точки на линии.
Выражаем элементы определителя через параметры
Определяем количество параметров формы и положения.
Nп = 3
Nф=N — Nп = 5 – 3 = 2
Определение множества решений геометрических задач
В теории алгоритмов одна из важных проблем – доказать отсутствие алгоритма для решения той или иной задачи. Доказать наличие алгоритма можно путем фактического описания процесса. Доказать же отсутствие алгоритма сложнее. То, что Вы его не сумели описать, отнюдь не означает, что алгоритм не существует. Приемы параметризации позволяют в некоторой степени решить эту проблему в отношении моделирования геометрических объектов.
Задача_1.
Провести прямую, которая пересекает 3 (4 или 5) заданных прямых.
Для того, чтобы оценить, какое множество решений имеет задача, необходимо определить:
1. Какая размерность множества прямых в трехмерном пространстве?
2. Какая размерность геометрического условия (определяется разницей параметрического числа объекта, несвязанного условием, и параметрического числа объекта, связанного условием)?
3. Сколько необходимо условий, чтобы получить нульмерное множество прямых?
Доказательство. В пространстве имеем 4-х параметрическое множество прямых. Если же прямая, пересекает какую-либо линию, то имеем 3-х параметрическое множество прямых, поскольку одна из 2-х точек определяется в 1-о мерном пространстве – на заданной линии. Размерность геометрического условия пересечения линий Ny = 4 — 3 = 1. Следовательно, чтобы получить 0-мерное множество прямых достаточно 4 условия пересечения прямой с линией.
Задача_2.
Провести прямую, которая пересекает 2 заданные прямые и параллельна к 2-м заданным плоскостям (докажите самостоятельно).
Задача_4.
Доказать теорему Польке (основная теорема аксонометрии), используя метод параметризации. Теорема впервые была сформулирована немецким геометром К. Польке (К. Pohlke) в 1860 (без доказательства). П. т. утверждает, что три отрезка произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами, представляют собой параллельную проекцию трёх равных и взаимно перпендикулярных отрезков, выходящих из одной точки в пространстве. На основании П. т. три произвольных отрезка, выходящих из одной точки на плоскости проекций, можно принять за изображение координатного трёхосника с одинаковыми масштабными отрезками на его осях.
Доказательство. Из 4-х заданных на плоскости точек выходят прямые линии (проецирующие лучи). Направление этих лучей определяется двумя параметрами (текущей точкой линии). Положение точек на заданных прямых определяется 4-я параметрами (4*1). Из 6 параметров (степеней свободы) три параметра связываются условиями равенства каждого из отрезков единице. Два параметра связывает условие перпендикулярности прямой плоскости (например, оси Z к плоскости XY). Один параметр связывает условие перпендикулярности 2-х прямых в плоскости (например, оси X и Y в плоскости XY).
Определение линий и поверхностей изменением размерности множеств
Можно уменьшать или увеличивать размерность множества за счёт высвобождения параметров или их связывания теми или иными геометрическими условиями. Так, например, от фиксированной точки можно последовательно перейти к текущим точкам линии и поверхности. И, наоборот, от поверхности можно перейти к линии и точке.
Поверхность можно определить как однопараметрическое множество линий, поскольку высвобождением одного параметра каждой из точек линии можно получить 2-х параметрическое множество точек. Например, если перемещать окружность вдоль оси, получим цилиндрическую поверхность.
С другой стороны, к определению поверхности можно перейти, накладывая определённые условия на N-параметрическое множество линий. Так, например, к определению поверхности можно прийти, накладывая на 4–х параметрическое множество прямых условие пересечения 3-х заданных прямых (каждое условие связывает один параметр).