Что понимают под произведением нескольких событий

Сумма и произведение (Алгебра) событий

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе. Например, если событие – попадание в цель при первом выстреле, событие – попадание в цель при втором выстреле, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события и несовместимы, то что появление этих событий вместе отпадает, и сумма событий и сводится к появлению или события , или события . Например, событие – появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие – появление карты бубновой масти, то есть появление карты красной масти, безразлично – червонной или бубновой.

Короче, суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события .

Например, если событие – появление туза при вынимании карты из колоды, событие – появление карты бубновой масти, то событие есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие – попадание при первом выстреле, событие – попадание при втором выстреле, то есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Непосредственно из определения суммы и произведения событий следует, что

Если событие есть частный случай события , то

Наглядная геометрическая интерпретация.

Результаты данного опыта – исходы.

— Предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В

— Множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

Источник

Теория вероятности. Часть 2

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:

Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Источник

Понятие суммы и произведения событий

Перед тем как формулировать и доказывать основные теоремы, введем некоторые вспомогательные понятия, а именно понятия о сумме событий и произведении событий.

Во многих областях точных и экономических наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои назва­ния по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств кото­рых они обладают. Таковы, например,операции сложения и умно­жения векторов в механике, операции сложения и умножения матриц в алгебре и т. д. Эти операции, подчиненные известным правилам, позволяют не только упростить форму записей, но в ряде случаев существенно облегчают логическое построение научных выводов. Введение таких символических операций над событиями оказывается плодотворным и в теории вероятностей.

Суммой двух событий А и Вназывается событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе.

Например, если событие А — попадание в цель при первом выстреле, событие В — попадание в цель при втором выстреле, то событие С=А+В есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле — при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события А и В несовместны, то естественно, что появление обоих этих событий вместе отпадает, и сумма событий А и В сводится к появле­нию или события А, или события В. Например, если событие А — появле­ние карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие В—появление карты бубновой масти, то С=А+В есть появление карты красной масти, безразлично—червонной или бубновой.

Короче, суммой двух событий А и Вназывается событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события;

есть событие «не более двух попаданий», а

есть событие «не менее трех попаданий».

Как видно из представленных рисунков, операция суммы событийаналогична такой логической операции Булевой алгебры, каклогическая операция «ИЛИ» (операция дизъюнкции).

Произведением, двух событий А и Вназывается событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события В.

Например, если событие А — появление туза при вынимании карты из колоды, событие В — появление карты бубновой масти, то собы­тие С=АВ есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие А — попадание при первом выстреле, событие В — попадание при втором выстреле, то С = АВ есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий, называется событие, состоя­щее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если по мишени производится три выстрела и рассма­триваются событияB1 —промах при первом выстреле, В2 — промах при втором выстреле, В3 — промах при третьем выстреле, то событие

состоит в том, что в мишени не будет ни одного попадания.

Как видно из представленных рисунков, операция произведения событийаналогична такой логической операции Булевой алгебры, каклогическая операция «И» (операция конъюнкции).

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, при­меняя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

Например, пусть по мишени производится три выстрела и рас­сматриваются следующие элементарные события:

Рассмотрим более сложное событие В, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попада­ние в мишень. Событие В можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:

Событие С, состоящее в том, что в мишени будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:

Такие приемы представления сложных событий часто применяются в теории вероятностей.

Непосредственно из определения суммы и произведения событий следуют 2 важных следствия:

1) А+А+…+А=А

2) ААА….А=А

Следует заметить, что если событие В есть частный случай события А, то справедливы следующие два, также важных для практики, выражения, иллюстрация которых приведена также на Рис.1.3:

1) А+В=А;

2) АВ= В.

Источник

Понятия суммы и произведения событий

Сумма всех вероятностей событий выборочного пространства равняется 1. Например, если экспериментом является подбрасывание монеты при Событии А = «орел» и Событии В = «решка», то А и В представляют собой все выборочное пространство. Значит, Р(А) +Р(В) = 0.5 + 0.5 = 1.

Пример. В ранее предложенном примере вычисления вероятности извлечения из кармана халата красной ручки (это событие А), в котором лежат две синих и одна красная ручка, Р(А) = 1/3 ≈ 0.33, вероятность противоположного события – извлечения синей ручки – составит

Прежде чем перейти к основным теоремам, введем еще два более сложных понятия — сумма и произведение событий. Эти понятия отличны от привычных понятий суммы и произведения в арифметике. Сложение и умножение в теории вероятностей — символические операции, подчиненные определенным правилам и облегчающие логическое построение научных выводов.

Суммой нескольких событий является событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из них. То есть, суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А, или события В, или событий А и В вместе.

Например, если пассажир ждет на остановке трамваев какой-либо из двух маршрутов, то нужное ему событие заключается в появлении трамвая первого маршрута (событие А), или трамвая второго маршрута (событие В), или в совместном появлении трамваев первого и второго маршрутов (событие С). На языке теории вероятностей это значит, что нужное пассажиру событие D заключается в появлении или события А, или события В, или события С, что символически запишется в виде:

Произведением двух событийА и В является событие, заключающееся в совместном появлении событий А и В. Произведением нескольких событий называется совместное появление всех этих событий.

В приведенном примере с пассажиром событие С (совместное появление трамваев двух маршрутов) представляет собой произведение двух событий А и В, что символически записывается следующим образом:

Допустим, что два врача порознь осматривают пациента с целью выявления конкретного заболевания. В процессе осмотров возможно появление следующих событий:

— обнаружение заболеваний первым врачом (А);

— необнаружение заболевания первым врачом ( );

— обнаружение заболевания вторым врачом (В);

— необнаружение заболевания вторым врачом ( ).

Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров ровно один раз. Это событие может реализоваться двумя способами:

— заболевание обнаружит первый врач (А) и не обнаружит второй ( );

— заболеваний не обнаружит первый врач ( ) и обнаружит второй (B).

Обозначим рассматриваемое событие через и запишем символически:

Рассмотрим событие, которое заключается в том, что заболевание будет обнаружено в процессе осмотров дважды (и первым, и вторым врачом). Обозначим это событие через и запишем: .

Событие, заключающееся в том, что ни первый, ни второй врач заболевания не обнаружит, обозначим через и запишем: .

Источник

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Тeория. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Пример 1. При бросании игральной кости выпадение 3 очков и 6 очков события несовместные, так как они одновременно не могут произойти в одном и том же опыте.

Пример 2. А — появление четырех очков при бросании игральной кости; В-появление четного числа очков. События А и В совместные, так появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не влияет на вероятность появления другого события, в противном случае события зависимы.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С – появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то «АВС» – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

px;»> » width=»206
» alt=»\[P_A (B)=(P(AB))/(P(A))\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность

px;»> » width=»91
» alt=»\[P_A(B)=\frac35.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Этот же результат можно получить по формуле

px;»> » width=»269
» alt=»\[P_A(B)=\frac,\qquad (P(A)>0).\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

px;»> » width=»117
» alt=»\[P(A)=\frac36=\frac12.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором—белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений

px;»> » width=»207
» alt=»\[A_6^2=\frac<6!><(6-2)!>=5\cdot 6=30.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Из этого числа исходов событию AВ благоприятствуют » width=»63
» style=»vertical-align: 0px;»/> исходов. Следовательно,

px;»> » width=»150
» alt=»\[P(AB)=\frac<9><30>=\frac<3><10>.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Искомая условная вероятность

px;»> » width=»219
» alt=»\[P_A(B)=\frac=\frac<\frac<3><10>><\frac12>=\frac35.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Как видим, получен прежний результат.

Теорема умножения вероятностей (для зависимых событий). Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

px;»> » width=»169
» alt=»\[P(AB)=P(A)P_A (B)\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

px;»> » width=»492
» alt=»\[P(A_1A_2A_3. A_n) =P(A_1)P_(A_2)P_(A_2). P_>(A_n),\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков — конусный, а второй — эллиптический.

По теореме умножения, искомая вероятность

px;»> » width=»291
» alt=»\[P(AB)=P(A)P_A(B)=\frac<3><10>\cdot \frac79=\frac<7><30>.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем—синий (событие С).

px;»> » width=»409
» alt=»\[P(ABC)=P(A)P_A(B)P_(C)=\frac<5><12>\cdot \frac<4><11>\cdot\frac<3><10>=\frac<1><22>.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Теорема умножения вероятностей (для независимых событий). Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

px;»> » width=»179
» alt=»\[P(AB)=P(A)\cdot P(B).\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей (для несовместных событий). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

px;»> » width=»439
» alt=»\[P(A_1+A_2+\ldots+A_n )=P(A_1 )+P(A_2 )+\ldots+P(A_n ).\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 6. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P (A) = 10/30 = 1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P (B) = 5/30 = 1/6. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = 1/3 + 1/6 = 0,5.

Пример 7. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую – 0,35.Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

Решение. Событие A – «стрелок попал в первую область» и B – «стрелок попал во вторую область» — несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P (A + B) = P (A) + P (B) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

Теорема сложения вероятностей (для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

px;»> » width=»287
» alt=»\[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Для трех событий A, B, C имеем:

px;»> » width=»582
» alt=»\[P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Замечание 1. При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий:

px;»> » width=»313
» alt=»\[P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Пример 8. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: p1 = 0,7; p2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результата стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р (АВ)=Р (А)*Р(В) = 0,7*0,8 = 0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=Р(А) + Р(В)—Р(АВ) = 0,7 + 0,8 — 0,56=0,94.

px;»> » width=»479
» alt=»\[q_1=1- p_1 =1-0,7 = 0,3;\qquad q_2=1-p_2= 1-0,8 = 0,2.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Вероятность появления хотя бы одного события.

px;»> » width=»162
» alt=»\[P(A)=1-q_1 q_2. q_n.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

px;»> » width=»117
» alt=»\[P(A)=1-q^n.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Практический материал.

1.(6.4.12) В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Рассмотреть выборки: а) без возвращения; б) с возвращением.

2. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придется проводить четвертый опыт; б) будет проведено четыре опыта. Ответ: а) P (A)=0,8 3 ; б) P (B)=0,8 3 ·0,2

3. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание. Ответ: а) 0,092; б) 0,994

4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8. (Указание: Задача обратная примеру 8). Ответ: 0,7

5. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное. Ответ: 0,18

6. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность. Ответ: 0,432

Источник