Что понимается под условной задачей оптимизации

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Разбиение графа относится к задачам дискретной условной оптимизации из-за прерывности ее ЦФ и наличия множества ограничений на переменные. Однако применительно к задаче разбиения большинство из вышеприведенных методов не может быть использовано в связи с ее дискретностью, которая приводит к существенному росту трудностей при поиске оптимума. Поэтому данные задачи выделяют в особый класс оптимизационных комбинаторных задач на графах. [16]

Вопросы теории и методы решения задач условной оптимизации рассматриваются в области математики, называемой математическим программированием. [17]

Лагранжа): Метод решения задачи условной оптимизации ( constrained optimization), при котором ограничения ( constraints), записываемые как неявные функции ( implicit functions), объединяются с целевой функцией ( objective function) в форме нового уравнения, называемого лагранжианом. [18]

Важным и полезным для исследования задач условной оптимизации является понятие о расширении экстремальной задачи. Оно позволяет подчеркнуть взаимосвязь таких различных подходов, как метод Лагранжа, метод штрафов, переход к оеред-ненной постановке и др. Основное внимание будет уделено изложению и пояснению методики перехода от условий задачи ( критерия оптимальности, связей и ограничений) к условиям, выделяющим оптимальные решения. Конструкции, которые будут приведены, позволяют провести такой переход по определенным правилам для произвольной задачи из очень широкого класса задач оптимизации. Важно и то обстоятельство, что изменения в постановке задачи легко учесть при составлении условий оптимальности решения. [19]

Лагранжа для того и служит, чтобы от задачи условной оптимизации перейти к задаче безусловной оптимизации по расширенному ( за счет множителей Лагранжа) набору аргументов оптимизации. [20]

В этом случае на каждом шаге алгоритма удается перейти от задачи условной оптимизации к безусловной и вместо двух условно-оптимальных зависимостей запоминать только одну. Рассмотрим алгоритм динамического программирования применительно к частным формам связи. [21]

Итак, решение задачи условной оптимизации при нескольких ограничениях сведено к многократному решению задачи условной оптимизации с одним ограничением. Здесь же возникает задача оптимального изменения симплекса Р, например, правило выбора изменения Р и выбор шага изменения АР. [22]

В заключение отметим, что, используя идею проектирования, можно модифицировать применительно к задачам условной оптимизации и другие методы безусловной оптимизации, в том числе метод Ньютона и метод сопряженных направлений, изложенные в § § 2, 3 гл. [23]

Как следует из анализа соотношений, входящих в модели, решаемая задача относится к группе задач условной оптимизации с нелинейной целевой функцией и нелинейными ограничениями. Учет ограничений при использовании этого метода производится путем введения штрафов. [24]

Большинство методов оптимизации разработано для поиска безусловного экстремума. Обычно задачи условной оптимизации сводят к задачам безусловной оптимизации с помощью штрафных функций или множителей Лагранжа. [26]

Ясно, что критерий (2.12) относится лишь к задачам безусловной оптимизации. В задаче условной оптимизации критерий (2.12) следует заменить на критерий е-стацио-нарности, соответствующий данной задаче. [27]

При решении задач условной оптимизации целесообразно использовать методы безусловной оптимизации, учитывая большое количество разработанных по этим методам программ. С этой целью задача условной оптимизации сводится к задаче безусловной оптимизации устранением ограничений путем преобразования параметра xt, на значения которого наложены ограничения, в неограничиваемый. [28]

При наличии нескольких критериев возможны два класса задач оптимизации: задачи условной оптимизации по одному критерию и задачи векторной оптимизации. При условной оптимизации отыскивается наибольшее или наименьшее значение одного из критериев при условии, что остальные критерии имеют заданные значения. [30]

Источник

Задача оптимизации

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

Содержание

Постановка задачи оптимизации

Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

Тогда решить задачу означает одно из:

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x₀ таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации

Методы, по средством которых решают задачи оптимизации, подразделяются на виды, соответствующие задачам, к которым они применяются:

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

Некоторые детерминированные методы:

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

Также они разделяются по критерию размерности допустимого множества на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

Литература

Ссылки

Методы второго порядка:
(требуют значения первой и второй частных производных):
Метод Ньютона • Метод Ньютона-Рафсона

Полезное

Смотреть что такое «Задача оптимизации» в других словарях:

задача оптимизации надёжности — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN reliability optimization problem … Справочник технического переводчика

Задача о порядке перемножения матриц — Задача о порядке перемножения матриц классическая задача динамического программирования, в которой дана последовательность матриц и требуется минимизировать количество скалярных операций для вычисления их произведения. Матрицы… … Википедия

Задача о рюкзаке — Задача о ранце (рюкзаке) одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. Подобные… … Википедия

Задача о рюказаке — Задача о ранце (рюкзаке) одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. Подобные… … Википедия

Задача о коммивояжере — Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача о коммивояжёре — Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжера — Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжёра — Оптимальный маршрут коммивояжёра через 15 крупнейших городов Германии. Указанный маршрут является самым коротким из всех возможных 43 589 145 600. Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр&#16 … Википедия

Задача о ранце — Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной. Задача о ранце (рюкзаке) (англ. … Википедия

Задача о максимальном потоке — Максимальный поток в транспортной сети. Числа обозначают потоки и пропускные способности. В теории оптимизации и теории графов, задача о максимальном потоке заключается в нахождении такого потока по транспортной сети, что сум … Википедия

Источник

Особенности задач условной и безусловной оптимизации

Задача безусловного экстремума

Если существуют оптимальные планы задачи (3.3), то они ищутся среди

стационарных точек целевой функции, далее сравниваются в них значения

и отбирается наилучшая.

Задача условного экстремума

В задачах условной оптимизации, в которых ограничения заданы только в виде неравенств, возможно построение обобщенного критерия оптимальности с помощью барьерных функций. Значения, принимаемые барьерной функцией, неограниченно возрастают при приближении к границе допустимой области.

Решение задачи условной оптимизации при нескольких ограничениях сведено к многократному решению задачи условной оптимизации с одним ограничением. Здесь же возникает задача оптимального изменения симплекса Р, например, правило выбора изменения Р и выбор шага изменения АР.

2. Чем принципиально отличается метод покоординатного спуска от методов градиентного спуска?

Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска и длины шага вдоль этого направления. Алгоритмы безусловной минимизации принято делить на классы, в зависимости от максимального порядка производных минимизируемой функции, вычисление которых предполагается. Так, методы, использующие только значения самой целевой функции, относят к методам нулевого порядка (иногда их называют также методами прямого поиска); если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то мы имеем дело с методами первого порядка; если же дополнительно используются вторые производные, то это методы второго порядка и т. д.

3.Как описывается свойство унимодальности функции?

Если функция f(x) на множестве U имеет, кроме глобального, ло­кальные минимумы, отличные от него, то минимизация f(x),как правило, сильно затрудняется. В частности, многие методы поиска точки миниму­ма f(x) приспособлены только для функций, у которых каждый локаль­ный минимум является одновременно и глобальным. Этим свойством об­ладают унимодальные функции. Определение 2.1. Функция f(x) называется унимодальной на от­резке [а; b], если она непрерывна на [а; b] и существуют числа a и b, , такие, что: 1) если а * =

4.Чем отличаются прямые и косвенные методы минимизации функции?

Классические (непрямые) методы М. и м. ф. применимы только для гладких функций. Они используютнеобходимое условие экстремума для поиска стационарных точек. Нули производных

вычисляются на практике чаще всего одним из многочисленных методов последовательных приближений(см. [3]). С другой стороны, каждую задачу решения конечных функциональных уравнений вида

можно интерпретировать как задачу М. и м. ф., напр. функции

и применить для решения последней один из специфич. методов М. и м. ф.

Прямые методы М. и м. ф. основываются на непосредственном сравнении значений f(x).в двух илинескольких точках.

Для практич. отыскания экстремумов применяются итеративные алгоритмы вида:

1) сходимость алгоритма в том или ином смысле, чаще всего в смысле

2) локальность итерационной процедуры, т. е. алгоритм «помнит» значенияхтолько для итераций в нек-рой окрестности текущего положения х;. При получается простоймарковский вычислительный процесс без памяти.

Практическая работа № 16

Ответы на контрольные вопросы

Источник

Задача оптимизации

Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума (минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило, рассматриваются области, принадлежащие и заданные набором равенств и неравенств.

Содержание

Постановка задачи оптимизации

Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:

Тогда решить задачу означает одно из:

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек x₀ таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации

Методы, по средством которых решают задачи оптимизации, подразделяются на виды, соответствующие задачам, к которым они применяются:

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

Некоторые детерминированные методы:

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

Также они разделяются по критерию размерности допустимого множества на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

Литература

Ссылки

Методы второго порядка:
(требуют значения первой и второй частных производных):
Метод Ньютона • Метод Ньютона-Рафсона

Полезное

Смотреть что такое «Задача оптимизации» в других словарях:

задача оптимизации надёжности — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN reliability optimization problem … Справочник технического переводчика

Задача о порядке перемножения матриц — Задача о порядке перемножения матриц классическая задача динамического программирования, в которой дана последовательность матриц и требуется минимизировать количество скалярных операций для вычисления их произведения. Матрицы… … Википедия

Задача о рюкзаке — Задача о ранце (рюкзаке) одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. Подобные… … Википедия

Задача о рюказаке — Задача о ранце (рюкзаке) одна из задач комбинаторной оптимизации. Название это получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий объём (или вес) всех предметов ограничен. Подобные… … Википедия

Задача о коммивояжере — Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача о коммивояжёре — Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжера — Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжёра — Оптимальный маршрут коммивояжёра через 15 крупнейших городов Германии. Указанный маршрут является самым коротким из всех возможных 43 589 145 600. Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр&#16 … Википедия

Задача о ранце — Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной. Задача о ранце (рюкзаке) (англ. … Википедия

Задача о максимальном потоке — Максимальный поток в транспортной сети. Числа обозначают потоки и пропускные способности. В теории оптимизации и теории графов, задача о максимальном потоке заключается в нахождении такого потока по транспортной сети, что сум … Википедия

Источник

Особенности задач условной и безусловной оптимизации

Задача безусловного экстремума

Если существуют оптимальные планы задачи (3.3), то они ищутся среди

стационарных точек целевой функции, далее сравниваются в них значения

и отбирается наилучшая.

Задача условного экстремума

В задачах условной оптимизации, в которых ограничения заданы только в виде неравенств, возможно построение обобщенного критерия оптимальности с помощью барьерных функций. Значения, принимаемые барьерной функцией, неограниченно возрастают при приближении к границе допустимой области.

Решение задачи условной оптимизации при нескольких ограничениях сведено к многократному решению задачи условной оптимизации с одним ограничением. Здесь же возникает задача оптимального изменения симплекса Р, например, правило выбора изменения Р и выбор шага изменения АР.

2. Чем принципиально отличается метод покоординатного спуска от методов градиентного спуска?

Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска и длины шага вдоль этого направления. Алгоритмы безусловной минимизации принято делить на классы, в зависимости от максимального порядка производных минимизируемой функции, вычисление которых предполагается. Так, методы, использующие только значения самой целевой функции, относят к методам нулевого порядка (иногда их называют также методами прямого поиска); если, кроме того, требуется вычисление первых производных минимизируемой функции, то мы имеем дело с методами первого порядка; если же дополнительно используются вторые производные, то это методы второго порядка и т. д.

3.Как описывается свойство унимодальности функции?

Если функция f(x) на множестве U имеет, кроме глобального, ло­кальные минимумы, отличные от него, то минимизация f(x),как правило, сильно затрудняется. В частности, многие методы поиска точки миниму­ма f(x) приспособлены только для функций, у которых каждый локаль­ный минимум является одновременно и глобальным. Этим свойством об­ладают унимодальные функции. Определение 2.1. Функция f(x) называется унимодальной на от­резке [а; b], если она непрерывна на [а; b] и существуют числа a и b, , такие, что: 1) если а * =

4.Чем отличаются прямые и косвенные методы минимизации функции?

Классические (непрямые) методы М. и м. ф. применимы только для гладких функций. Они используютнеобходимое условие экстремума для поиска стационарных точек. Нули производных

вычисляются на практике чаще всего одним из многочисленных методов последовательных приближений(см. [3]). С другой стороны, каждую задачу решения конечных функциональных уравнений вида

можно интерпретировать как задачу М. и м. ф., напр. функции

и применить для решения последней один из специфич. методов М. и м. ф.

Прямые методы М. и м. ф. основываются на непосредственном сравнении значений f(x).в двух илинескольких точках.

Для практич. отыскания экстремумов применяются итеративные алгоритмы вида:

1) сходимость алгоритма в том или ином смысле, чаще всего в смысле

2) локальность итерационной процедуры, т. е. алгоритм «помнит» значенияхтолько для итераций в нек-рой окрестности текущего положения х;. При получается простоймарковский вычислительный процесс без памяти.

Практическая работа № 16

Ответы на контрольные вопросы

Источник